Interpolación. Javier Segura. February 12, 2012

Transcripción

1 February 12, 2012

2 polinómica Para cualquier conjunto de n + 1 (n 0) números distintos x 0, x 1,..., x n y cualquier conjunto de números arbitrarios y 0, y 1,..., y n, existe un único polinomio P n (x) de grado menor o igual que n tal que P n (x k ) = y k para i = 0, 1, 2,..., n. Al polinomio P n (x) mencionado se le llamará polinomio de interpolación, que interpola n + 1 puntos (x i, y i ), i = 0, 1, 2,..., n. Nuestro problema será encontrar tal polinomio, para lo cual estudiaremos dos métodos: Fórmula de Lagrange y diferencias divididas de Newton.

3 Forma de Lagrange Forma de Lagrange Dados n + 1 puntos (x i, y i ), i = 0, 1,..., n (x i x j i j), el único polinomio P n (x) de grado menor o igual n que pasa por estos n + 1 puntos, es decir, tal que P n (x i ) = y i, i = 0, 1, 2,..., n. es donde P n (x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) y n L n (x), L i (x) = n j=0,j i n j=0,j i (x x j ) (x i x j ) (x x 0)...(x x i 1 )(x x i+1 )...(x x n ) (x i x 0 )...(x i x i 1 )(x i x i+1 )...(x i x n )

4 Teorema del resto Sea f (x) una función continua en [a, b] y derivable n + 1 veces en (a, b). Si P n (x) es el polinomio de grado menor o igual que n que interpola f (x) entre los n + 1 nodos distintos x 0...x n [a, b] entonces x [a, b] ζ x (a, b), dependiente de x, tal que f (x) = P n (x) + f (n+1) (ζ x ) (n + 1)! n (x x j ) P n (x) + R n (x) j=0 donde se dice que R n (x) es el resto y denotamos n (x x j ) = (x x 0 )...(x x n ). j=0

5 Forma de Newton Forma de Newton Si x 0, x 1,..., x n son puntos distintos y f (x) está definida en [a, b], x i [a, b] i = 0, 1,..., n, entonces el polinomio interpolador de f (x) entre estos puntos se puede escribir como P n (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f [x 0, x 1 ] + (x x 0 )(x x 1 )f [x 0, x 1, x 2 ] (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 )f [x 0, x 1,..., x n ] = n i 1 = f [x 0...x i ] (x x j ) i=0 j=0

6 Forma de Newton La interpolación con las diferencias divididas de Newton es, en general, más fácil de computar que la utilización de la fórmula de Lagrange, y puede ser evaluada de forma recursiva. Por ejemplo, en el caso de interpolar una función f (x) en tres puntos distintos x 0,..., x 2,, se puede plantear la siguiente tabla de diferencias divididas: x i f [] f [, ] f [,, ] x 0 f [x 0 ] = f (x 0 ) f [x 0, x 1 ] = f [x 1] f [x 0 ] x 1 x 0 x 1 f [x 1 ] = f (x 1 ) f [x 0, x 1, x 2 ] = f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1 ] x 2 x 0 f [x 1, x 2 ] = f [x 2] f [x 1 ] x 2 x 1 x 2 f [x 2 ] = f (x 2 ) Observemos que cada diferencia dividida se forma tomando la diferencia de las diferencias divididas vecinas (a la derecha) y dividiendo por la diferencia de abscisas; los valores de las abscisas se encuentran trazando las diagonales desde la posición que se está evaluando hasta la columna de las diferencias divididas de orden 0.

7 Forma de Newton Datos igualmente espaciados: forma de Newton donde P(x 0 + sh) = f (x 0 ) + s f (x 0 ) + s(s 1) 2 f (x 0 ) ! +s(s 1)...(s n + 1) n f (x 0 ). n! 0 f i = f i, f i = f i+1 f i, n f i = n 1 f i = n 1 f i = n 1 f i+1 n 1 f i y utilizamos la notación f i = f (x i ) = f (x 0 + ih).

8 de Hermite El problema de interpolación P n (x 0 ) = f (x 0 ),... P (n 0) n (x 0 ) = f (n0) (x 0 )... P n (x k ) = f (x k ),... P (n k ) n (x k ) = f (n k ) (x k ) mediante un polinomio de grado n = n n k + k, siendo f (x) n + 1 veces derivable en [a, b], tiene solución única, que se puede construir mediante el esquema de diferencias divididas. Denotando ( x 0 x 1... x n ) = ([x 0 ] n 0+1,..., [x k ] n k +1 ), tenemos: P n (x) = n i=0 i 1 f [ x 0... x i ] (x x j ). j=0 Además f (x) P n (x) = f (n+1) (ζ x ) (n + 1)! n (x x j ) para algún ζ x (a, b). j=0

9 Comportamiento del error Volvamos a la interpolación de Lagrange (todos los nodos distintos). Definamos S(x) n (x x j ) j=0 y, por comodidad, consideraremos x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n. Para x i igualmente espaciados, los mayores valores de S(x) se encuentran para los mayores o menores valores de x en el intervalo [x 0, x n ] (sin coincidir con los x i ) mientras que S(x) alcanza menores valores para valores intermedios de x.

10 Comportamiento del error Ejemplo: interpolación de una función para los valores de x i = i 4, i = S(x) = x(x 2 1)(x 2 4)(x 2 9)(x 2 16): S(X) X

11 Comportamiento del error Ejemplo: comparación la interpolación en 9 puntos x i = 4 i, i = 0,.., 8 de la función f (x) = x 2 / x (línea continua) con la propia función (línea discontinua) X

12 de Chebyshev Dada una función f (x) definida en un intervalo [a, b], la mejor aproximación polinómica de grado n será aquella que minimice E[q(x)] max f (x) q(x), x [a,b] Si un determinado polinomio Q n (X) hace que E[Q n (x)] sea el de valor mínimo entre todos los polinomios de grado n entonces se dice Q n (x) es la aproximación minimax de grado n de la función f (x) en [a, b].

13 Chebyshev Polinomios de Chebyshev: definición El polinomio de Chebyshev de orden n-ésimo se define como [ ] T n (x) = cos n cos 1 (x), x [ 1, 1], n = 0, 1, 2, 3,...

14 Polinomios de Chebyshev: propiedades 1 Relación de recurrencia de tres términos para los polinomios de Chebyshev: T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x), n = 1, 2, 3,... siendo los valores iniciales de la recurrencia T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x. 2 El coeficiente del término x n en T n (x) es 2 n 1 y se cumple que T n ( x) = ( 1) n T n (x). 3 Los n ceros de T n (x) están en el intervalo [ 1, 1] y están dados por [ ] 2k + 1 x k = cos 2n π, k = 0, 1,..., n 1. T n (x) tiene n + 1 extremos en el intervalo [ 1, 1] que vienen dados por x k = cos kπ n, k = 0,..., n, donde los polinomios valen: T (x k) = ( 1) k

15 de Chebyshev Teorema Para cualquier n 1, entre todos los polinomios mónicos (es decir, con coeficiente 1 en el término de mayor grado) el polinomio de Chebyshev modificado T n (x) 1 2 n 1 T n(x) es el de mínimo máximo valor absoluto en [-1,1], siendo este valor 1/2 n 1. Es decir, que 1 = max n 1 2 T n (x) max P n(x) x [ 1,1] x [ 1,1] para cualquier polinomio P n (x) de tipo mónico: P n (x) = x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a 0,

16 de Chebyshev Teorema Sea f (x) n + 1 veces diferenciable con continuidad en [a, b] Sea P n (x) el polinomio de interpolación de Lagrange grado n basado en los n + 1 nodos (de Chebyshev) x k = b + a 2 + b a 2 cos entonces el error viene acotado por: max f (x) P n(x) a x b ( b a 2 ( ) 2k + 1 2n + 2 π, k = 0,..., n donde hemos considerado el cambio de variable x(t) = b + a 2 ) n+1 1 (n + 1)!2 n max a x b f (n+1) (x) + b a 2 t que transforma el intervalo [ 1, 1] en [a, b].

17 de Chebyshev Ejemplo: f (x) = x 2 / x Se representa f (x) P(x) con P(x) el polinomio de interpolación que interpola en 9 nodos distintos. La línea continua corresponde a los nodos equiespaciados y la línea discontinua corresponde a la aproximación cuasi-minimax para 9 nodos en el intervalo [ 4, 4] X

18 de Chebyshev Propiedad de ortogonalidad discreta n ( ) n + 1 T i (x k )T j (x k ) = 2 (1 + δ i0) δ ij, siendo δ ij = k=0 { 1, i = j 0, i j delta de Kronecker. Las x k son los n + 1 ceros del polinomio T n+1 (x). la

19 de Chebyshev Evaluación de la interpolación Chebyshev El polinomio interpolador de grado n basado en los nodos de Chebyshev (ceros de T n+1 (x)), que interpola f (x) en estos n + 1 puntos de [ 1, 1], se puede escribir como: P n (x) = n c j T j (x) j=0 donde c j = 2 δ j0 n + 1 ( ) y x k = cos 2k + 1 2n + 2 π, k = 0,..., n. n f (x k )T j (x k ) k=0

20 Construcción de splines Sean n + 1 puntos (x i, y i ), i = 0, 1,..., n verificando a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b, una spline cúbica de estos puntos es una función s(x) en [a, b] que satisface: 1 Polinomio de tercer grado. s(x) es un polinomio, P i (x), de grado tres sobre cada intervalo [x i 1, x i ] para i = 1, 2,..., n. 2 Condiciones de interpolación. s(x i ) = y i para i = 0, 1,..., n. 3 Suavidad. s (x) es continua en [a, b] ( [x 0, x n ]), luego también lo son s(x) y s (x).