Splines. Spline Cúbicos. Hermes Pantoja Carhuavilca. Facultad de Ingeniería Mecánica Universidad Nacional de Ingenieria

Transcripción

1 Facultad de Ingeniería Mecánica Universidad Nacional de Ingenieria Métodos Numéricos

2 Contenido 1 Splines

3 Introducción Un spline es una función polinomial definida por casos donde cada caso es un polinomio S : [a, b] R S i : [n i, n i+1 R y a = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b con lo cual queda definido de la siguiente manera: S 0 (x) si x [x 0, x 1 ] S 1 (x) si x [x 1, x 2 ] S(x) =.. S n 1 (x) si x [x n 1, x n ]

4 Spline Lineal Definición Una función S(x) es un spline de grado 1 si: 1 El dominio de S(x) es un intervalo de [a, b] 2 S(x) es continua en [a, b] 3 Hay puntos (los nodos de S) a = t 0 < t 1 <... < t n = b tal que S(x) es lineal en cada subintervalo [t i, t i+1 ].

5 Dados los n + 1 puntos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ), una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta, como se ilustra en las siguientes figuras

6 Por lo tanto, el spline de grado 1 queda definido como: S 0 (x) = y 0 + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) si x [x 0, x 1 ] S 1 (x) = y 1 + f [x 1, x 2 ](x x 1 ) si x [x 1, x 2 ] S(x) =.. S n 1 (x) = y n 1 + f [x n 1, x n ](x x n 1 ) si x [x n 1, x n ]

7 Ejemplo Ejemplo Determine el spline lineal que interpola una tabla con los siguiente datos: x y ,5

8 Solución: De acuerdo con la definición: S 0 (x) = (x 1) = x; x [1, 2] 2 1 S 1 (x) = (x 2) = 1 (x +4); x [2, 5] 3 S 2 (x) = 3 + 2,5 3 (x 5) 7 5 = 1 (x 17); x [5, 7] 4

9 Spline Cúbico Definición (Spline Cúbico) Una función S(x) es un spline de grado 3 (Spline Cúbico) si: 1 El dominio de S(x) es un intervalo de [a, b] 2 S(x) es continua en [a, b] 3 S (x) es continua en [a, b] 4 S (x) es continua en [a, b] 5 Hay puntos (los nodos de S) a = t 0 < t 1 <... < t n = b tal que S(x) es cúbico en cada subintervalo [t i, t i+1 ].

10 Construcción de la función Spline Cúbica Consideremos n + 1 puntos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) cuyas abscisas están ordenadas de manera creciente a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b (nodos). La función S : [a, b] R es un spline cúbico si existen n polinomios S k (x), cada uno definido sobre un intervalo, los cuales lo podemos escribir en la forma: S k (x) = a k (x x k ) 3 + b k (x x k ) 2 + c k (x x k ) + d k para x [x k, x k+1 ] y k = 0, 1, 2,..., n 1 verificando las siguientes propiedades:

11 1 S(x k ) = y k donde k = 0, 1, 2,..., n (condición de interpolación). 2 S k (x k+1 ) = S k+1 (x k+1 ) donde k = 0, 1, 2,..., n 3, n 2 (Continuidad de los splines) 3 S k (x k+1) = S k+1 (x k+1) donde k = 0, 1, 2,..., n 3, n 2 (Continuidad de la derivada) 4 S k (x k+1) = S k+1 (x k+1) donde k = 0, 1, 2,..., n 3, n 2 (Continuidad de la segunda derivada) 5 Una de las siguientes condicione de frontera se satisface S (x 0 ) = S (x n ) = 0 frontera libre o natural S (x 0 ) = f (x 0 ) y S (x n ) = f (x n ) frontera sujeta Si se satisface la condición de frontera libre o natural, se denomina spline cúbico natural.

12 Implementación de los Los coeficientes a k, b k, c k y d k son dados por las fórmulas a k = g k+1 g k 6h k b k = g k 2 c k = f [x k, x k+1 ] 2h kg k + g k+1 h k 6 d k = f (x k ) donde h k = x k+1 x k k = 0, 1, 2,..., n 1 los valores de g k son obtenidos de la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

13 Mg=b M = h 0 2(h 0 + h 1 ) h 1 h 1 2(h 1 + h 2 ) h h n 2 2(h n 2 + h n 1 ) h n 1 g 0 f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1 ] g 1 f [x 2, x 3 ] f [x 1, x 2 ] g =. g n b = 6 (n 1) (n+1). f [x n 1, x n ] f [x n 2, x n 1 ]

14 Spline de frontera libre o natural Haciendo g 0 = g n = 0 (Spline cúbico natural), se reduce al siguiente sistema tridiagonal M. g = b M = 2(h 0 + h 1 ) h h 1 2(h 1 + h 2 ) h hn 3 2(h n 3 + h n 2 ) h n h n 2 2(h n 2 + h n 1 ) g = g 1. g n 1

15 Spline de frontera sujeta S 0 (x 0) = A y S n(x n ) = B, con lo cual se agregan dos ecuaciones 2h 0 g 0 + h 0 g 1 = 6(f [x 0, x 1 ] A) h n 1 g n 1 + 2h n 1 g n = 6(B f [x n 1, x n ]) Se tiene el siguiente sistema matricial M = 2h 0 h h 0 2(h 0 + h 1 ) h 1 h 1 2(h 1 + h 2 ) h h n 2 2(h n 2 + h n 1 ) h n h n 1 2h n 1 (n+1) (n+1)

16 g = g 0 g 1. g n b = 6 f [x 0, x 1 ] A f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1 ] f [x 2, x 3 ] f [x 1, x 2 ]. f [x n 1, x n ] f [x n 2, x n 1 ] B f [x n 1, x n ]

17 Ejemplo Ejemplo Obtener una interpolación por Spline Cúbico Natural para el polinomio p(x) = x 4, para x = 0, 1, 2, 3. Muestre el spline S(x) para cada intervalo.

18 Solución: x 0 = 0; x 1 = 1; x 2 = 2; x 3 = 3 f (x 0 ) = 0; f (x 1 ) = 1; f (x 2 ) = 16; f (x 3 ) = 81 h 0 = x 1 x 0 = 1; h 1 = x 2 x 1 = 1; h 2 = x 3 x 2 = 1 f [x 0, x 1 ] = 1; f [x 1, x 2 ] = 15; f [x 2, x 3 ] = 65 g 0 = 0; g 3 = 0 [ 2(h0 + h 1 ) h 1 h 1 2(h 1 + h 2 ) ] [ g1 g 2 ] [ f [x1, x = 6 2 ] f [x 0, x 1 ] f [x 2, x 3 ] f [x 1, x 2 ] ]

19 [ ] [ ] [ ] 4 1 g1 14 = g 2 50 Luego: g 1 = 2,4; g 2 = 74,4 Hallando los coeficientes de S 0 (x) a 0 = g 1 g 0 = 0,4 6h 0 b 0 = g 0 2 = 0 c 0 = f [x 0, x 1 ] 2h 0g 0 + g 1 h 0 = 0,6 6 d 0 = f (x 0 ) = 0 S 0 (x) = 0,4(x 0) 3 + 0(x 0) 2 + 0,6(x 0) + 0 x [0, 1]

20 Hallando los coeficientes de S 1 (x) a 1 = g 2 g 1 6h 1 = 12 b 1 = g 1 2 = 1,2 c 1 = f [x 1, x 2 ] 2h 1g 1 + g 2 h 1 = 1,8 6 d 1 = f (x 1 ) = 1 S 1 (x) = 12(x 1) 3 + 1,2(x 1) 2 + 1,8(x 1) + 1 x [1, 2]

21 Hallando los coeficientes de S 2 (x) a 2 = g 3 g 2 6h 2 = 12,4 b 2 = g 2 2 = 37,2 c 2 = f [x 2, x 3 ] 2h 2g 2 + g 3 h 2 = 40,2 6 d 2 = f (x 2 ) = 16 S 2 (x) = 12,4(x 2) 3 +37,2(x 2) 2 +40,2(x 2)+16 x [2, 3]

22 Finalmente: S(x) = S 0 (x) = 0,4(x 0) 3 + 0(x 0) 2 + 0,6(x 0) + 0 x [0, 1] S 1 (x) = 12(x 1) 3 + 1,2(x 1) 2 + 1,8(x 1) + 1 x [1, 2] S 2 (x) = 12,4(x 2) ,2(x 2) ,2(x 2) + 16 x [2, 3]

23 Ejemplo Ejemplo

24 Ejemplo

25 Ejemplo

26 Ejemplo

27 Ejemplo Ejemplo Obtener una interpolación por Spline Cúbico forzado para el polinomio p(x) = (x 1) 4, para x = 0, 1,1.5. Muestre el spline S(x) para cada intervalo.

28 Solución: x 0 = 0; x 1 = 1; x 2 = 3 2 f (x 0 ) = 1; f (x 1 ) = 0; f (x 2 ) = 1 16 h 0 = x 1 x 0 = 1; h 1 = x 2 x 1 = 1 2 f [x 0, x 1 ] = 1; f [x 1, x 2 ] = 1 8 A = f (0) = 4; B = f ( 3 2 ) = 1 2 2h 0 h 0 0 h 0 2(h 0 + h 1 ) h 1 0 h 1 2h 1 g 0 g 1 g 2 = 6 f [x 0, x 1 ] A f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1 ] B f [x 1, x 2 ]

29 , ,5 1 g 0 g 1 g 2 = Luego: g 0 = 9,75; g 1 = 1,5; g 2 = 3 Hallando los coeficientes de S 0 (x) a 0 = g 1 g 0 6h 0 = 1,8750 b 0 = g 0 2 = 4,8750 c 0 = f [x 0, x 1 ] 2h 0g 0 + g 1 h 0 = 4 6 d 0 = f (x 0 ) = ,75 2,25 S 0 (x) = 1,8750(x 0) 3 +4,8750(x 0) 2 + 4(x 0)+1 x [0, 1]

30 Hallando los coeficientes de S 1 (x) a 1 = g 2 g 1 6h 1 = 1,5 b 1 = g 1 2 = 0,75 c 1 = f [x 1, x 2 ] 2h 1g 1 + g 2 h 1 = 0,125 6 d 1 = f (x 1 ) = 0 S 1 (x) = 1,5(x 1) 3 + 0,75(x 1) 2 +0,125(x 1)+0 x [1, 1.5]

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32 Aplicación

33 Aplicación

34 Aplicación

35 Aplicación

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