Geometría de curvas y computación 3. Las curvas de Bézier

Transcripción

1 Geometría de curvas y computación 3. Las curvas de Bézier Fausto Ongay CIMAT, Gto., México Julio, 2012 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

2 Curvas polinomiales Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

3 Curvas polinomiales Como indicamos, las curvas más importantes para la graficación son tal vez las curvas polinomiales: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

4 Curvas polinomiales Como indicamos, las curvas más importantes para la graficación son tal vez las curvas polinomiales: Definición Una curva α(t) es polinomial (o polinómica, como se dice en otros países de habla hispana) si sus componentes x(t), y(t) son polinomios. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

5 Curvas polinomiales Como indicamos, las curvas más importantes para la graficación son tal vez las curvas polinomiales: Definición Una curva α(t) es polinomial (o polinómica, como se dice en otros países de habla hispana) si sus componentes x(t), y(t) son polinomios. El grado de una curva polinomial α(t) es máx{deg x, deg y} Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

6 Motivación Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

7 Motivación Loss polinomios de Bernstein se aplican a la graficación por ordenador mediante las curvas de Bézier. Cómo surgieron? Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

8 Motivación Loss polinomios de Bernstein se aplican a la graficación por ordenador mediante las curvas de Bézier. Cómo surgieron? En la actualidad, al efectuar una reparación en un automóvil, no pensamos en lo complejo que puede ser construir una refacción que ajuste correctamente. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

9 Motivación Loss polinomios de Bernstein se aplican a la graficación por ordenador mediante las curvas de Bézier. Cómo surgieron? En la actualidad, al efectuar una reparación en un automóvil, no pensamos en lo complejo que puede ser construir una refacción que ajuste correctamente. Pero en 1911 Cadillac pregonaba, con justificado orgullo (Standard of the World es su lema), que las piezas de tres vehículos distintos se podían intercambiar y obtener vehículos funcionales! Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

10 Classical beauty... Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

11 Classical beauty... Un Cadillac de 1910 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

12 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

13 Antes de los ordenadores las curvas debían trazarse a mano, con curvígrafos, y esto introducía una gran posibilidad de error. Un curvígrafo Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

15 Esto cambió radicalmente en 1959, cuando un físico, matemático, e ingeniero en Citroën, Paul DeCasteljau, introdujo un algoritmo para trazar curvas polinomiales de manera eficiente, usando puntos de control. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

16 Esto cambió radicalmente en 1959, cuando un físico, matemático, e ingeniero en Citroën, Paul DeCasteljau, introdujo un algoritmo para trazar curvas polinomiales de manera eficiente, usando puntos de control. Las poĺıticas de privacía de Citroën hicieron que el trabajo de DeCasteljau fuera ignorado casi por completo, y el método se dio a conocer a través del trabajo (independiente, pero un poco posterior) de otro ingeniero, de la firma rival Renault, Pierre Bézier. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

17 El algoritmo de DeCasteljau Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

18 El algoritmo de DeCasteljau Dados n + 1 puntos en el plano, P 0,, P n, la hoy llamada curva de Bézier definida por ellos está dada por el algoritmo recursivo siguiente: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

19 El algoritmo de DeCasteljau Dados n + 1 puntos en el plano, P 0,, P n, la hoy llamada curva de Bézier definida por ellos está dada por el algoritmo recursivo siguiente: Definición Para r = 1,, n y i = 0,, n r definamos P 0 i (t) = P i, y P r i (t) = (1 t)p r 1 i (t) + tp r 1 i+1 (t) ; t [0, 1]. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

20 El algoritmo de DeCasteljau Dados n + 1 puntos en el plano, P 0,, P n, la hoy llamada curva de Bézier definida por ellos está dada por el algoritmo recursivo siguiente: Definición Para r = 1,, n y i = 0,, n r definamos P 0 i (t) = P i, y P r i (t) = (1 t)p r 1 i (t) + tp r 1 i+1 (t) ; t [0, 1]. Entonces, la curva de Bézier asociada es α(t) = P0 n (t), t [0, 1]. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

21 El algoritmo de DeCasteljau Dados n + 1 puntos en el plano, P 0,, P n, la hoy llamada curva de Bézier definida por ellos está dada por el algoritmo recursivo siguiente: Definición Para r = 1,, n y i = 0,, n r definamos P 0 i (t) = P i, y P r i (t) = (1 t)p r 1 i (t) + tp r 1 i+1 (t) ; t [0, 1]. Entonces, la curva de Bézier asociada es α(t) = P0 n (t), t [0, 1]. Los puntos P i se llaman puntos o vértices de control y el poĺıgono determinado por ellos se llama el poĺıgono de control de la curva de Bézier Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

23 Nótese que P r i es una curva polinomial de grado r. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

24 Nótese que P r i es una curva polinomial de grado r. Los puntos de control se identifican, en el primer paso, con curvas de grado cero: el algoritmo de DeCasteljau aproxima por polinomios de grado cada vez mayor, hasta llegar a un polinomio de grado n. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

25 Nótese que P r i es una curva polinomial de grado r. Los puntos de control se identifican, en el primer paso, con curvas de grado cero: el algoritmo de DeCasteljau aproxima por polinomios de grado cada vez mayor, hasta llegar a un polinomio de grado n. Para entender qué hace el algoritmo de DeCasteljau es conveniente seguir con detalle el procedimiento para unos pocos puntos; n = 3 ó incluso n = 2 dan la idea: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

26 Ejemplo: n = 2; 3 puntos de control Example Consideremos los puntos de control P 0, P 1 y P 2. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

27 Ejemplo: n = 2; 3 puntos de control Example Consideremos los puntos de control P 0, P 1 y P 2. Los polinomios intermedios del algoritmo dan: P0 1 (t) = (1 t)p 0 + tp 1 y P1 1 (t) = (1 t)p 1 + tp 2 ; Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

28 Ejemplo: n = 2; 3 puntos de control Example Consideremos los puntos de control P 0, P 1 y P 2. Los polinomios intermedios del algoritmo dan: P0 1 (t) = (1 t)p 0 + tp 1 y P1 1 (t) = (1 t)p 1 + tp 2 ; Son las ecuaciones de los segmentos (interpolación lineal o combinación convexa) entre P 0 y P 1 (en ese orden) y P 1 y P 2, respectivamente. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

29 Ejemplo: n = 2; 3 puntos de control Example Consideremos los puntos de control P 0, P 1 y P 2. Los polinomios intermedios del algoritmo dan: P0 1 (t) = (1 t)p 0 + tp 1 y P1 1 (t) = (1 t)p 1 + tp 2 ; Son las ecuaciones de los segmentos (interpolación lineal o combinación convexa) entre P 0 y P 1 (en ese orden) y P 1 y P 2, respectivamente. Por el número de puntos, en el paso siguiente llegamos ya a la curva de Bézier, y tenemos una sola curva: P 2 0 (t) = α(t) = (1 t)p 1 0 (t) + tp 1 1 (t) = (1 t) 2 P 0 + 2(1 t)tp 1 + t 2 P 2. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

31 Example Es claro que α es una curva de grado 2 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

32 Example Es claro que α es una curva de grado 2 La segunda igualdad muestra que los puntos sobre α se obtienen interpolando linealmente entre los puntos en las curvas (en este caso rectas) de la etapa anterior. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

33 Example Es claro que α es una curva de grado 2 La segunda igualdad muestra que los puntos sobre α se obtienen interpolando linealmente entre los puntos en las curvas (en este caso rectas) de la etapa anterior. P 0 El algoritmo de DeCasteljau (Todas las gráficas están programadas en Mathematica.) Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

35 Proposición Las curvas intermedias en el algoritmo de DeCasteljau satisfacen r Pi r (t) = Bj r (t)p i+j. j=0 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

36 Proposición Las curvas intermedias en el algoritmo de DeCasteljau satisfacen r Pi r (t) = Bj r (t)p i+j. j=0 En particular, la curva de Bézier asociada al poĺıgono de control P 0,, P n está dada por α(t) = n Bi n (t)p i. i=0 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

38 La curva de Bézier no interpola entre los puntos del poĺıgono de control. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

39 La curva de Bézier no interpola entre los puntos del poĺıgono de control. De hecho, en general sólo interpola entre los dos puntos extremos: α(0) = P 0 y α(1) = P n. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

40 La curva de Bézier no interpola entre los puntos del poĺıgono de control. De hecho, en general sólo interpola entre los dos puntos extremos: α(0) = P 0 y α(1) = P n. Example Para ilustrar las propiedades de las curvas de Bézier, consideremos en lo que sigue el siguiente ejemplo expĺıcito de una curva de grado 4, con poĺıgono de control: P 0 = (0, 0) ; P 1 = (1, 4) ; P 2 = (3, 4) P 3 = (6, 0) ; P 4 = (7, 3). Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

42 Example P 0 Una curva de Bézier y su poĺıgono de control. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

43 Observaciones Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

44 Observaciones Observación Entre más puntos tenga el poĺıgono de control más posibilidades hay para manipular las curvas de Bézier. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

45 Observaciones Observación Entre más puntos tenga el poĺıgono de control más posibilidades hay para manipular las curvas de Bézier. La fórmula de elevación del grado permite escribir relaciones entre las curvas que se obtienen al incluir puntos adicionales de control. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

46 Observaciones Observación Entre más puntos tenga el poĺıgono de control más posibilidades hay para manipular las curvas de Bézier. La fórmula de elevación del grado permite escribir relaciones entre las curvas que se obtienen al incluir puntos adicionales de control. Sin embargo, es igualmente claro que mientras mayor sea el grado, mayor será el coste computacional. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

47 Observaciones Observación Entre más puntos tenga el poĺıgono de control más posibilidades hay para manipular las curvas de Bézier. La fórmula de elevación del grado permite escribir relaciones entre las curvas que se obtienen al incluir puntos adicionales de control. Sin embargo, es igualmente claro que mientras mayor sea el grado, mayor será el coste computacional. Las curvas intermedias en el algoritmo de DeCasteljau son ellas mismas curvas de Bézier, cuyos poĺıgonos de control consisten de algunos de los puntos consecutivos del poĺıgono inicial. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

48 Observaciones Observación Entre más puntos tenga el poĺıgono de control más posibilidades hay para manipular las curvas de Bézier. La fórmula de elevación del grado permite escribir relaciones entre las curvas que se obtienen al incluir puntos adicionales de control. Sin embargo, es igualmente claro que mientras mayor sea el grado, mayor será el coste computacional. Las curvas intermedias en el algoritmo de DeCasteljau son ellas mismas curvas de Bézier, cuyos poĺıgonos de control consisten de algunos de los puntos consecutivos del poĺıgono inicial. Moraleja: en la práctica es importante escoger adecuadamente los puntos, tanto en posición como en número, y en ocasiones puede ser mejor subdividir las curvas de Bézier. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

49 Observaciones Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

50 Observaciones Como la curva de Bézier está evidentemente determinada por su poĺıgono de control (y viceversa, si se fija el grado), a veces escribiremos α = α[p 0,, P n ]. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

51 Observaciones Como la curva de Bézier está evidentemente determinada por su poĺıgono de control (y viceversa, si se fija el grado), a veces escribiremos α = α[p 0,, P n ]. Con esta notación se tiene evidentemente la siguiente propiedad de simetría α[p 0,, P n ](t) = α[p n,, P 0 ](1 t), que corresponde a la simetría natural de los polinomios de Bernstein. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

52 Observaciones Como la curva de Bézier está evidentemente determinada por su poĺıgono de control (y viceversa, si se fija el grado), a veces escribiremos α = α[p 0,, P n ]. Con esta notación se tiene evidentemente la siguiente propiedad de simetría α[p 0,, P n ](t) = α[p n,, P 0 ](1 t), que corresponde a la simetría natural de los polinomios de Bernstein. Sin embargo, cualquier otra permutación que se haga de los puntos de control, que generaría un nuevo poĺıgono de control, en general afectará fuertemente el aspecto de la curva de Bézier. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

54 La figura ilustra el intercambio de los dos últimos putos del poĺıgono de control de la curva del ejemplo anterior: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

55 La figura ilustra el intercambio de los dos últimos putos del poĺıgono de control de la curva del ejemplo anterior: Curvas de Bézier con permutación de uno de los puntos del poĺıgono de control. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

57 En general, lo más que se puede decir es: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

58 En general, lo más que se puede decir es: Proposición La (imagen de la) curva de Bézier está contenida en la envolvente convexa de los puntos de control. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

59 En general, lo más que se puede decir es: Proposición La (imagen de la) curva de Bézier está contenida en la envolvente convexa de los puntos de control. Prueba. Esto es consecuencia directa de que los puntos generados en todo el proceso del algoritmo de DeCasteljau se obtienen como combinaciones convexas de puntos del poĺıgono de control. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

61 La proposición se ilustra de nuevo con la curva del ejemplo dado antes: Envolvente convexa del poĺıgono de control Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

62 Ejercicios Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

63 Ejercicios Ejercicio Prueba la proposición donde se da la expresión de la curva de Bézier en términos de los polinomios de Bernstein. (Sugerencia: usa la fórmula de recurrencia para los polinomios de Bernstein). Ejercicio Precisión lineal: Prueba que si P 0,, P n son puntos equidistribuidos en una recta (esto es, uniformemente espaciados), entonces la curva de Bézier α[p 0,, P n ](t) es exactamente la interpolación lineal entre P 0 y P n. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

64 Derivadas Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

65 Derivadas Proposición La derivada de una curva de Bézier de grado n, α[p 0,, P n ], se puede escribir como curva de Bézier de grado n 1 como sigue: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

66 Derivadas Proposición La derivada de una curva de Bézier de grado n, α[p 0,, P n ], se puede escribir como curva de Bézier de grado n 1 como sigue: Sea P i = P i+1 P i, entonces n 1 α (t) = n B n 1 i (t) P i. i=0 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

67 Derivadas Proposición La derivada de una curva de Bézier de grado n, α[p 0,, P n ], se puede escribir como curva de Bézier de grado n 1 como sigue: Sea P i = P i+1 P i, entonces n 1 α (t) = n B n 1 i (t) P i. i=0 Una consecuencia útil en la práctica, para hacer ajustes en el trazado de las curvas con los puntos de control, es que la tangente a la curva de Bézier en los extremos es paralela a los lados inicial y final del poĺıgono de control: α (0) = n(p 1 P 0 ) ; α (1) = n(p n P n 1 ). Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

68 Control pseudo-local Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

69 Control pseudo-local Las curvas de Bézier tienen la propiedad de control pseudo-local: Si α(t) y α(t) son curvas cuyos poĺıgonos de control difieren en los i-ésimos puntos,p i y P i, entonces las curvas difieren en B n i (t)(p i P i ). Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

70 Control pseudo-local Las curvas de Bézier tienen la propiedad de control pseudo-local: Si α(t) y α(t) son curvas cuyos poĺıgonos de control difieren en los i-ésimos puntos,p i y P i, entonces las curvas difieren en B n i (t)(p i P i ). La propiedad de máximo único dice que es alrededor de P i, donde las curvas muestran su mayor variación: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

71 Control pseudo-local Las curvas de Bézier tienen la propiedad de control pseudo-local: Si α(t) y α(t) son curvas cuyos poĺıgonos de control difieren en los i-ésimos puntos,p i y P i, entonces las curvas difieren en B n i (t)(p i P i ). La propiedad de máximo único dice que es alrededor de P i, donde las curvas muestran su mayor variación: De nuevo usando la curva del ejemplo, la figura ilustra que sucede al cambiar P 3 de (6, 0) a (6, 2): Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

73 Control pseudo-local de las curvas de Bézier. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

74 Otras propiedades: Invariancia afín Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

75 Otras propiedades: Invariancia afín Proposición ( Invariancia afín) Sea α la curva de Bézier asociada al poĺıgono de control P 0,, P n. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

76 Otras propiedades: Invariancia afín Proposición ( Invariancia afín) Sea α la curva de Bézier asociada al poĺıgono de control P 0,, P n. Si φ es una transformación afín del plano (es decir, la composición de una transformación lineal con una traslación), entonces la curva de Bézier asociada al poĺıgono de control φ(p 0 ),, φ(p n ) es precisamente φ(α): Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

77 Otras propiedades: Invariancia afín Proposición ( Invariancia afín) Sea α la curva de Bézier asociada al poĺıgono de control P 0,, P n. Si φ es una transformación afín del plano (es decir, la composición de una transformación lineal con una traslación), entonces la curva de Bézier asociada al poĺıgono de control φ(p 0 ),, φ(p n ) es precisamente φ(α): φ(α[p 0,, P n ](t)) = α[(φ(p 0 ),, φ(p n )](t). Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

78 Otras propiedades: Invariancia afín Proposición ( Invariancia afín) Sea α la curva de Bézier asociada al poĺıgono de control P 0,, P n. Si φ es una transformación afín del plano (es decir, la composición de una transformación lineal con una traslación), entonces la curva de Bézier asociada al poĺıgono de control φ(p 0 ),, φ(p n ) es precisamente φ(α): φ(α[p 0,, P n ](t)) = α[(φ(p 0 ),, φ(p n )](t). Esto es esencial para la graficación: en la práctica significa que podemos llevar nuestro diseño a una región predeterminada del espacio, por ejemplo, la pantalla de nuestro ordenador! Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

79 Un forma generada con curvas de Bézier Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

80 Un forma generada con curvas de Bézier Example Se generó primero una curva, utilizando tres curvas de Bézier de grado 5. Los puntos de control fueron definidos con criterios arbitrarios y meramente estéticos: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

81 Un forma generada con curvas de Bézier Example Se generó primero una curva, utilizando tres curvas de Bézier de grado 5. Los puntos de control fueron definidos con criterios arbitrarios y meramente estéticos: Un perfil generado con tres curvas de Bézier de grado 5. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

82 Comentarios... Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

83 Comentarios... Example La elección del grado de las curvas es arbitraria; para reducir el coste computacional se escogió un grado relativamente pequeño, pero que da ya bastante flexibilidad. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

84 Comentarios... Example La elección del grado de las curvas es arbitraria; para reducir el coste computacional se escogió un grado relativamente pequeño, pero que da ya bastante flexibilidad. Las uniones de las curvas se aprecian en las cúspides de la curva global, que ocurren en las abscisas 10 y 16. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

85 Comentarios... Example La elección del grado de las curvas es arbitraria; para reducir el coste computacional se escogió un grado relativamente pequeño, pero que da ya bastante flexibilidad. Las uniones de las curvas se aprecian en las cúspides de la curva global, que ocurren en las abscisas 10 y 16. Esta parte del proceso evidentemente no es matemática, y depende de los gustos y de las habilidades artísticas del usuario; pero usando esta curva para generar una superficie de revolución se obtiene entonces el siguiente diseño para una mano de un mortero: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

86 Y el resultado final... Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26

87 Y el resultado final... Example Mano de mortero, modelada por la superficie de revolución obtenida del perfil anterior. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 26