Computación Gráfica. Curvas y Superficies Parte 1

Transcripción

1 Computación Gráfica Curvas y Superficies Parte

2 Curvas Uso Curvas En Computación Gráfica Modelar objetos suaves u orgánicos Curvas y Superficies 2

3 Curvas Uso Curvas En Computación Gráfica Definir trayectorias para movimientos, cámaras, etc. Curvas y Superficies 3

4 Curvas Uso Curvas En Computación Gráfica Definir velocidades para interpolación Curvas y Superficies 4

5 Representaciones Algunos aspectos a tener en cuenta Cómo define el usuario la forma de la curva Qué información se guarda y qué información se calcula Cómo se rasteriza o cómo se encuentran los puntos de la curva Curvas y Superficies 5

6 Representaciones Ecuaciones Implícitas Los puntos de la curva son los puntos que satisfacen una ecuación: f x, y =0 Ejemplo: Círculo: x 2 y 2 r 2 =0 + Es fácil asociar los miembros y coeficientes de la ecuación con propiedades de la curva + Es fácil saber si un punto pertenece o no + Son orientables Difícil de graficar en CG Curvas y Superficies 6

7 Representaciones Ecuaciones Explícitas Mapeo directo entre una coordenada y la(s) otra(s): y= f x, x 0 x x 1 Ejemplo: Recta: y=mx b + Fácil de graficar No todas pueden representarse Se utilizan en la visualización de resultados de procesos experimentales Curvas y Superficies 7

8 Representaciones Ecuaciones Paramétricas Mapeo entre un parámetro arbitrario t/u y los puntos de la curva: x= f t y=g t, t 0 t t 1 Ejemplo: Recta: Ejemplo: Círculo: x=t, y=mt b, x 0 t x 1 x=r cos t, y=r sen t, 0 t 2 + Fácil de graficar + Pueden representar todo tipo de curvas Curvas y Superficies 8

9 Representaciones Generativas o Procedurales Proveen un procedimiento para generar los puntos de la curva Ejemplos: Subdivisiones, Fractales Curvas y Superficies 9

10 Qué es una curva? Posibles definiciónes: Wikipedia en Español: una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente Wikipedia en Ingles: un objeto similar a una linea, pero que no es necesariamente recto... Michael Gleicher: Un mapeo continuo de un espacio unidimensional a un espacio n-dimensional Curvas y Superficies 10

11 Qué es una curva? Un mapeo continuo de un espacio unidimensional a un espacio n-dimensional Consecuencias: Una curva tiene infinitos puntos Cada punto tiene dos vecinos, a excepción de los extremos si es abierta Curvas y Superficies 11

12 Curvas Paramétricas x= f t y=g t z=h t t puede verse como el tiempo:, x=f t =[ f t g t h t ], t 0 t t 1 F(t) responde a Donde está el lápiz en el tiempo t? Introducen un condimento invisible: velocidad Donde está el punto para t=0.5? Curvas y Superficies 12

13 Curvas Paramétricas Reparametrización: Normalización del dominio: t [t 0, t 1 ] t= 1 u t 0 ut 1 =t 0 u t 1 t 0 t t 0 [0,1] 1 u= t 1 t t 1 t 0 t 1 t 0 Natural vs Velocidad constante por longitud de arco Implica resolver para t: t s= 0 [ f ' (v)] 2 dv Curvas y Superficies 13

14 Curvas Paramétricas Forma de la funciones f,g,h: Necesidad de definir y editar fácilmente Pocos parámetros Significado de los parámetros Eficiencia Más usadas: Polinomios/Series de Potencias Trigonométricas Curvas y Superficies 14

15 Curvas Paramétricas Series de Potencia y Funciones Base Polinomios de grado N: N F t = i=0 N+1 parámetros (orden) a i t i Ejemplo: Segmento de Recta F = 1 p 0 p 1 F t =a 0 a 1 t Curvas y Superficies 15

16 Curvas Paramétricas Series de Potencia y Funciones Base Es más fácil definirlas mediante puntos de control (o polígono de control) funciones mezcladoras (blending functions) N F t = k =0 p k B k t Orden = Cantidad de puntos de control = Grado+1 Curvas y Superficies 16

17 Curvas de Bézier Blending functions: (polinoimos de Bernstein) B i n u =C i n u i 1 u n i C i n = n! i! n i! - Simetría respeto a u=0.5 - Interpola puntos extremos - Aproxima puntos interiores - Control global - Los puntos de la curva son combinaciones afines convexas de los puntos de control - Unicidad - Suavidad Curvas y Superficies 17

18 Curvas de Bézier Algoritmo de De Casteljau: Curvas y Superficies 18

19 Curvas de Bézier Derivadas Continuidad C Basta con derivar los polinomios de Bérnstein d du B n i =n B n 1 i 1 B n 1 i i [1, n 1] d du B n 0= n B n 1 0, d du B n n 1 n=n B n 1 n d du P=n i=0 B n 1 i 1 B n 1 i P i n 1 = n i=0 B i n 1 i Curvas y Superficies 19

20 Curvas de Bézier Derivadas Globalmente Propiedad: Variation Diminishing Localmente: n 1 d du P=n i=0 B i n 1 Δ i d du P n 0=n Δ n 1 0 =n( P n 1 i P n 1 0 ) Último segmento de DC tangente a la curva Curvas y Superficies 20

21 Unión de Curvas de Bezier Piecewise Bézier Curves (Bézier por tramos) + Se tiene control local Cuantos tramos usar? Cuan bien aproximo la forma que busco? Cuán complicado es cada tramo? Curvas y Superficies 21

22 Unión de Curvas de Bezier Cómo se pegan? Continuidad Paramétrica Derivadas iguales Continuidad Geométrica Derivadas Proporcionales Independiente de la parametrización Curvas y Superficies 22

23 Unión de Curvas de Bezier Splines de Catmull-Rom P i =P i l i 3 P i =P i l i 3 l i = dp i du = P i 1 P i 1 i 1 i 1 = P i 1 P i 1 2 Problema: Overshooting... => Overhausser Curvas y Superficies 23

24 B-Splines Base polinómica (Cox/de Boor): B k,1 t ={ 1 si u k t u k 1 } 0 en otro caso B k,d t = t u k B u k d 1 u k,d 1 t u k d t B k u k d u k 1, d 1 t k 1 u = vector de knots knot= valor de t donde cambian las funciones activas Continuidad C n-1 (ahorrando puntos de control) Suma 1 No interpolantes Control local Curvas y Superficies 24

25 B-Splines knots vector? Multiplicidad=>pérdida de continuidad Inserción de knots Refinamiento del polígono de control De Boor = insertar n veces el knot t Subdivisión Curvas y Superficies 25

26 B-Splines Bloosoming y Forma polar f a,b,c = f a,c,b = f c, b,a =... f a, 1 u b uc, d = 1 u f a, b, d uf a,c, d Curvas y Superficies 26

27 Curvas Racionales Coordenadas Homogéneas P i ={w i x i, w i y i, w i z i, w i }={w i P i, w i } P= B n i w i P i B n j w j = w i B i n B j n w j P i Justificación: Invariancia proyectiva Representación de cónicas Curvas y Superficies 27

28 Curvas Racionales Representación de Circunferencias 2 2 NURBS: NU: Non-Uniform R: Rational BS: B-Splines Curvas y Superficies 28

29 Continuará... Superficies Trimmed NURBS Subdivision Surfaces Etc... Curvas y Superficies 29