Geometría de curvas y computación 4. Curvas de Hodógrafo Pitagórico
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- Luz Blázquez Duarte
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1 Geometría de curvas y computación 4. Curvas de Hodógrafo Pitagórico Fausto Ongay CIMAT, Gto., México Julio, 2012 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
2 Curvas Paralelas ( Offset ) Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
3 Curvas Paralelas ( Offset ) Los instrumentos físicos no tiene espesor infinitesimal, por ello un problema de interés en el diseño de formas por ordenador es la construcción de curvas paralelas a una curva dada, o curvas offset. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
4 Curvas Paralelas ( Offset ) Los instrumentos físicos no tiene espesor infinitesimal, por ello un problema de interés en el diseño de formas por ordenador es la construcción de curvas paralelas a una curva dada, o curvas offset. Esto a su vez ha dado interés al estudio de las llamadas curvas de hodógrafo pitagórico, para las cuales este problema tiene una respuesta especialmente satisfactoria. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
5 Curvas Paralelas ( Offset ) Los instrumentos físicos no tiene espesor infinitesimal, por ello un problema de interés en el diseño de formas por ordenador es la construcción de curvas paralelas a una curva dada, o curvas offset. Esto a su vez ha dado interés al estudio de las llamadas curvas de hodógrafo pitagórico, para las cuales este problema tiene una respuesta especialmente satisfactoria. Definición Sea α una curva plana (regular) y d R Entonces una curva paralela a α a la distancia d es la curva β d (t) = α(t) + d n(t) donde n es, como de costumbre, el vector normal unitario. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
6 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
7 Si d = 0 la curva offset es la curva original, y para cada M > 0 hay dos curvas a esa distancia, correspondientes a d = ±M. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
8 Si d = 0 la curva offset es la curva original, y para cada M > 0 hay dos curvas a esa distancia, correspondientes a d = ±M. La complicación en el proceso se presenta al calcular el vector normal n, que implica calcular α, que involucra una raíz cuadrada, lo que ya no es un proceso algebraico. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
9 Si d = 0 la curva offset es la curva original, y para cada M > 0 hay dos curvas a esa distancia, correspondientes a d = ±M. La complicación en el proceso se presenta al calcular el vector normal n, que implica calcular α, que involucra una raíz cuadrada, lo que ya no es un proceso algebraico. Example Consideremos la parábola y = x 2, parametrizada como α(t) = (t, t 2 ). Su vector tangente es α (t) = (1, 2t), cuya norma es 1 + 4t 2 y así tenemos que el vector normal es n(t) = 1 ( 2t, 1) t 2 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
10 Example Luego, si por ejemplo M = 1, las curvas paralelas a esa distancia son como en la figura Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
11 Example Luego, si por ejemplo M = 1, las curvas paralelas a esa distancia son como en la figura La parábola y = x 2 y dos curvas offset a ella Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
12 Curvas de hodógrafo pitagórico Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
13 Curvas de hodógrafo pitagórico El hodógrafo de una curva parametrizada α es su vector velocidad, α ; el vocablo griego hodos, significa camino. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
14 Curvas de hodógrafo pitagórico El hodógrafo de una curva parametrizada α es su vector velocidad, α ; el vocablo griego hodos, significa camino. La terminología fue introducida por el matemático irlandés William R. Hamilton a mediados del siglo XIX. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
15 Curvas de hodógrafo pitagórico El hodógrafo de una curva parametrizada α es su vector velocidad, α ; el vocablo griego hodos, significa camino. La terminología fue introducida por el matemático irlandés William R. Hamilton a mediados del siglo XIX. Definición Sea α una curva polinomial. Decimos que α es de hodógrafo pitagórico si existe un polinomio p(t) tal que α (t) = p(t) Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
16 La cúbica de Tschirnhaus Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
17 La cúbica de Tschirnhaus Example La curva de Tschirnhaus α(t) = (3t 2 1)(1, t) es un ejemplo no trivial de curva de hodógrafo pitagórico; un cálculo directo muestra que α (t) = 9t Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
18 La cúbica de Tschirnhaus Example La curva de Tschirnhaus α(t) = (3t 2 1)(1, t) es un ejemplo no trivial de curva de hodógrafo pitagórico; un cálculo directo muestra que α (t) = 9t La cúbica de Tschirnhaus Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
19 Algunas observaciones Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
20 Algunas observaciones Nótese que esta curva tiene una autointersección en el origen, correspondiente a los valores del parámetro t = 1/ 3. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
21 Algunas observaciones Nótese que esta curva tiene una autointersección en el origen, correspondiente a los valores del parámetro t = 1/ 3. El lazo dado por su restricción a [ 1/ 3, 1/ 3] es una curva cerrada simple de hodógrafo pitagórico, algo que usaremos más adelante. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
22 Algunas observaciones Nótese que esta curva tiene una autointersección en el origen, correspondiente a los valores del parámetro t = 1/ 3. El lazo dado por su restricción a [ 1/ 3, 1/ 3] es una curva cerrada simple de hodógrafo pitagórico, algo que usaremos más adelante. Toda curva de grado de 1 es de hodógrafo pitagórico, pero se puede probar que no existen curvas de hodógrafo pitagórico de grado dos. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
23 Algunas observaciones Nótese que esta curva tiene una autointersección en el origen, correspondiente a los valores del parámetro t = 1/ 3. El lazo dado por su restricción a [ 1/ 3, 1/ 3] es una curva cerrada simple de hodógrafo pitagórico, algo que usaremos más adelante. Toda curva de grado de 1 es de hodógrafo pitagórico, pero se puede probar que no existen curvas de hodógrafo pitagórico de grado dos. Salvo cierto tipo de transformaciones afines, la curva Tschirnhaus es la única curva polinomial de grado tres de hodógrafo pitagórico. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
24 Ternas pitagóricas Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
25 Ternas pitagóricas El calificativo pitagórico en la definición anterior proviene de la relación que hay entre este tipo de curvas y los llamados triples (o ternas) pitagóricos de enteros: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
26 Ternas pitagóricas El calificativo pitagórico en la definición anterior proviene de la relación que hay entre este tipo de curvas y los llamados triples (o ternas) pitagóricos de enteros: Definición Se dice que tres números enteros a, b, c forman un triple pitagórico si a 2 + b 2 = c 2. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
27 Ternas pitagóricas El calificativo pitagórico en la definición anterior proviene de la relación que hay entre este tipo de curvas y los llamados triples (o ternas) pitagóricos de enteros: Definición Se dice que tres números enteros a, b, c forman un triple pitagórico si a 2 + b 2 = c 2. Por ejemplo, (3, 4, 5) es un triple pitagórico, conocido por los egipcios y babilonios, antes del propio Pitágoras. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
28 Ternas pitagóricas El calificativo pitagórico en la definición anterior proviene de la relación que hay entre este tipo de curvas y los llamados triples (o ternas) pitagóricos de enteros: Definición Se dice que tres números enteros a, b, c forman un triple pitagórico si a 2 + b 2 = c 2. Por ejemplo, (3, 4, 5) es un triple pitagórico, conocido por los egipcios y babilonios, antes del propio Pitágoras. La definición de hodógrafo pitagórico es en cierto modo la transposición a los polinomios de esta noción en los enteros (y como dijimos, ambos conjuntos son anillos). Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
29 Construcción de las ternas pitagóricas Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
30 Construcción de las ternas pitagóricas Lo interesante es que hay muchos triples pitagóricos; y existe un método constructivo para generarlos: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
31 Construcción de las ternas pitagóricas Lo interesante es que hay muchos triples pitagóricos; y existe un método constructivo para generarlos: Proposición los números a y b son parte de un triple pitagórico si y sólo si existen enteros u, v y r tales que (u, v) = 1 (esto es, son primos relativos) y a = r(u 2 v 2 ) ; b = 2ruv en cuyo caso c = r(u 2 + v 2 ) Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
32 Construcción de las ternas pitagóricas Lo interesante es que hay muchos triples pitagóricos; y existe un método constructivo para generarlos: Proposición los números a y b son parte de un triple pitagórico si y sólo si existen enteros u, v y r tales que (u, v) = 1 (esto es, son primos relativos) y a = r(u 2 v 2 ) ; b = 2ruv en cuyo caso c = r(u 2 + v 2 ) Si r = 1 decimos que el triple es primitivo. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
33 Prueba. Supongamos que a, b y c satisfacen a 2 + b 2 = c 2, con c 0. Entonces el punto (a/c, b/c) S 1, Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
34 Prueba. Supongamos que a, b y c satisfacen a 2 + b 2 = c 2, con c 0. Entonces el punto (a/c, b/c) S 1, Así, el problema es construir puntos en el círculo unitario de coordenadas racionales. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
35 Prueba. Supongamos que a, b y c satisfacen a 2 + b 2 = c 2, con c 0. Entonces el punto (a/c, b/c) S 1, Así, el problema es construir puntos en el círculo unitario de coordenadas racionales. Si consideramos la recta por ( 1, 0) y (a/c, b/c), su intersección con x = 1 (proyección estereográfica) es el punto (1, 2b/(a + c)). Luego, h = 2b/(a + c) Q. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
36 Prueba. Supongamos que a, b y c satisfacen a 2 + b 2 = c 2, con c 0. Entonces el punto (a/c, b/c) S 1, Así, el problema es construir puntos en el círculo unitario de coordenadas racionales. Si consideramos la recta por ( 1, 0) y (a/c, b/c), su intersección con x = 1 (proyección estereográfica) es el punto (1, 2b/(a + c)). Luego, h = 2b/(a + c) Q. Si calculamos ahora la intersección de la recta por (1, h) con S 1 (inversa de la proyección estereográfica), esto da x = 1 h2 1 + h 2 ; y = 2h 1 + h 2 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
37 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
38 Así, si hacemos h = u/v, con (u, v) = 1, llegamos a que y así ( a c, b ) ( u 2 v 2 ) = c u 2 + v 2, 2uv u 2 + v 2, a = λ(u 2 v 2 ), b = 2λuv y por tanto c = λ(u 2 + v 2 ), esto es λ = c u 2 + v 2 Q. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
39 Así, si hacemos h = u/v, con (u, v) = 1, llegamos a que y así ( a c, b ) ( u 2 v 2 ) = c u 2 + v 2, 2uv u 2 + v 2, a = λ(u 2 v 2 ), b = 2λuv y por tanto c = λ(u 2 + v 2 ), esto es λ = c u 2 + v 2 Q. Un argumento de divisibilidad muestra entonces que λ = r Z. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
40 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
41 Observación Esto muestra que hay una íntima relación entre las ternas pitagóricas y la geometría del círculo S 1 : Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
42 Observación Esto muestra que hay una íntima relación entre las ternas pitagóricas y la geometría del círculo S 1 : La construcción de las ternas pitagóricas muestra que el conjunto de puntos en S 1 cuyas dos coordenadas son racionales es infinito; de hecho, denso. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
43 Observación Esto muestra que hay una íntima relación entre las ternas pitagóricas y la geometría del círculo S 1 : La construcción de las ternas pitagóricas muestra que el conjunto de puntos en S 1 cuyas dos coordenadas son racionales es infinito; de hecho, denso. Esto tiene relación con la graficación por ordenador: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
44 Observación Esto muestra que hay una íntima relación entre las ternas pitagóricas y la geometría del círculo S 1 : La construcción de las ternas pitagóricas muestra que el conjunto de puntos en S 1 cuyas dos coordenadas son racionales es infinito; de hecho, denso. Esto tiene relación con la graficación por ordenador: Esencialmente: si graficamos físicamente el círculo, usando únicamente puntos de coordenadas racionales, la figura que vemos es un círculo. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
45 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
46 Observación Esta misma filosofía se puede aplicar a curvas polinomiales de grado más elevado, con resultados que son muy distintos. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
47 Observación Esta misma filosofía se puede aplicar a curvas polinomiales de grado más elevado, con resultados que son muy distintos. Por ejemplo, la curva x 4 + y 4 = 1, se menciona en el célebre último teorema de Fermat. El argumento anterior dice que si usamos sólo puntos de coordenadas racionales, sólo veríamos cuatro puntos!: ±(1, 0) y ± (0, 1). Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
48 Observación Esta misma filosofía se puede aplicar a curvas polinomiales de grado más elevado, con resultados que son muy distintos. Por ejemplo, la curva x 4 + y 4 = 1, se menciona en el célebre último teorema de Fermat. El argumento anterior dice que si usamos sólo puntos de coordenadas racionales, sólo veríamos cuatro puntos!: ±(1, 0) y ± (0, 1). El último teorema de Fermat fue publicado en 1637, en una nota al margen de un libro de Diofanto, con la anotación de que dicho margen era demasiado estrecho para escribir la prueba. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
49 Observación Esta misma filosofía se puede aplicar a curvas polinomiales de grado más elevado, con resultados que son muy distintos. Por ejemplo, la curva x 4 + y 4 = 1, se menciona en el célebre último teorema de Fermat. El argumento anterior dice que si usamos sólo puntos de coordenadas racionales, sólo veríamos cuatro puntos!: ±(1, 0) y ± (0, 1). El último teorema de Fermat fue publicado en 1637, en una nota al margen de un libro de Diofanto, con la anotación de que dicho margen era demasiado estrecho para escribir la prueba. Pero la primera prueba aceptada se debe a A. Wiles, y fue dada en 1995! Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
50 Diofanto y Fermat Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
51 Diofanto y Fermat Página del libro de Diofanto, con las notas de Fermat Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
52 Pasando al anillo de polinomios... Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
53 Pasando al anillo de polinomios... Esto se aplica mutatis mutandis al anillo de polinomios: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
54 Pasando al anillo de polinomios... Esto se aplica mutatis mutandis al anillo de polinomios: Proposición Sea α una curva polinomial (o de Bézier, si se prefiere). Entonces α es de hodógrafo pitagórico si y sólo si existen polinomios r, e y f tales que e y f no tienen raíces comunes (en C), r(t) > 0 y α (t) = r(t) ( e 2 (t) f 2 (t), 2e(t)f (t) ). Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
55 Pasando al anillo de polinomios... Esto se aplica mutatis mutandis al anillo de polinomios: Proposición Sea α una curva polinomial (o de Bézier, si se prefiere). Entonces α es de hodógrafo pitagórico si y sólo si existen polinomios r, e y f tales que e y f no tienen raíces comunes (en C), r(t) > 0 y α (t) = r(t) ( e 2 (t) f 2 (t), 2e(t)f (t) ). Si r es idénticamente 1, decimos que la curva es primitiva. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
56 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
57 Demostración. La demostración es muy similar a la dada para los enteros Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
58 Demostración. La demostración es muy similar a la dada para los enteros La interpretación geométrica se pierde en el paso a polinomios, pero todos los pasos algebraicos tienen sentido; en particular, el argumento de divisibilidad del final vale para polinomios Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
59 Demostración. La demostración es muy similar a la dada para los enteros La interpretación geométrica se pierde en el paso a polinomios, pero todos los pasos algebraicos tienen sentido; en particular, el argumento de divisibilidad del final vale para polinomios Observación Esto plantea la pregunta de qué propiedades debe tener un anillo para que funcione la construcción anterior. En álgebra abstracta esto se expresa diciendo que los anillos son dominios de factorización única. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
60 El plano complejo Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
61 El plano complejo Los puntos en el plano se pueden identificar con los números complejos: (a, b) a + bi, donde el número i se define como i = 1 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
62 El plano complejo Los puntos en el plano se pueden identificar con los números complejos: (a, b) a + bi, donde el número i se define como i = 1 Con esta identificación, una curva α : I R 2 se identifica con una función α : I C Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
63 El plano complejo Los puntos en el plano se pueden identificar con los números complejos: (a, b) a + bi, donde el número i se define como i = 1 Con esta identificación, una curva α : I R 2 se identifica con una función α : I C La utilidad aquí es que la condición de hodógrafo pitagórico se puede escribir de manera muy sencilla: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
64 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
65 Proposición Una curva α : I R 2 es de hodógrafo pitagórico si y sólo si existen una función polinómica real positiva r(t) y una función polinómica compleja z(t) tales que α (t) = r(t)z 2 (t). Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
66 Proposición Una curva α : I R 2 es de hodógrafo pitagórico si y sólo si existen una función polinómica real positiva r(t) y una función polinómica compleja z(t) tales que α (t) = r(t)z 2 (t). Demostración. Notamos que si w = a + ib C entonces w 2 = a 2 b 2 + 2iab. Usando el teorema anterior, simplemente hacemos z(t) = e(t) + if (t). Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
67 La cúbica de Tschirnhaus: expresión con números complejos Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
68 La cúbica de Tschirnhaus: expresión con números complejos Usemos esto para analizar a la cúbica de Tschirnhaus: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
69 La cúbica de Tschirnhaus: expresión con números complejos Usemos esto para analizar a la cúbica de Tschirnhaus: Recordamos que α(t) = (3t 2 1)(1, t). Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
70 La cúbica de Tschirnhaus: expresión con números complejos Usemos esto para analizar a la cúbica de Tschirnhaus: Recordamos que α(t) = (3t 2 1)(1, t). Luego, α (t) = (6t, 9t 2 1) que se identifica con la curva en el plano complejo 6t + i(9t 2 1). Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
71 La cúbica de Tschirnhaus: expresión con números complejos Usemos esto para analizar a la cúbica de Tschirnhaus: Recordamos que α(t) = (3t 2 1)(1, t). Luego, α (t) = (6t, 9t 2 1) que se identifica con la curva en el plano complejo 6t + i(9t 2 1). No tiene obviamente la forma del cuadrado de un número complejo; pero si multiplicamos por i obtenemos α (t) = i(1 9t 2 + 6it) = ( i) 2 (3t i) 2 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
72 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
73 Así, si usamos que i = 1 2 (1 + i), desarrollando la expresión anterior llegamos a la expresión polinomial para α que ya tiene la forma dada en la proposición: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
74 Así, si usamos que i = 1 2 (1 + i), desarrollando la expresión anterior llegamos a la expresión polinomial para α que ya tiene la forma dada en la proposición: 1 (1 i + 3(1 + i)t)2 2 (lo que corrobora además que la curva de Tschirnhaus es de hodográfo pitagórico). Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
75 Densidad de las curvas de hodógrafo pitagórico Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
76 Densidad de las curvas de hodógrafo pitagórico Por último, lo anterior permite ver que cualquier curva suave se puede aproximar por curvas de hodógrafo pitagórico: Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
77 Densidad de las curvas de hodógrafo pitagórico Por último, lo anterior permite ver que cualquier curva suave se puede aproximar por curvas de hodógrafo pitagórico: Primero, bajo la identificación de R 2 con C, para cualquier curva suave, el hodográfo se puede escribir en la forma α (t) = r(t)z 2 (t), simplemente es posible que ni r ni z sean polinomios. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
78 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
79 Podemos usar el teorema de Weierstrass para aproximar (uniformemente) r y z por polinomios tanto como deseemos, digamos r y z, con lo que aproximamos a α tanto como se desee. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
80 Podemos usar el teorema de Weierstrass para aproximar (uniformemente) r y z por polinomios tanto como deseemos, digamos r y z, con lo que aproximamos a α tanto como se desee. Finalmente, como la integral de un polinomio es un polinomio, para aproximar a la curva original, simplemente integramos. Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
81 Podemos usar el teorema de Weierstrass para aproximar (uniformemente) r y z por polinomios tanto como deseemos, digamos r y z, con lo que aproximamos a α tanto como se desee. Finalmente, como la integral de un polinomio es un polinomio, para aproximar a la curva original, simplemente integramos. Una aproximación polinomial se escribe entonces así: t α(t) = α(t 0 ) + r(s) z(s) ds. t 0 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
82 Ejercicios Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
83 Ejercicios Ejercicio Haz un cambio de parámetro adecuado para describir el lazo de la curva de Tschirnhaus como una curva en el intervalo [0, 1], y descríbela como curva de Bézier (es decir, da su poĺıgono de control). Ejercicio Escribe la ecuación de la curva paralela al lazo de la curva de Tschirnhaus, como una curva en el intervalo [0, 1]; De qué grado es la curva? Puedes relacionarla con la curva del ejercicio anterior? Fausto Ongay (CIMAT) Julio, / 23
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