Taller de Informática I Dpto. Computación F.C.E. y N. - UBA

Transcripción

1 Ajuste de Curvas El ajuste de curvas es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de N pares de puntos {xi, yi} (siendo x la variable independiente e y la dependiente), se determina una función matemática f(x) de tal manera que la suma de los cuadrados de la diferencia entre la imagen real y la correspondiente obtenida mediante la función ajustada en cada punto sea mínima: Generalmente, se escoge una función genérica f(x) en función de uno o más parámetros y se ajusta el valor de estos parámetros de la manera que se minimice el error cuadrático, ε. La forma más típica de esta función ajustada es la de un polinomio de grado M; obteniéndose para M = 1 un ajuste lineal (o regresión lineal), Para M = 2 un ajuste parabólico, etc. Suponga que mide la altura h del crecimiento de un cultivo. La altura (medida en cm) es una función del tiempo (en días). Suponga que se mide la altura una vez al día y se obtienen los siguientes datos: t (días) h (cm) Para graficar estos datos en MATLAB, debemos representarlos como arreglos unidimensionales; como sigue: >> t=[ ] >> h=[ ] Para graficar, empleamos el comando plot de la siguiente manera: >> plot(t,h, ro ) El argumento ro del comando plot MATLAB dibuja un circulo rojo en cada dato. Esto es opcional, puesto que si se omite, MATLAB une los puntos mediante segmentos de línea recta. Haga la prueba.

2 Para cambiar los límites de los ejes, de forma que se muestren claramente todos los puntos, podemos forzar a MATLAB a tomar los intervalos [0,6] en x y de [0,15] en y. Para ello escribimos: >> axis([ ]) Al inspeccionar la gráfica construida, h(t) es una función lineal? Aún cuando no parece exactamente una línea recta, parece que hay una relación lineal del crecimiento con respecto al tiempo. Cómo poder conocer la función lineal que mejor se ajuste a los puntos? Ajuste de curvas por aproximación La aproximación es una representación inexacta de algo que, sin embargo es suficientemente fiel como para ser útil. Se propone una función f(x) que se relaciona con la muestra x. Para lograr la función f se selecciona una técnica que busque aquellos valores de los parámetros que mejor se ajuste a la interpretación de los datos. De esta forma, se obtienen como solución los valores de los parámetros de f y un valor de aproximación de la curva a la muestra. Técnica de los Cuadrados Mínimos Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

3 Comandos de Matlab: polyfit(x,y,n) : nos da los coeficientes, en sentido descendente, del polinomio que interpola los nodos (x; y) donde x = [x 1 ; x 2 ; ; x n+1 ] y y = [y 1 ; y 2 ; ; y n+1 ]. polyval(p,x): evalua el polinomio cuyos coeficientes vienen dados en sentido descendente por el vector p = [a n ; a n-1 ; ; a 0 ] en los valores dados por el vector x. poly(r): calcula los coeficientes del polinomio cuyos raíces vienen dadas por el vector r. Ejemplo: Dados los vectores t y h anterior, busquemos una función lineal que aproxime, o sea buscamos una función del estilo h=a*t + b. >>coef=polyfit(t,h,1); En coef tengo un vector con los coeficientes de la función lineal, por lo tanto ya puedo evaluarla haciendo: >>h1=coef(1)*t + coef(2); % donde coef(1) es el coeficiente a y coef(2) el b h1 = El mismo resultado obtenemos usando la función Matlab: >> h2=polyval(coef,t) h2 = Graficamos los datos tomados originalmente y la aproximación:

4 Vamos a tomar un nuevo conjunto de datos al que llamamos L: >> L=[ ] Hacemos el gráfico y cambiamos los ejes para mostrar mejor: >> plot (t,l,'ro') >> axis([ ]) Vemos a simple vista que una recta no sería una buena aproximación, pero tal vez podríamos usar un polinomio de grado 2:

5 coef=polyfit(t,l,2) coef = >> L1=polyval(coef,t) L1 = >> hold on >> plot (t,l1) Vamos a comparar con una aproximación lineal para ver cómo sería: >> coef=polyfit(t,l,1) coef = >> L3=polyval(coef,t) L3 = >> plot (t,l3,'g') Este es el resultado:

6 Ejercicio: El número de habitantes censados en una determinada ciudad desde 1995 a 2004 se resume en la tabla siguiente: Año= Número= (1) Aproximar usando una recta, un polinomio de grado 2 y un polinomio de grado 3. (2) Grafica utilizando la misma figura gráfica para comprar resultados Debería quedar algo así: Ajuste de curvas por interpolación Consiste en determinar la expresión de una función predeterminada que coincide con la relación que se desea aproximar en cada uno de los puntos conocidos de esta última. En este caso la relación debe cumplir con la definición de función. Hay varios métodos para realizar interpolación: Método de Lagrange Método de Newton de diferencias divididas Método de Spline

7 Resulta importante poder determinar cuándo utilizar uno de los dos tipos de métodos, los siguientes criterios nos pueden servir de guía para ese propósito: 1. No se puede utilizar la interpolación de funciones cuando el conjunto de los puntos conocidos de la relación que se busca no cumple con la definición de función, o sea, dos imágenes diferentes de la relación le corresponden a un mismo valor de su argumento. 2. Cuando los puntos conocidos de la relación no son exactos. Por ejemplo: son pronósticos. 3. Cuando se tienen muchos puntos de la relación. Métodos de Interpolación de funciones El problema se puede plantear formalmente así: Sea f(x) una función de la que se conocen (n+1) puntos y i = f(x i ), i= 0, 1,, n. Se desea hallar una función g(x) tal que g(x i )=f(x i ) para todo i= 0, 1,, n. Los valores x i del argumento de la función se denominan puntos o nodos de interpolación. La función g(x) se denomina función interpoladora. La expresión E(x)= f(x) g(x) define el error con que la función interpoladora g(x) aproxima a la función f(x) en el punto (x, f(x)). Esta definición no permite calcular el error en la práctica pues sería necesario conocer el valor de la función en el punto, que es precisamente lo que no conocemos. El método de Lagrange La interpolación de polinomios de Lagrange es una reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo de la tabla de diferencias, el polinomio de Lagrange se expresa como: ( x x0) L( x xi 1)( x xi+ 1) L( x xn) L in ( x) = ( x x ) L( x x )( x x ) L( x x ) i 0 i i 1 i i+ 1 i n Dando el siguiente polinomio de interpolación: P n (x) = y 0 L 0n (x) + y 1 L 1n (x) + y 2 L 2n (x) + + y n L nn (x) La obtención del polinomio de interpolación en forma normal requiere la resolución de un sistema de ecuaciones lineales, cuyo costo aritmético es alto y depende del el número n de nodos Por ejemplo, el polinomio de Lagrange de primer grado es: Mientras que el polinomio de Lagrange de segundo grado es:

8 Interpolación por Spline Una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido sobre un subintervalo, que se unen entre sí obedeciendo a ciertas condiciones de continuidad. Supongamos que disponemos de n+1 puntos, a los que denominaremos nudos, tales que t 0 >t 1 > >t n. Supongamos además que se ha fijado un entero k>=0. Decimos entonces que una función spline de grado k con nudos en t 0,t 1,,t n es una función S que satisface las condiciones: (i) en cada intervalo [t i-1, t i ), S es un polinomio de grado menor o igual a k. (ii) S tiene una derivada de orden (k-1) continua en [t 0,t n ]. Splines cúbicos El spline cúbico (k=3) es el spline más empleado, debido a que proporciona un excelente ajuste a los puntos tabulados y su cálculo no es excesivamente complejo. Sobre cada intervalo, S está definido por un polinomio cúbico diferente. Sea S i el polinomio cúbico que representa a S en el intervalo [t i,t i+1 ], por tanto: Los polinomios S i-1 y S i interpolan el mismo valor en el punto t i, es decir, se cumple: S i-1 (t i ) = y i = S i (t i ) por lo que se garantiza que S es continuo en todo el intervalo. Además, se supone que S' y S'' son continuas, condición que se emplea en la deducción de una expresión para la función del spline cúbico. Así pues, se puede decir de manera informal, que una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.

9 En Matlab Matlab trae implementada la función spline para la interpolación por splines cúbicos. El comando yy = spline(x,y,xx) efectúa la interpolación de la nube de puntos dada por los vectores x, y por medio de splines cúbicos. En la salida (variable yy) obtenemos los valores del spline evaluado en los puntos dados en el vector xx. Si y es una matriz, la interpolación se realiza para cada fila de y. Ejemplo simple con la función seno: >> x = 0:10; y = sin(x); >> xx = 0:.25:10; >> yy = spline(x,y,xx); >> plot(x,y,'o',xx,yy) dibuja una aproximación a la gráfica de la función sen (t) a partir de la interpolación con splines cúbicos. Otro ejemplo La siguiente secuencia de instrucciones calcula por un lado la aproximación polinómica de grado 5 para los puntos (1,5), (3,1), (4,3), (5,-1), (7,4) y (10,2) y, alternativamente la spline cúbica realizando comparación de gráficos:

10 x=[ ]; y=[ ]; Coef = polyfit(x,y,5); t=0:0.1:11; P=polyval(Coef,t); plot(x,y,'*k') hold on; plot(t,p,'k') S=interp1(x,y,t,'spline'); plot(t,s,'r') % Coordenada x de la medición original % Coordenada y de la medición original % Se hallan los coeficientes % Se determinan los puntos sobre los cuales se evalúa el polinomio % P es el vector con el resultado de la evaluación polinómica % idéntico a S=spline(x,y,t); Queda:

11 Construyamos mediante splines cúbicas el contorno de la citroneta de la fotografía: i) Primero, se realiza la toma de datos usando una malla cuadriculada sobre la fotografía: ii) Luego, los datos se tabulan. Los datos sel contorno superior son:

12 >>Xk=[ ]; >>Yk= [ ]; >>xk1=2:0.01:36; >> spl1=spline(xk,yk,xk1); >> plot(xk1,spl1) >> axis([ ]) Lo que queda es lo siguiente: