A = a 21 1 a 23 0 a Estudiar si los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para A convergen o divergen simultáneamente. (1.5p).

Transcripción

1 1 PROBLEMA.1 Convergencia de esquemas iterativos para una matriz tridiagonal. Se considera una matriz tridiagonal de 3x3 del tipo siguiente: 1 a 12 A = a 21 1 a 23 a 32 1 Se pide: 1. Estudiar si los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para A convergen o divergen simultáneamente. (1.5p). 2. Encontrar una condición necesaria y suficiente sobre los elementos de la matriz A para que ambos converjan. (p). 3. En el caso de que ambos métodos converjan, Cuál lo hace más rápidamente? Justificar la respuesta. (p). 4. Suponiendo que a 12 = a 21 = a 32 = a 23 =, que el término independiente del sistema lineal es b = (1.5,2.,1.5) t, y que el estimador inicial es b, comprobar que se verifica el apartado 3 utilizando el residuo de la primera iteración para ambos métodos.(1.5p). 5. Suponiendo que a 12 = a 21 = y que a 32 = e a23, Cuánto debe valer a 23 para que la velocidad de convergencia de GS sea máxima? (1.2p). Caso de que haya que resolver una ecuación no lineal, se hará mediante el método de Newton. 6. Para ese valor de a 23 y tomando el mismo b y estimador inicial que en 4, cuántos pasos son necesarios para tener un error menor que.1? (p). 7. Suponiendo que a 12 = a 21 = y que a 32 = e a23, Cuánto debe valer a 23 para que la velocidad de convergencia de Jacobi sea máxima?(.3p). Caso de que haya que resolver una ecuación no lineal, se hará mediante el método de Newton.

2 2 Solución: 1. Estudiemos la matriz de iteración de Jacobi J = M 1 N: Por tanto: Estudiemos sus autovalores: Tenemos los autovalores: M = I; M N = A; N = I A; M 1 N = I(I A) = I A y por tanto, el radio espectral vale: M 1 N = a 12 a 21 a 23 a 32 λ a 12 λ a 23 a 32 λ = λ 1 =, λ 2 = λ 3 = a 12 a 21 + a 23 a 32 ρ(j) = a 12 a 21 + a 23 a 32 Estudiemos ahora la matriz de iteración de Gauss-Seidel, GS = M 1 N. 1 1 M = a 21 1, M 1 = a 21 1 a 32 1 a 21 a 32 a 32 1 Calculemos sus autovalores: y por tanto, el radio espectral vale: Lo que quiere decir que: N = M 1 N = a 12 a 23 a 12 a 21 a 12 a 23 a 21 a 12 a 32 a 32 a 23 λ a 12 a 21 a 12 λ a 23 a 21 a 12 a 32 a 32 a 23 λ = λ 1 = λ 2 =, λ 3 = a 12 a 21 + a 23 a 32 ρ(gs) = a 12 a 21 + a 23 a 32 ρ(j) = ρ(gs) La condición necesaria y suficiente para la convergencia es que el radio espectral de la matriz de iteración sea menor que la unidad. Dada la relación entre ellos, es claro que las dos serán mayores o menores que la unidad simultáneamente y por tanto convergerán o divergerán simultáneamente. 2. La condición necesaria y suficiente es que: a 12 a 21 + a 23 a 32 < 1

3 3 3. Caso de que haya convergencia, siendo los dos radios espectrales menores que la unidad, tendremos que ρ(j) ρ(gs) y por tanto el método de Jacobi convergerá más lentamente. 4. Si que a 12 = a 21 = a 32 = a 23 =, tendremos que: ρ(j) =.771, ρ(gs) = En el caso de Jacobi, como la matriz M es directamtente la identidad, tendremos que: Por tanto: x 1 = Nx + b = Nb + b = (N + I)b = Evaluemos el residuo: r 1 = b Ax 1 = x k+1 = Nx k + b , r 1 = = En el caso de Gauss-Seidel: Mx k+1 = Nx k + b Mx 1 = Nx + b = Nb + b = (N + I)b = = x 1 = 1.25, x 1 = Evaluemos el residuo: r 1 = b Ax 1 =.25., r 1 = Vemos que el residuo de GS es menor que el de Jacobi al final de la primera iteración, como era de esperar dada la diferencia en velocidad de convergencia. 5. En el caso de que a 12 = a 21 = y que a 32 = e a23, tendremos que ρ(gs) =.25 + a 23 e a23 Hay que buscar el valor de a 23 que hace mínimo el radio espectral. Para dibujar esta curva, hay que pensar que es la suma de xe x con una constante, y tomando el valor absoluto (ver figura 1). La curva xe x corta el eje en x = y al subirla.25 lo cortará en otro punto, que es el que tenemos que encontrar, pues la velocidad de convergencia óptima se consigue con el radio espectral lo más pequeño posible, y en este caso podemos alcanzar el cero. Por tanto, tenemos que encontrar a 23 tal que.25 + a 23 e a23 = Ya lo tenemos del modo adecuado para aplicar el método de Newton: a k+1 23 = a k a 23e a23 e a23 + a 23 e a23 Podemos utilizar a 23 = como huésped inicial, dado que era este punto donde está la raiz sin el término constante. Los valores que vamos obteniendo son los siguientes:

4 a Figura 1: Apartado 5, problema.1 k a k Por tanto, a 23 = Para hacer estas iteraciones en Matlab, basta hacer un pequeño fichero con las siguientes sentencias, y repetirla tantas veces como iteraciones queramos hacer. format long; x=; x=x-(.25+x*exp(x))/(exp(x)+x*exp(x)) x=x-(.25+x*exp(x))/(exp(x)+x*exp(x)) x=x-(.25+x*exp(x))/(exp(x)+x*exp(x)) 6. Al ser el radio espectral, la convergencia se produce directamente en una sóla iteración. 7. Dada la relación que existe entre los radios espectrales de Jacobi y Gauss-Seidel, el valor que obtendremos para a 23 será el mismo.

5 5 PROBLEMA.2 Polinomio óptimo. Sean h(x) = x, f(x) = h (x). Buscamos un número real θ, con < θ < 1 y un polinomio cúbico de coeficientes reales p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tal que su polinomio derivada interpole a la función f en { θ, θ+1 2,1} y tal que f(x) p (x) 1 3, θ < x < 1 1. Encontrar una relación que permita encontrar un valor de θ lo más pequeño posible. 2. Se supone que la relación obtenida es: (1 θ) 3 = kθ 3.5, k =.124 Se pide transformar este problema no lineal del modo más sencillo posible en uno de aproximaciones sucesivas, tal que el punto fijo de ese problema sea el valor buscado θ. Se pide iterar sobre él hasta encontrar la solución. Se pide razonar de modo aproximado sobre la convergencia y sobre la velocidad de convergencia. Se elegirá como estimador inicial.9, y se darán los pasos necesarios en el esquema para estabilizar el cuarto decimal. 3. Calcular p y representar gráficamente p f. 4. Con el valor de θ obtenido en el apartado anterior, calcular p de tal modo que p h 2 sea mínima, con: 1 g 2 = g(x) 2 dx θ

6 6 Solución: 1. Sea q el polinomio derivada de p: Sea f la derivada de h: q(x) = p (x) = Ax 2 + Bx + C f(x) = dh dx = 1 2 x Interpolamos f en la partición equiespaciada { θ, θ+1 2,1} para construir q. Mayoramos el error usando el error estudiado en la teoría (pág.??) f(x) q(x) H(x) f (ξ(x)) 3!, ξ,x [θ,1] ( H(x) = (x θ) x θ + 1 ) (x 1) 2 Cuando el error lo estamos midiendo en un punto entre el mínimo y el máximo en la subdivisión, podemos aplicar la desigualdad??, (pág.??): con: Como: f q f(n+1) 4(n + 1) hn+1 (1) 1 θ g = máx g(x), n = 2, h = x [θ,1] 2 f (ξ) = ξ 7 2, f = θ 3.5 Entrando con estos valores en 1, deducimos la siguiente acotación: f q (1 θ) θ 3.5 = 5 (1 θ) θ 3.5 La condición sobre la que se trabaja para obtener el valor de θ será: O lo que es lo mismo: 5 (1 θ) θ (1 θ) 3 kθ 3.5, k =.124 El valor límite buscado será aquel en el que se dé la igualdad. Es fácil ver gráficamente cómo se comportan los dos miembros de la desigualdad, dado que las dos funciones son muy sencillas de dibujar, y ver que tendremos sólo una raíz en el intervalo [,1], fig. 2. Estas son las líneas Matlab que usamos para representar esta gráfica. k=.124; t=:.1:1; f1=(1-t).^3; f2=k*t.^3.5; plot(t,f1,t,f2);

7 Figura 2: Curvas cuya intersección define θ 2. Transformamos el problema en uno de punto fijo, θ = T(θ), con: Elegimos esta formulación frente a: θ = θ + (1 θ) 3 kθ 3.5 θ = θ (1 θ) 3 + kθ 3.5 por el valor de la derivada en la zona de la raíz, que en la primera es menor que uno (.6), y en la segunda no ( 1.4). En suma: T(θ) = θ + (1 θ) 3 kθ 3.5 El hecho de que en la zona de la raiz, la derivada sea en valor absoluto menor que uno, sugiere la convergencia del método. Veámoslo. Tomemos como estimador inicial.9, que por la figura está relativamente cerca de la raiz, y repitamos la última de las instrucciones Matlab siguientes: >>t=.9; >>k=.124; >>t=t+(1-t)^3-k*t^3.5 >>t=t+(1-t)^3-k*t^3.5 Para obtener los siguientes valores: i θ i Como vemos, la convergencia no es mala. Si estudiamos la derivada de T en la raíz, su valor es: T (.6943) = 1 3(1.6943) 2 k = 757 que no es ni muy cercano a la unidad ni al cero, lo que justifica una convegencia razonable, aunque no muy rápida.

8 8 4.5 x x Figura 3: Problema.2. f(x) q(x) 3. Calculemos el polinomio q que interpola a f en los puntos {θ,(θ + 1)/2,1}. Lo hacemos en la base de los monomios, porque después vamos a tener que integrar esta derivada, y hacerlo en esa base es muy sencillo. Impongamos que q(.6943) = f(.6943) q(.6943) = f(.6943) = =.61 = A B C Lo mismo con (θ + 1)/2 y con 1, para tener el siguiente sistema lineal: A.61 A B = 432, B C C = q(x) = Ax 2 + Bx + C =.298x 2.82x Podemos ver la diferencia entre f y q en valor absoluto en la figura 3. Observamos que esa diferencia se hace cero en los nodos de la interpolación, como tiene que ser. Si usamos las siguientes líneas Matlab, la primera gráfica corresponde a las funciones p y q y se observa lo bueno que es el ajuste entre ambas; la segunda gráfica es la que representamos en la figura 3. t=.6943:.1:1; q= *t+.298*t.^2; f=1/2./sqrt(t); plot(t,q,t,f); shg; pause; plot(t,abs(q-f)); shg; 4. Integremos el polinomio q para tener el p: q(x) = Ax 2 + Bx + C =.298x 2.82x p(x) = q(x)dx =.969x 3.41x x + d = r(x) + d

9 Figura 4: Problema.2. Funciones h y p. Para determinar d usaremos la condición de que la distancia a la función original x sea mínima en la norma 2, o sea, tratamos de que r(x) + d x 2 sea mínimo. Esto es equivalente a buscar que sea mínimo d ( x r(x) ) 2 Como la norma deriva de un producto escalar, y visto de este modo, estamos buscando la mejor aproximación en el subespacio vectorial de las funciones de valor constante. Dicha mejor aproximación será la proyección ortogonal sobre ese subespacio, cuya base más obvia es la función constante igual a 1. d ( x r(x) ),1 = d 1,1 x r(x),1 = 1 θ d = ( x r(x)) dx 1 θ dx = =.2839 Podemos realizar estas operaciones con las siguientes líneas Matlab: syms x; r=.969*x^3-.41*x^ *x; I=int(sqrt(x)-r); x=.6943; I1=eval(I); x=1; I2=eval(I); d=(i2-i1)/( ); Presentamos las funciones p y h en la figura 4, donde se observa lo bien que el polinomio ajusta a la raiz en la zona de interés, entre θ y 1. La expresión analítica final de p es: p(x) =.846x x x