INTERPOLACIÓN POLINÓMICA POR TRAMOS: Planteamiento

Transcripción

1 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA POR TRAMOS: Planteamiento Prof. Arturo Hidalgo LópezL Prof. Alfredo López L Benito Prof. Carlos Conde LázaroL Marzo,

2 OBJETIVOS 1º. Justificar la necesidad de interpolar por tramos. 2º. Conocer el problema general de interpolación polinomial 3º Calcular funciones interpoladoras polinómicas por tramos a través de la resolución de un sistema de ecuaciones 4º. Conocer y definir las funciones de base de Lagrange del espacio de funciones polinómicas de grado 1 y 2 por tramos asociadas a una partición realizada con un soporte de (n+1) puntos distintos. 5º. Utilizar las funciones de base anteriores para calcular funciones interpoladoras polinómicas de grado 1 y 2 por tramos 2

3 Error en en la la interpolación polinómica de de Lagrange con con un un número de de puntos de de soporte elevado (1/5) Soporte con 5 puntos equidistantes en [-8, 8] Polinomio interpolador de Lagrange f(x) = (1+x 2 ) -1/2 Error absoluto cometido (< 0.4) 3

4 Error en en la la interpolación polinómica de de Lagrange con con un un número de de puntos de de soporte elevado (2/5) Soporte con 15 puntos equidistantes en [-8, 8] Polinomio interpolador de Lagrange f(x) = (1+x 2 ) -1/2 Error absoluto cometido (< 10) 4

5 Error en en la la interpolación polinómica de de Lagrange con con un un número de de puntos de de soporte elevado (3/5) Soporte con 19 puntos equidistantes en [-8, 8] Polinomio interpolador de Lagrange f(x) = (1+x 2 ) -1/2 Error absoluto cometido (< 50) 5

6 Error en en la la interpolación polinómica de de Lagrange con con un un número de de puntos de de soporte elevado (4/5) Los polinomios de grado elevado tienen una naturaleza oscilante. Ello hace que en numerosos casos el incrementar el número de puntos de soporte conduzca a cotas de error cada vez más elevadas Si incrementar el grado del polinomio interpolador no mejora la precisión de los resultados globales QUË SE PUEDE HACER PARA MEJORARLOS? 6

7 Error en en la la interpolación polinómica de de Lagrange con con un un número de de puntos de de soporte elevado (5/5) Los polinomios de grado elevado tienen una naturaleza oscilante. Ello hace que en numerosos casos el incrementar el número de puntos de soporte conduzca a cotas de error cada vez más elevadas Si incrementar el grado del polinomio interpolador no mejora la precisión de los resultados globales QUË SE PUEDE HACER PARA MEJORARLOS? 7

8 Acciones para mejorar la la precisión de de los los resultados del del proceso de de interpolación de de Lagrange (1/2) 1ª Distribuir mejor los puntos del soporte de interpolación. Idea: Buscar la mejor posición de los puntos del soporte para minimizar la cota de error de interpolación Pafnuty Lvovich CHEBYSHEV Rusia (n+ 1 n x* = x* / x* = f ( ξ* (a,b) ξ* ξ( ) E( ) ) (x*-x i) (n+1)! No depende de la posición de los puntos i=0 Depende de la posición de los puntos del soporte Posición óptima de los (n+1) puntos de soporte en un intervalo (a, b) a + b b a 2 i + 1 x i = + cos π (i = 0,1,...,n) n + 2 8

9 Acciones para mejorar la la precisión de de los los resultados del del proceso de de interpolación de de Lagrange (2/2) 2ª Interpolar por tramos Idea: Subdividir el intervalo en el que se interpola en subintervalos definidos entre puntos del soporte, con un menor número de puntos en cada uno de ellos y usando así tramos polinómicos de bajo grado (habitualmente 1 o 2). 9

10 Interpolación por por tramos: Idea general (1/4) Soporte con 11 puntos equidistantes en [-8, 8] f(x) = (1+x 2 ) -1/2 Error absoluto cometido (< 2.1) Polinomio interpolador de Lagrange 10

11 Interpolación por por tramos: Idea general (2/4) Soporte con 11 puntos equidistantes en [-8, 8] Error absoluto cometido (< 0.1) f(x) = (1+x 2 ) -1/2 Función interpoladora compuesta por los tramos de los polinomios de primer grado que interpolan a f(x) considerando los puntos del soporte de dos en dos. 11

12 Interpolación por por tramos: Idea general (3/4) Procedimiento general 1º. Subdividir el soporte en una colección de sub-soportes en los que haya un menor número de puntos. 2º. Interpolar en cada uno de los sub-soportes así formados con polinomios de menor grado. p (3) p (1) p (2) p (4) 12

13 Interpolación por por tramos: Idea general (4/4) 3º. Formar la función interpoladora uniendo los tramos de polinomios determinados sobre cada sub-soporte. p (3) p (1) p (2) p (4) Función interpoladora polinómica a trozos p p (1) p (3) (2) p (4) u( x) p = p (1) p ( ( 2) ( 3) p ( (4) x) (x) x) ( x) [ 0 1] [ 1 2] [ x2,x4] [ x x ] si x x,x si x x,x si x si x,

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