ETS Minas: Métodos matemáticos Guía de estudio: Tema 6 Integración numérica

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1 ETS Minas: Métodos matemáticos Guía de estudio: Tema 6 Integración numérica Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Octubre 2008, versión Introducción En la resolución de un buen número de problemas científicos y técnicos es necesario calcular el valor de integrales definidas Z b a f(x) dx. Entre una multitud de casos, podemos tomar como ejemplos bien conocidos el cálculo de la posición de un móvil que se mueve con velocidad variable, el trabajo realizado por una fuerza variable, la fuerza total que soporta un dique, el volumen de un sólido de revolución, la longitud de un tramo de curva, etc. Si podemos determinar una función F (x) que sea primitiva del integrando f(x) en el intervalo [a, b], entonces se puede obtener el valor de la integral definida mediante la fórmula de Barrow-Newton Z b a f(x) dx = F (x) b a = F (b) F (a). Sin embargo, todos sabemos que la determinación de la primitiva de una función dada puede ser una tarea complicada, incluso imposible. El objetivo de este tema es presentar estrategias que permitan aproximar convenientemente el valor de una integral definida usando únicamente el valor que toma el integrando f(x) en algunos puntos del intervalo de integración. El contenido del tema es el siguiente: 1. Fórmulas de cuadratura 2. Fórmulas de Newton-Cotes 3. Fórmulas compuestas 1

2 Francisco Palacios Tema 6: Integración numérica. 2 2 Objetivos 2.1 Teóricos Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de: Distinguir claramente entre cálculo aproximado y exacto de una integral definida. Explicar la estrategia empleada en la construcción de las fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes. Escribir la fórmula de trapecio y su fórmula de error. Escribir la fórmula de Simpson y su fórmula de error. Escribir la fórmula de trapecio compuesto con n tramos y fórmula de error. Escribir la fórmula de simpson compuesto con m tramos y su fórmula de error. 2.2 Cálculo manual Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de: Aproximar el valor de una integral definida usando la fórmula simple del trapecio y calcular una cota superior de error. Aproximar el valor de una integral definida usando la fórmula simple de Simpson y calcular una cota superior de error. Aproximar el valor de una integral definida usando la fórmula del trapecio compuesto con n tramos (para un número pequeño de tramos) y calcular una cota superior de error. Determinar el número de tramos necesario para aproximar una integral definida con una precisión dada usando la fórmula del trapecio compuesto. Aproximar el valor de una integral definida usando la fórmula de Simpson compuesto con m tramos (para un número pequeño de tramos) y calcular una cota superior de error. Determinar el número de tramos necesario para aproximar una integral definida con una precisión dada usando la fórmula de Simpson compuesto.

3 Francisco Palacios Tema 6: Integración numérica Cálculo con ordenador Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de Calcular primitivas con int. Calcular integrales definidas con int. Aproximar el valor de una integral usando un polinomio interpolador. Predecir el comportamiento de la fórmula de trapecio y de Simpson a partir de una representación gráfica del integrando f(x) en el intervalo de integración. Escribir un grupo de comandos que permita calcular el valor de trapecio y Simpson simple. Escribir un grupo de comandos que permita calcular el valor de trapecio y Simpson doble. Representar sumas de Riemann usando la librería student. Calcular sumas de Riemann usando la librería student. Calcular gráficamente cotas superiores para f (2) (x) y f (4) (x) yusarlas convenientemente en la valoración de errores y en determinación del número de tramos para las fórmulas compuestas. Calcular el valor de trapecio compuesto con n tramos con el comando trapezoid. Calcular el valor de Simpson compuesto con m tramos con el comando simpson. 3 Orientaciones para el estudio Resuelve manualmente los ejemplos del Resumen de clase correspondientes a las secciones 2,3. Resuelve los ejercicios 2,3,4,5,6,7,8. Los ejercicios contienen algunas apartado para resolver con Maple. Recuerda que después de asistir a la clase práctica, tienes que imprimir la practica y volver a hacerla tú solo.

4 Francisco Palacios Tema 6: Integración numérica. 4 4 Temporalización Aproximadamente, el tiempo necesario para cubrir el tema es el siguiente: Actividad Tipo Duración Explicación teórica, ejemplos Clase teoría 2h Ejemplos, problemas Clase prácticas 1h Prácticas ordenador Clase prácticas 2h 5h Leer guia estudio, resumen Trabajo personal 0,75h Problemas a mano Trabajo personal 1,5h Hacer práctica Trabajo personal 0,75h Poblemas con Maple Trabajo personal 0,75h Cuestionario Trabajo personal 0,25 4h 5 Actividades complementarias Si dispones de tiempo, puedes realizar alguna de las siguientes actividades. Revisa la Resolución de ejercicios con Maple correspondiente al tema. Resuelve los problemas 9, 10 y 11. Resuelve el problema 12.

5 Cuestionario Tema 6: Integración Numérica Alumno: 1. Asistencia a clase. Indica si has asistido a todas las clases de teoría y prácticas correspondientes al tema, en caso de no asistencia indica si has dedicado un tiempo equivalente de estudio personal. Finalmente, indica (si procede) el número de horas de clase perdidas que no hayas recuperado mediante estudio personal. Clases de teoria Clases de práctica Asistencia Recuperado Si No Si No En parte Horas perdidas 2. Tiempo de estudio personal Lectura de guía de estudio y resumen Hacer problemas a mano Hacer práctica Hacer problemas con Maple Tiempo 3. Puntúa la utilidad de los documentos de estudio entre 1 (= es una pérdida de tiempo) y 5 (=muy útiles). Si no has descargado el documento, deja la casilla en blanco. Guía de estudio Resumen Problemas Problemas resueltos Problemas resueltos con Maple Práctica Puntuación 4. Revisa la lista de objetivos y escribe dos o tres tópicos que te gustaría quesevolvieranaexplicarenclase. 5. Revisa la lista de objetivos y da una estimación intuitiva entre 1 y 5 de tu grado de cumplimiento de esos objetivos. 6. Sugerencias: