Integración numérica

Transcripción

1 Integración numérica Javier Segura Cálculo Numérico I. Tema 4. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 1 / 21

2 Introducción y definiciones Estructura de la presentación: 1 Introducción y definiciones 2 Fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas simples Fórmulas compuestas Regla trapezoidal recurrente 3 Integración Gaussiana Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 2 / 21

3 Introducción y definiciones Definición Dada una función f (x) integrable en [a, b] y una aproximación a la integral dada por b n I(f ) = f (x)dx w i f (x i ) a i=0 donde a x 0 < x 1 <... < x n b, diremos que Q(f ) = n w i f (x i ) i=0 es una regla de cuadratura de n + 1 puntos que aproxima la integral definida. A los números w i se les llama pesos de la regla de cuadratura. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 3 / 21

4 Introducción y definiciones Definición Se define el error de truncamiento para la regla de cuadratura como E(f ) = I(f ) Q(f ) y se dice que el grado de exactitud de una regla de cuadratura es K cuando la regla da el resultado exacto de la integral para todos los polinomios de grado menor o igual que K, pero no así para mayores grados. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 4 / 21

5 Estructura de la presentación: 1 Introducción y definiciones 2 Fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas simples Fórmulas compuestas Regla trapezoidal recurrente 3 Integración Gaussiana Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 5 / 21

6 Fórmulas simples Fundamento de las fórmulas de Newton-Cotes: utilización del polinomio interpolador que pasa por un determinado número de puntos como aproximante del integrando f (x). Fórmula de Lagrange del polinomio interpolador para n + 1 puntos de interpolación: f (x) n f (x i )L i (x) Entonces, la fórmula de Newton-Cotes de n + 1 puntos sería: i=0 siendo xn x 0 f (x)dx w i = xn x 0 n w i f (x i ) i=0 L i (x)dx Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 6 / 21

7 Fórmulas simples Regla trapezoidal: Tomamos sólo dos puntos de interpolación (n = 1). f (x) P 1 (x) = f (x 0 ) x x 1 x 0 x + f (x 1 ) x x 0 1 x 1 x de modo que la aproximación es: 0 I(f ) = x1 x 0 f (x) x1 x 0 P 1 (x)dx = h (f 0h(1 s) + f 1 sh) h ds donde se ha considerado el cambio x = x 0 + sh, 0 s 1 y denotamos f i = f (x i ). Entonces: I(f ) = h 2 (f 0 + f 1 ) Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 7 / 21

8 Fórmulas simples Regla de Simpson: La regla de Simpson es la que se obtiene al interpolar en tres puntos: x 0 = a, x 1 = (a + b)/2 y x 2 = b mediante el polinomio de grado 2. I(f ) = x2 x 0 Tenemos pues que I(f ) h 2 0 f (x)dx ( f 0 + s f 0 + x2 x 0 P 2 (x)dx = ( s i i=0 ) i f 0 h ds ) s(s 1) 2 f 0 ds = h (2f f ) 2 2 f 0 Es decir, I(f ) = x2 x 0 f (x)dx h 3 (f 0 + 4f 1 + f 2 ) Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 8 / 21

9 Fórmulas simples Error de las reglas simples Sea f (x) suficientemente diferenciable (con continuidad) en [x 0, x n ], x k = x 0 + kh, k = 0,..., n, entonces c n (x 0, x n ) tal que: x1 1 n = 1 (trapezoidal): f (x)dx = h x 0 2 (f 0 + f 1 ) h 3 12 f (2) (c 1 ) si f (2) es continua; el grado del método es 1 x2 2 n = 2 (Simpson): f (x)dx = h x 0 3 (f 0 + 4f 1 + f 2 ) h 5 90 f (4) (c 2 ), si f (4) es continua; el grado del método es 3 x3 3 n = 3 (Simpson 3/8): f (x)dx = 3h x 0 8 (f 0 + 3f 1 + 3f 2 + f 3 ) 3h 5 80 f (4) (c 3 ) si f (4) es continua; el grado es 3. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 9 / 21

10 Fórmulas compuestas Derivación de las reglas compuestas: subdividir el intervalo [a, b] en intervalos más pequeños y aplicar reglas de Newton-Cotes de orden bajo. Dado un intervalo [a, b] podríamos considerar una partición equiespaciada de este intervalo a = x 0 < x 1 <... < x n = b, x k = x 0 + ih, i = 0...n, h = (b a)/n y aplicar la regla trapezoidal en cada uno de estos subintervalos: xk x k 1 f (x)dx h 2 (f (x k 1) + f (x k )) f n f 0 f(x) a=x 0 x 1 b=x n x Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 10 / 21

11 Fórmulas compuestas Teorema (Regla trapezoidal compuesta) Sea f (x) con derivada segunda continua en [a, b], y sea la partición del intervalo a = x 0 < x 1 <... < x n = b, x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n, entonces donde f i f (x i ) y b a f (x)dx = h 2 (f n f 1 ) + h f i + En T (f ) τ [a, b] : E T n (f ) = i=1 (b a)h2 f (b a)3 (τ) = 12 12n 2 f (τ) Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 11 / 21

12 Fórmulas compuestas Teorema (Regla de Simpson compuesta) Sea f (x) con derivada cuarta continua en [a, b], y sea la partición del intervalo a = x 0 < x 1 <... < x n = b, x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n = 2m, entonces b a f (x)dx = h 3 (f 0 + f n ) + 2h 3 m 1 f 2i + 4h 3 i=1 m f 2i 1 + En S (f ) i=1 donde f i f (x i ) y = h 3 (f 0 + 4f 1 + 2f 2 + 4f f n 1 + 4f n 1 + f n ) + E S n (f ) τ [a, b] : E S n (f ) = (b a)h4 f (4) (b a)5 (τ) = n 4 f (4) (τ) Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 12 / 21

13 Regla trapezoidal recurrente Consideramos los nodos: a x 0 < x 1 <... < x n, n = 2m, m N la cuadratura trapezoidal con espaciado h (h = x i+1 x i ), T (f, h), se puede entonces escribir b a f (x)dx T (f, h) = h n 1 (f i + f i+1 ) 2 i=0 Por otra parte de modo que m 1 T (f, 2h) = h (f 2i + f 2i+2 ) i=0 T (f, h) = T (f, 2h) 2 + h m i=1 f 2i 1 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 13 / 21

14 Regla trapezoidal recurrente Algoritmo para la regla trapezoidal recurrente Input: ɛ > 0, f (x), b, a. Output: b a f (x)dx (1) h = b a, I = h (f (a) + f (b)) 2 (2) = 1 + ɛ; n = 1 (3) Repetir mientras > ɛ (4) h = h/2; I 0 = I n (5) I = I 0 /2 + h f (a + (2i 1)h) (6) n = 2n (7) = I I 0 (6) Ir a (3) i=1 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 14 / 21

15 Regla trapezoidal recurrente La regla de Simpson también se puede calcular recurrentemente utilizando su relación con la regla trapezoidal. Si denotamos por S(f, h) la regla de Simpson con espaciado h se cumple que donde S(f, h) = 4T (f, h) T (f, 2h) 3 T (f, h) = h 2 (f 0 + f 2m ) + h = T (f, h) + 2m f i i=0 T (f, h) T (f, 2h) 3 T (f, 2h) = h(f 0 + f 2m ) + 2h m j=1 f 2j S(f, h) = h 3 (f 0 + f 2m ) + 2h 3 m 1 f 2i + 4h 3 j=1 m j=1 f 2i 1 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 15 / 21

16 Integración Gaussiana Estructura de la presentación: 1 Introducción y definiciones 2 Fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas simples Fórmulas compuestas Regla trapezoidal recurrente 3 Integración Gaussiana Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 16 / 21

17 Integración Gaussiana Idea fundamental: elección adecuada de los nodos y de los pesos. b a f (x)dx Q(f ) = n w i f (x i ) Tenemos 2n (w i, x i ) parámetros que se pueden intentar fijar de manera que la regla de cuadratura Q(f ) sea exacta para polinomios de grado lo mayor posible. Cuál es el mayor grado de exactitud posible? Parece lógico pensar que será 2n 1, pues los polinomios de grado 2n 1 tienen en general 2n coeficientes, que es el número de parámetros libres. Veamos un ejemplo i=1 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 17 / 21

18 Integración Gaussiana Ejercicio Obtener la regla de cuadratura con dos nodos Q(f ) con mayor grado de exactitud posible para aproximar 1 I(f ) = f (x)dx. 1 Tenemos 1 I(f ) = f (x)dx Q(f ) = w 1 f (x 1 ) + w 2 f (x 2 ) 1 El mayor grado de exactitud posible será 3. Determinamos los parámetros exigiendo que I(f ) = Q(f ) para cualquier polinomio de grado 3, o, equivalentemente: I(x k ) = Q(x k ), k = 0, 1, 2, 3 k = 0 2 = w 1 + w 2 k = 1 0 = w 1 x 1 + w 2 x 2 k = = w 1x w 2x 2 2 k = 3 0 = w 1 x w 2x 3 2 Resolviendo el sistema, obtenemos w 1 = w 2 = 1, x 1 = x 2, x 1 = 1/ 3 y la cuadratura buscada es 1 I(f ) = f (x)dx Q(f ) = f ( 1/ 3) + f (1/ 3) 1 Es inmediato comprobar que la regla no es exacta para polinomios de grado 4, luego el grado de exactitud es 3. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 18 / 21

19 Integración Gaussiana No demostraremos la existencia en general de las fórmulas Gaussianas, pero vamos a enunciar un resultado que prueba su existencia. Consideraremos un caso algo más general de integrales: I(f ) = b a f (x)w(x)dx donde w(x) es una función peso en [a, b] (función no negativa y tal que b a x k f (x)dx está definida para cualquier k natural. Diremos que Q(f ) = n i=1 w if (x i ) tiene grado de exactitud K si I(f ) = Q(f ) para f cualquier polinomio de grado a lo sumo K pero no así para grado mayor que K. Según sea la función peso y el intervalo, la cuadratura Gaussiana recibe distintos nombres. Algunas cuadraturas clásicas son la de legendre (w(x) = 1 en [ 1, 1]), Hermite (w(x) = e x2 en (, )) y Laguerre (w(x) = e x en [0, + )), El siguiente resultado prueba la existencia de la cuadratura Gaussiana (la de mayor grado de exactitud posible) y da una alternativa de cálculo a la anteriormente vista, además de un término de error. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 19 / 21

20 Integración Gaussiana Integración Gaussiana Teorema Sea P n(x) un polinomio de grado n (por ejemplo mónico) tal que b x k P n(x)w(x)dx = 0, k = 0,..., n 1 a donde w(x) es una función peso en [a, b]. Sean x 0,..., x n los ceros de P n(x) (necesariamente todos en [a, b]). Entonces b n f (x)w(x)dx Q G n (f ) = w i f (x i ) a i=1 donde w i = b a L i (x)w(x)dx, siendo L i (x) de la base de los polinomios interpoladores de Lagrange (L i (x j ) = δ ij ). La regla de cuadratura Qn+1 G (f ) es exacta para los polinomios de grado menor o igual que 2n 1 y se verifica que b η (a, b) : f (x)dx = Q G n (f ) + γ f (2n) (η) a (2n)! siendo γ una constante que se puede obtener aplicando la regla de cuadratura a un polinomio de grado 2n. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 20 / 21

21 Integración Gaussiana Ejercicio Obtener la regla de cuadratura con tres nodos Q(f ) con mayor grado de exactitud posible para aproximar + I(f ) = f (x)e x2 dx. El intervalo de integración es todo R y el peso w(x) = e x2. Consideramos el polinomio de grado 3 mónico (coeficiente del término de máximo grado igual a 1): P 3 (x) = x 3 + Bx 2 + Cx + D y exigimos que I(xP 3 (x)) = 0, k = 0, 1, 2. Con esto obtenemos un sistema lineal para B, C, D que se resuelve sencillamente (utilizamos que I(x m ) = (1 + ( 1) m ) π2 m/2 (m 1)!!), llegando a: P 3 (x) = x x Los nodos son entonces las soluciones de P 3 (x) = 0 x 1 = 3/2, x 2 = 0, x 3 = 3/2 Los pesos los podemos obtener de w i = + L i (x)w(x)dx o también de I(x k ) = Q(x k ), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. De hecho, es suficiente con considerar k = 0, 1, 2, de donde: I(1) = π = Q(1) = w 1 + w 2 + w 3 I(x) = 0 = Q(x) = 3/2( w 1 + w 3 ) I(x 2 ) = π/2 = Q(x 2 ) = 3 2 (w 1 + w 2 ) Y de aquí w 1 = w 3 = π/6, w 2 = 2 π/3. Si quisiéramos estimar el error, sabemos que I(f ) Q(f ) = γf (6) (c)/6! y necesitaríamos obtener γ. Una forma de hacerlo es tomar f (x) = x 6 ; tenemos γ = I(x 6 ) Q(x 6 ) = 15 π/8 9 π/8 = 3 π/4. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 21 / 21