Cuadratura Numérica. Javier Segura. J. Javier Segura Cuadratura Numérica

Transcripción

1 Cuadratura Numérica Javier Segura

2 Tema: Integración numérica. Contenidos Fórmulas de Newton-Cotes: Error en las fórmulas de Newton-Cotes. Fórmulas compuestas de Newton-Cotes. Error; Evaluación recurrente. Extrapolación de Richardson e integración de Romberg. Integración Gaussiana.

3 Introducción Definición Dada una función f (x) integrable en [a, b] y una aproximación a la integral dada por I(f ) = b a f (x)dx n w i f (x i ) i=0 donde a x 0 < x 1 <... < x n b, diremos que Q(f ) = n w i f (x i ) i=0 es una regla de cuadratura de n + 1 puntos que aproxima la integral definida. A los números w i se les llama pesos de la regla de cuadratura.

4 Introducción Definición Se define el error de truncamiento para la regla de cuadratura como E(f ) = I(f ) Q(f ) y se dice que el grado (o grado de precisión de una regla de cuadratura es K cuando la regla da el resultado exacto de la integral para todos los polinomios de grado menor o igual que K, pero no así para mayores grados.

5 Introducción Fundamento de las fórmulas de Newton-Cotes: utilización del polinomio interpolador que pasa por un determinado número de puntos como aproximante del integrando f (x). Fórmula de Lagrange del polinomio interpolador para n + 1 puntos de interpolación: f (x) n f (x i )L i (x) Entonces, la fórmula de Newton-Cotes de n + 1 puntos sería: i=0 siendo xn x 0 f (x)dx w i = xn x 0 n w i f (x i ) i=0 L i (x)dx

6 Reglas simples Regla trapezoidal: Tomamos sólo dos puntos de interpolación (n = 1). f (x) P 1 (x) = f (x 0 ) x x 1 x 0 x + f (x 1 ) x x 0 1 x 1 x de modo que la 0 aproximación es: I(f ) = x1 x 0 f (x) x1 x 0 P 1 (x)dx = h (f 0h(1 s) + f 1 sh) h ds donde se ha considerado el cambio x = x 0 + sh, 0 s 1 y denotamos f i = f (x i ). Entonces: I(f ) = h 2 (f 0 + f 1 )

7 Reglas simples Regla de Simpson: La regla de Simpson es la que se obtiene al interpolar en tres puntos: x 0 = a, x 1 = (a + b)/2 y x 2 = b mediante el polinomio de grado 2. I(f ) = x2 x 0 Tenemos pues que I(f ) h Es decir, 2 0 f (x)dx ( f 0 + s f 0 + I(f ) = x2 x2 x 0 P 2 (x)dx = ( s i i=0 ) i f 0 h ds ) s(s 1) 2 f 0 ds = h (2f f ) 2 2 f 0 x 0 f (x)dx h 3 (f 0 + 4f 1 + f 2 )

8 Reglas simples Teorema Sea f (x) suficientemente diferenciable (con continuidad) en [x 0, x n ], x k = x 0 + kh, k = 0,..., n, entonces c n (x 0, x n ) tal que: x1 1 n = 1 (trapezoidal): f (x)dx = h x 0 2 (f 0 + f 1 ) h 3 12 f (2) (c 1 ) si f (2) es continua; el grado del método es 1 x2 2 n = 2 (Simpson): f (x)dx = h x 0 3 (f 0 + 4f 1 + f 2 ) h 5 90 f (4) (c 2 ), si f (4) es continua; el grado del método es 3 3 n = 3 (Simpson 3/8): x3 f (x)dx = 3h x 0 8 (f 0 + 3f 1 + 3f 2 + f 3 ) 3h 5 80 f (4) (c 3 ) si f (4) es continua; el grado es 3.

9 Reglas compuestas Derivación de las reglas compuestas: subdividir el intervalo [a, b] en intervalos más pequeños y aplicar reglas de Newton-Cotes de orden bajo. Dado un intervalo [a, b] podríamos considerar una partición equiespaciada de este intervalo a = x 0 < x 1 <... < x n = b, x k = x 0 + ih, i = 0...n, h = (b a)/n y aplicar la regla trapezoidal en cada uno de estos subintervalos: xk x k 1 f (x)dx h 2 (f (x k 1) + f (x k )) de forma que b a f (x)dx = xn n 1 f (x)dx = x 0 i=0 xi+1 x i f (x)dx T n (f ) h 2 (f n 1 0+f n )+h i=1 f i

10 Reglas compuestas Teorema (Regla trapezoidal compuesta) Sea f (x) con derivada segunda continua en [a, b], y sea la partición del intervalo a = x 0 < x 1 <... < x n = b, x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n, entonces b f (x)dx = h 2 (f n f 1 ) + h f i + En T (f ) a donde f i f (x i ) y τ [a, b] : E T n (f ) = i=1 (b a)h2 f (b a)3 (τ) = 12 12n 2 f (τ)

11 Reglas compuestas Teorema (Regla de Simpson compuesta) Sea f (x) con derivada cuarta continua en [a, b], y sea la partición del intervalo a = x 0 < x 1 <... < x n = b, x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n = 2m, entonces b a f (x)dx = h 3 (f 0 + f n ) + 2h 3 m 1 f 2i + 4h 3 i=1 m f 2i 1 + En S (f ) i=1 donde f i f (x i ) y = h 3 (f 0 + 4f 1 + 2f 2 + 4f f n 1 + 4f n 1 + f n ) + E S n (f ) τ [a, b] : E S n (f ) = (b a)h4 f (4) (b a)5 (τ) = n 4 f (4) (τ)

12 Regla trapezoidal: evaluación recurrente Consideramos los nodos: a x 0 < x 1 <... < x n, n = 2m, m N la cuadratura trapezoidal con espaciado h (h = x i+1 x i ), T (f, h), se puede entonces escribir Por otra parte de modo que b a f (x)dx T (f, h) = h n 1 (f i + f i+1 ) 2 i=0 m 1 T (f, 2h) = h (f 2i + f 2i+2 ) i=0 T (f, h) = T (f, 2h) 2 + h m i=1 f 2i 1

13 Regla trapezoidal recurrente Algoritmo para la regla trapezoidal recurrente Input: ɛ > 0, f (x), b, a. Output: b a f (x)dx (1) h = b a, I = h (f (a) + f (b)) 2 (2) = 1 + ɛ; n = 0 (3) Repetir mientras > ɛ (4) n=n+1;h=h/2 2 n 1 (5) I n = I/2 + h f (a + (2i 1)h) (6) = I n I (7) I = I n (6) Ir a (3) i=1

14 Regla trapezoidal recurrente Si denotamos por S(f, h) la regla de Simpson con espaciado h se cumple que donde S(f, h) = 4T (f, h) T (f, 2h) 3 T (f, h) = h 2 (f 0 + f 2m ) + h T (f, 2h) = h(f 0 + f 2m ) + 2h = T (f, h) + 2m f i i=0 m j=1 f 2j T (f, h) T (f, 2h) 3 S(f, h) = h 3 (f 0 + f 2m ) + 2h 3 m 1 f 2i + 4h 3 j=1 m j=1 f 2i 1

15 Integración de Romberg La integración de Romberg se puede fundamentar en la fórmula de Euler- Maclaurin: b a f (x)dx = T (f, h) + E T (f, h), E T (f, h) = (τ 2 h 2 + τ 4 h ) donde la serie para el término de error es asintótica y los coeficientes son τ 2k = B 2k (2k)! (f (2k 1) (b) f (2k 1) (a)) donde B 2k son constantes (números de Bernouilli).

16 Integración de Romberg Construcción de reglas de cuadratura de orden 2k + 2 a partir de reglas de orden 2k: Fijado un paso inicial h (h = b a, por ej.), denotaremos por R(i, k) la regla de cuadratura de paso h i = h/2 i 1, i = 1, 2,... y de orden 2k. De esta forma R(1, 1) será la regla de trapezoidal con paso h. Sabemos por la fórmula de Euler-Maclaurin I(f ) = b a f (x)dx = T (f, h)+a 2 h 2 +a 4 h = R(1, 1)+a 2 h 2 +a 4 h lo que podemos utilizar para volver a derivar la relación entre las reglas de Simpson y trapezoidal.

17 Integración de Romberg Construcción de reglas de cuadratura de orden 2k + 2 a partir de reglas de orden 2k: de la última ecuación I(f ) = R(1, 1) + a 2 h 2 + a 4 h I(f ) = R(2, 1) + a 2 (h/2) 2 + a 4 (h/2) I(f ) = 4R(2, 1) + a 2 h 2 + 4a 4 (h/2) 4 y restándole a esta ecuación la primera llegamos a I(f ) = 4R(2, 1) R(1, 1) 3 + â 4 (h/2) R(2, 1) R(1, 1) de modo que podemos escribir R(2, 2) =, es 3 decir, que S(f, h/2) = (4T (f, h/2) T (f, h))/3, es la regla de Simpson.

18 Integración de Romberg Generalización: Tras realizar k 1 procesos como éste (cancelación del término dominante en la expansión del error de truncamiento) y llegar a una regla de orden 2k: tenemos que I(f ) = R(i, k) + b 2k h 2k i + b 2k+2 h 2k+2 i +... I(f ) = R(i + 1, k) + b 2k (h i /2) 2k + b 2k+2 (h i /2) 2k y procediendo como antes: con lo que I(f ) = 4k R(i + 1, k) R(i, k) 4 k 1 R(i + 1, k + 1) = 4k R(i + 1, k) R(i, k) 4 k 1 + b 2k+2 h 2k+2 i+1 (h i+1 = h i /2))., i = 1, 2,... ; k = 1, 2,..., i

19 Integración de Romberg También podemos escribir esta expresión como R(i, k) R(i 1, k) R(i, k + 1) = R(i, k) + 4 k 1 i = 2, 3,..., k = 1, 2,.., i 1 R(i, k) + ir(i, k) 4 k 1,

20 Integración de Romberg Esquema de cálculo: paso\orden h R(1, 1) h/2 R(2, 1) R(2, 2) h/4 R(3, 1) R(3, 2) R(3, 3) h/8 R(4, 1) R(4, 2) R(4, 3) R(4, 4) Trapezoidal Simpson n = 4 n = 6...

21 Integración de Romberg Algoritmo de integración de Romberg Input: ɛ > 0, f (x), b, a, m, n f Output: I b a f (x)dx (1) h = (b a)/m, I(0) = h 2 (f (a) + f (b)) + h m 1 f (a + ih) i=1 (2) = 1 + ɛ; i = 1 (3) Repetir mientras ( > ɛ, i < n f ) (4) i=i+1;h=h/2 (5) I(i 1) = I(i 2)/2 + h 2 i 2 m j=1 f (a + (2j 1)h) (6) k = 0 (7) Repetir mientras ( > ɛ, k < i 1) (8) k = k + 1 (9) k = (I(i k) I(i 1 k))/(4 k 1); = k (10) I(i k 1) = I(i k) + k (11) Ir a (7) (11) Ir a (3) (12) I = I(i k)

22 Integración Gaussiana Idea fundamental: elección adecuada de los nodos de interpolación. b a f (x)dx Q(f ) = n w i f (x i ) 2n (w i, x i ) que se pueden intentar fijar de manera que la regla de cuadratura Q(f ) sea exacta para polinomios de grado lo mayor posible. i=1

23 Integración Gaussiana Teorema Sea P n(x) un polinomio de grado n tal que b x k P n(x)w(x)dx = 0, k = 0,..., n 1 a donde w(x) es una función peso en [a, b]. Sean x 0,..., x n los ceros de P n(x) (todos en [a, b]). Entonces b n f (x)dx Q G n (f ) = w i f (x i ) a i=1 donde w i = b a L i (x), siendo L i (x) de la base de los polinomios interpoladores de Lagrange (L i (x j ) = δ ij ). La regla de cuadratura Qn+1 G (f ) es exacta para los polinomios de grado menor o igual que 2n 1 y se verifica que b η (a, b) : f (x)dx = Q G n (f ) + γ f (2n) (η) a (2n)! siendo γ una constante que se puede obtener aplicando la regla de cuadratura a un polinomio de grado 2n.