Fórmulas de cuadratura positivas en la circunferencia unidad con nodos prefijados

Transcripción

1 Fórmulas de cuadratura positivas en la circunferencia unidad con nodos prefijados Francisco José Perdomo Pío Departamento de Análisis Matemático, Universidad de La Laguna Preprint: Positive quadrature formulas on the unit circle with preescribed nodes. A new approach. Colaboración: R. Cruz-Barroso y C. Díaz Mendoza

2 Objetivos Sea µ una medida en [ π, π]. I µ (f) := π π f(e iθ )dµ(θ) n λ k f(z k ) =: I n (f) k=1 {z j } n j=1 T = {z C : z = 1}. z j z k, j k. Donde algunos z j pueden estar prefijados. λ j R, preferiblemente λ j > 0. j = 1,..., n. Fórmulas de cuadratura positivas. (Estabilidad y convergencia). Cotas de error.

3 Caso Real ( < a < b < ) I µ (f) := b a f(x)dµ(x) n A j f(x j ) =: I n (f). Pesos: A j R, preferiblemente A j > 0. j = 1,..., n. (Estabilidad y convergencia). j=1 Nodos: {x j } n j=1 [a, b], x i x j, i j. f(x) P (x). Los polinomios son densos con la norma uniforme en [a, b]. Elegiremos los 2n parámetros: I µ (P ) = I n (P ), P P k, k lo mayor posible (exacta en P k ).

4 Caso Real Fijados los n nodos se garantiza exactitud en P n 1 con A j R. No existen fórmulas exactas en P 2n. Fórmulas de cuadratura con máximo grado de precisión en P 2n 1 de dimensión 2n. Fórmulas Gaussianas, fórmulas positivas. P n 1 P n... P 2n 4 P 2n 3 P 2n 2 P 2n 1. Si una fórmula de cuadratura es exacta en P m el número de pesos positivos es al menos E[ m 2 ] + 1.

5 Caso Real Teorema (Jacobi) Una fórmula de cuadratura es exacta en P n+k, 0 k n 1, si y solo si, Es exacta en P n 1 El polinomio nodal Q n (x) = n j=1 (x x j) verifica: b a x r Q n (x)dµ(x) = 0, r = 0, 1,..., k. (1) - Si Q n tiene coeficientes reales de (1), tiene k + 1 ceros de multiplicidad impar en (a,b). - Q n = P n + a n 1 P n a k+1 P k+1. {P l } l 1, polinomios ortogonales con respecto a µ.

6 Caso Real k = n 2 Hay una familia uniparamétrica de fórmulas positivas. Planteamos fijar un nodo x α, (P n 1 (x α ) 0). Fórmulas de Gauss-Radau. k = n 3 Hay una familia biparamétrica de fórmulas con al menos n 1 pesos positivos. Garantizamos n 2 nodos distintos entre sí. Planteamos fijar 2 nodos y pesos positivos. Fórmulas Gauss-Lobatto. k = n 4 Hay una familia triparamétrica de fórmulas con al menos n 1 pesos positivos. Garantizamos n 3 nodos distintos entre sí, podemos intentar fijar 3 nodos. Fórmulas de Gauss-3. Referencias recientes A. Bultheel, R. Cruz-Barroso, M. Van-Barel, On Gauss-type quadrature formulas with prescribed nodes anywhere on an interval of the real line, Calcolo 47 (1) (2010) B. Beckermann, J. Bustamante, R. Martínez-Cruz, J.M. Quesada, Gaussian, Lobatto and Radau positive quadrature rules with a prescribed abscissa, Calcolo 51 (2) (2014) R. Cruz-Barroso, C. Díaz Mendoza, F. Perdomo-Pío, A connection between Szegő-Lobatto and quasi Gauss-type quadrature formulas, Journal of Computational and Applied Mathematics 284 (2015)

7 Enfoque Clásico I µ (f) := π π f(e iθ )dµ(θ) n λ k f(z k ) =: I n (f) k=1 Los polinomios de Laurent son densos en T con la norma uniforme. Elegiremos los 2n parámetros: I µ (L) = I n (L), L Λ p,q = span{z p..z q }, p, q N, con p + q lo mayor posible (exacta en Λ p,q ). Si fijamos los n nodos, p, q N con p + q = n 1, existen {λ j } n j=1 de manera que la fórmula de cuadratura es exacta en Λ p,q. Los pesos no son reales, en general. Los ordenes más habituales son los balanceados: L 2k := Λ k,k, L2k+1 := Λ k,k+1 ó L 2k+1 := Λ k+1,k

8 Enfoque Clásico L n 1 L n... L 2n 4 L 2n 3 L 2n 2 L 2n 1 No existen fórmulas exactas ni en L 2n ni en L 2n 1 Fórmulas de cuadratura positivas de máximo grado de exactitud posible, L2n 2 = Λ n 1,n 1. Fórmulas de Szegő, familia uniparamétrica. Fórmulas de Szegő-Radau: Fijamos un nodo, son únicas y exactas en L 2n 2. Formulas de Szegő-Lobatto: Fijamos dos nodos, familia uniparamétrica, exactas en L 2n 4 = Λ n 2,n 2. Problemas No existen fórmulas de cuadratura exactas en un espacio de dimensión 2n con nodos en T. Los pesos de las fórmulas de tipo interpolatorio no son en general reales.

9 Objetivos Definir nuevos espacios encajados donde las fórmulas de cuadratura puedan tener las propiedades deseadas. L n 1 L n... L 2n 4 L 2n 3 L 2n 2 L 2n 1 Obtener pesos reales y preferiblemente positivos. Si poseemos 2n parámetros libres, la fórmula de cuadratura debe ser exacta en un subespacio de dimensión 2n. (L 2n 1 ). Existirán fórmulas exactas en L 2n 3?

10 Inspiración Teorema Si una fórmula de cuadratura con pesos reales es exacta en Λ p,q, también lo es en Λ max{p,q},max{p,q}. Teorema (O. Njåstad y J. Santos-León ) Las fórmulas de Cuadratura de Szegő con n puntos integran exactamente en Λ n 1,n 1 span{z n + ξ z n } para cierto ξ T Teorema (F. Peherstorfer) Una fórmula de cuadratura n j=1 λ jf(z j ) tiene pesos positivos y es exacta en Λ n p 1,n p 1, si y solo si, z φ n 1 (z) + τ φ n 1 (z) es el polinomio nodal, donde τ T y φ n 1 es el polinomio de Szegő generado al modificar los últimos p parámetros de Verblunsky {δ j } n 1 j=n p de manera que δ j < 1.

11 Consideramos la sucesión {ω l } l=1 T L 2k := Λ k,k, L 2k+1 := L 2k span{z k+1 + ω k+1 z k+1 }, k 0 L L n L L n en T. L 2k es un sistema de Tchebychev en T. El problema de interpolación en L 2k+1 tiene solución si y solo si z 1 z 2k+2 ω k+1. Interpolación de Lagrange L n (z) = B n(z) (z z k )B n(z k ) B n(z) z z k ω d Bn(0) (z z k )B n(z k ) z k (1 ω d Bn(0) ( zkz ) d 1 if n = 2d 1, ) ( z kz ) d if n = 2d.

12 Teorema Sean {z k } n k=1 C\{0}, n nodos distintos tales que B n(0) ω n si 2 n es par. Entonces existen pesos {λ k } n k=1 únicos de manera que I n (f) es exacta en L n 1. Teorema (Interpolatoria) λ k = I µ (L k ), Teorema Sea I n (f) una fórmula de cuadratura, exacta en L l, n 1 l 2n 1. Entonces sus pesos {λ k } l k=1 son reales y al menos E[ l 2 ] + 1 son positivos.

13 Teorema Sea I n (f) una fórmula de cuadratura exacta en L l y S n = {L 1,..., L n }, con L k L n 1 el k-ésimo polinomio de Laurent de Lagrange asociados a los nodos de I n (f). Si n = 2d + 1, S n es una base ortogonal de L n 1 si l = 2n 2, 2n 1. Si n = 2d y B n (0) ω d, S n es una base ortogonal de L n 1, si l = 2n 1 y ω 2d = ω 2 d.

14 Teorema (Jacobi) La fórmula de cuadratura I n (f), con B n (0) ω n 2 exacta en L n 1+s, 1 s n, si y solo si 1 I n (f) es exacta en L n 1. si n es par. Es 2 I(B n (z)p (z)z l ) = 0, { Ps 1 si n + s es impar P span{z,..., z s 1, z s + ω l B } n(0) si n + s es par l = E[ n+s 2 ].

15 Teorema Existe una fórmula de cuadratura positiva I n (f) exacta en L 2n 1. Teorema Existe una única fórmula de cuadratura positiva I n (f) con un nodo prefijado α T exacta en L 2n 2 Teorema Existe una única fórmula de cuadratura positiva I n (f) con dos nodos fijos α, β T exacta en L 2n 3 si y solo si ω n 1 es la imagen de δ n 1 mediante cierta transformación. Teorema Existe una única fórmula de cuadratura positiva I n (f) con tres nodos fijos α, β, γ T exacta en L 2n 4, si y solo si τ n 1 es la imagen de δ n 1 mediante cierta transformación.

16 Construcción B n (z) = zφ n 1 (z) τφ n 1(z) φ n 1 (z) = zφ n 2 (z) δ n 1 φ n 1(z) F n (z) := z φ n 1(z) φ n 1 (z), (F n : T T) Sean α, β T y definimos a = F n 1 (α) T y b = F n 1 (β) T. Imponemos B n (α) = B n (β) = 0. Si aα bβ 0 Definimos: c α,β := α β αā β b Elegiremos δ n 1 y τ n δ n 1 δ n 1 and r α,β := ā b αā β b, T α,β := {z C : z c α,β = r α,β }. δ n 1 T α,β D, δn 1 c α,β = τ n r α,β.

17 Construcción

18 Construcción Si aα bβ = 0, δ n 1 se encuentra en la cuerda que une a y b.

19 Construcción Teorema Es exacta en L 2n 3, si y solo si, ω n 1 = δ n 1 δ n 1 δ n 1 δ n 1. Teorema Sean α, β, γ T y a = F n 1 (α), b = F n 1 (β), c = F n 1 (γ) distintos, respectivamente. Existe una única fórmula de cuadratura I n (f) con nodos fijos α, β, γ exacta en L L 2n 4, si y solo si, δ n 1 < 1, donde: 1 δn 1 = cα,γr α,β c α,β r α,γ r α,β r α,γ, si αā β b 0 y αā γ c 0. τ n = c α,β c α,γ r α,β r α,γ. 2 δn 1 = c α,β + τ n r α,β, si αā β b 0 y αā γ c = 0. τ n = cα. 3 δn 1 = c α,γ + τ n r α,γ, si αā β b = 0 y αā γ c 0. τ n = bα.

20 Construcción

21 Caso especial Si δ n 1 > 1. El polinomio nodal es invariante. Garantizamos n 2 nodos de multiplicidad impar. La naturaleza de los n nodos puede ser: Los n distintos en T, con a lo sumo un peso negativo. n 1 nodos distintos en T. n 2 nodos distintos en T y 2 nodos complejos simétricos con respecto a T. Sólo n 2 nodos distintos en T.

22 δ n 1 > 1

23 Cotas de error E n (f) := min f L L L n ( ) n R n (f) := I µ (f) I n (f) µ 0 + λ l E k (f). Si denotamos por {I H n (f)} n 0 las sucesiones de fórmulas de Szegő, Szegő-Radau, Szegő-Lobatto o Szegő con 3 nodos fijos por H = S, SR, SL o S3, respectivamente: Teorema Si f C(T), entonces R H n (f) 2µ 0 E n (f), con n = 2n 1, 2n 2, 2n 3, 2n 4 para H = S, SR, SL, S3, respectivamente. Además, lim n IH n (f) = I(f), para toda f C(T) y H = S, SR. l=1

24 Cotas de error Consideremos L(d, α) el espacio de las funciones con d-ésima derivada continua y verificando condición de Lipschitz de orden α, 0 < α < 1. Teorema Sea f L(d, α). Entonces, existe un polinomio de Laurent L 2n L 2n tal que Corolario f(z) L 2n (z) B, z T, B > 0. (2n) d+α Sea f L(d, α). Entonces, Rn H (f) A, para algún A > 0, (n ) d+α donde n = n 1 si H = S, SR, o n = n 2 si H = SL, S3.

25 Cotas de error Teorema Sea f anaĺıtica en un entorno de T, y sea A(0, R) := {z C : R 1 z R} el mayor anillo donde es anaĺıtica. Entonces, R H n (f) C R n, donde n = n 1 si H = S, SR, o n = n 2 si H = SL, S3. Es más lim n RH n (f) 1 n R 1, para H = S, SR. Si f es entera lim n RH n (f) 1 n = 0.

26 Otros resultados obtenidos Fórmulas de cuadratura trigonométricas positivas con nodos prefijados (quasi-gauss, quasi-gauss-radau, quasi-gauss-lobatto. Fórmulas de cuadratura positivas con hasta 2d + 1 puntos prefijados con d > 1. Relación con transformaciones de Moebius con el fin de trasladar el centro radical d 2 pasos atrás. Fórmulas de cuadraturas ortogonales. Sucesión de polinomios de Laurent ortogonales {L n } n 1 asociado a {L n } n 1. L n tiene todos sus ceros simples y en T. Relación de recurrencia (pentadiagonal) Identidad de Christoffel-Darboux. Aplicaciones a la aproximación de Padé bipuntual a la transformada de Herglotz-Riesz. Fórmulas de cuadratura exactas en L l con n l 2n 3 no necesariamente positivas (casos especiales δ k > 1).