Análisis de perturbaciones de momentos asociados a funcionales de ortogonalidad a través de la transformación Szegő

Transcripción

1 Análisis de perturbaciones de momentos asociados a funcionales de ortogonalidad a través de la transformación Szegő Edinson Fuentes Licenciado en Matemáticas Código: Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Bogotá, DC 2014

2 Análisis de perturbaciones de momentos asociados a funcionales de ortogonalidad a través de la transformación Szegő Edinson Fuentes Licenciado en Matemáticas Código: Trabajo de grado para optar al título de Magíster en Ciencias-Matemáticas Director PhD Luis Enrique Garza Gaona Codirector Ph D Herbert Alonso Dueñas Ruiz Línea de investigación Polinomios Ortogonales Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Bogotá, DC 2014

3 Título en español Análisis de perturbaciones de momentos asociados a funcionales de ortogonalidad a través de la transformación Szegő Title in English Analysis of perturbations of moments associated with orthogonality linear functionals through the Szegő transformation Resumen: En esta contribución, analizamos perturbaciones a una sucesión de momentos asociada a un funcional lineal de ortogonalidad que puede ser representado por una medida positiva con soporte en [ 1, 1] En particular, dada una cierta perturbación a dicha medida en la recta real, analizamos la perturbación obtenida en la correspondiente medida en la circunferencia unidad, donde dichas medidas están relacionadas por la transformación de Szegő Se muestra que la perturbación aplicada puede ser expresada en términos de la parte singular de las medidas, y también a través de las correspondientes sucesiones de momentos Abstract: In this contribution, we consider perturbations to a sequence of moments associated with an orthogonality linear functional that can be represented by a positive measure supported in [ 1, 1] In particular, given a perturbation to such a measure on the real line, we analyze the perturbation obtained on the corresponding measure on the unit circle, when both measures are related through the Szegő s transformation We show that the perturbation applied can be expressed in terms of the singular part of the measures, and also in terms of the corresponding sequences of moments Palabras clave: Polinomios ortogonales, función de Stieltjes y Carathéodory, matriz de Hankel y Toeplitz, transformación Szegő Keywords: Orthogonal polynomials, Stieltjes and Carathéodory function, Hankel and Toeplitz matrix, Szegő s transformation

4 Nota de aceptación Trabajo de grado Aprobado Mención Meritoria Jurado PhD Germán Preciado López Director PhD Luis Enrique Garza Gaona Codirector PhD Herbert Alonso Dueñas Ruiz Bogotá, DC, Diciembre de 2014

5 Agradecimientos Un agradecimiento especial a los profesores Luis Enrique Garza Gaona y Herbert Alonso Dueñas Ruiz, por la colaboración, paciencia, apoyo en el desarrollo y culminación del trabajo de maestría También quiero agradecer al profesor Luis Alfonso Salcedo Plazas director de la escuela de matemáticas de la Universidad Pedagógica y tecnológica de Colombia, por la colaboración al momento del ingreso a la universidad Nacional de Colombia y por darme el tiempo necesario para realizar los estudios de maestría en ciencias matemáticas Un agradecimiento también lo merecen los diferentes amigos, compañeros y profesores con los cuales tuve la oportunidad de interactuar estos dos últimos años, durante el transcurso de la maestría, de los cuales aprendí mucho Finalmente quisiera agradecer a mi esposa Martha Leonor Saiz Saenz y a mi hijo Edinson Samuel Fuentes Saiz por su constante ánimo y amor

6 Índice general Índice general Introducción I III 1 Polinomios ortogonales en la recta real 1 11 Preliminares de polinomios ortogonales en la recta real 1 12 Transformaciones espectrales lineales en la recta real 5 13 Perturbación de una antidiagonal de la matriz de Hankel 10 2 Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad Preliminares de polinomios ortogonales en la circunferencia unidad Transformaciones espectrales lineales en la circunferencia unidad Perturbación de una subdiagonal de la matriz de Toeplitz 27 3 Transformación de Szegő Transformación de Szegő Factorización LU 34 4 Análisis de perturbación de momentos a través de la transformación de Szegő Análisis de la perturbación de momentos a través de la transformación de Szegő cuando se perturba solo el momento j-ésimo en [ 1, 1] Aplicación de la transformación de Szegő Momentos perturbados en la circunferencia unidad Parte absolutamente continua de la medida generada en la circunferencia unidad Análisis de la perturbación del momento cero Análisis de la perturbación del momento uno 43 I

7 Índice general 42 Análisis de perturbación de momentos a través de la transformación de Szegő cuando se perturba del momento j-ésimo en adelante en [ 1, 1] Construcción del funcional que perturba del momento j-ésimo en adelante en [ 1, 1] Aplicación de la transformación de Szegő Parte absolutamente continua de la medida generada en la circunferencia unidad Análisis de la perturbación del momento cero 50 5 Conclusiones 52 Bibliografía 56 II

8 Introducción La teoría de polinomios ortogonales respecto a medidas cuyo soporte se encuentra en la recta real tiene un amplio espectro de aplicaciones, tales como integración numérica, sistemas integrables, métodos espectrales para el tratamiento de problemas de valores en la frontera, teoría de grafos, etc En los últimos años, se han estudiado las propiedades espectrales de las matrices de Jacobi asociadas a dichos polinomios ortogonales que representan, en forma matricial, el operador de multiplicación respecto a una base de polinomios ortogonales Con respecto a esto, en [13] y [16] se pone de manifiesto una conexión entre perturbaciones de medidas y la factorización LU de las matrices de Jacobi correspondientes, así como la relación entre las funciones de Stieltjes asociadas, de gran importancia en el estudio de los polinomios ortogonales, que actúan como funciones generadoras de la sucesión de momentos asociada con la medida Dichas perturbaciones han sido estudiadas en el marco de las llamadas transformaciones de Darboux, que tienen su origen en el problema biespectral En su formulación original, dicho problema consiste en obtener una descripción de todas las situaciones en las que un par de operadores diferenciales en dos variables distintas tienen una autofunción diferencial común El uso de la transformación de Darboux para convertir un operador diferencial de segundo orden en otro fue llevado a cabo por primera vez en [5] Dicha transformación consiste en factorizar el operador diferencial de segundo orden como un producto de dos operadores diferenciales de primer orden, y luego cambiar el orden de los factores, obteniendo un nuevo operador diferencial de segundo orden Una conexión con los polinomios ortogonales surgió más tarde en [8], donde se muestra que todos los operadores diferenciales con soporte en [ 1, 1] y los operadores diferenciales de segundo orden que satisfacen el problema espectral resultan de un cambio en la variable n en la relación de recurrencia que satisfacen los polinomios ortogonales clásicos Casi al mismo tiempo, se consideró la matriz Jacobi mónica correspondiente a la transformación de Uvarov, en el contexto del análisis espectral de ecuaciones diferenciales lineales de cuarto orden con coeficientes polinómicos Las soluciones polinómicas de dichas ecuaciones diferenciales son los llamados polinomios ortogonales de Krall, que se obtuvieron a partir de los polinomios ortogonales clásicos por medio de una combinación de dos procesos llamados transformación de Darboux y transformación de Darboux sin parámetro (algo más de historia y referencias se puede ver en [6] pp 1-5) El estudio de los polinomios ortogonales con respecto a una medida de probabilidad no trivial, soportada en la circunferencia unidad T = {z C : z = 1} fue iniciado por G III

9 Introducción Szegő en una serie de artículos publicados entre 1915 y 1925 (ver [14]) Posteriormente, Ya L Geronimus extendió esta teoría en un contexto más general de ortogonalidad respecto a funcionales, basado en la teoría clásica de funciones de variable compleja Un eje importante de actividad investigadora en la década de los cincuenta fue el estudio de la conexión con el problema trigonométrico de momentos y la teoría de procesos estocásticos estacionarios dicretos Más tarde, en los años ochenta, se analiza el problema desde una perspectiva algebraica ligada al problema de factorización de matrices de Hessenberg (la representación matricial del operador de multiplicación respecto a la base de polinomios ortogonales en la circunferencia unidad) de dimensión finita De la misma manera, aparece una abundante bibliografía en teoría de sistemas lineales relacionados con polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad, en el marco de los generadores de espacio de estado (algo más de historia y referencias se puede ver en [6]) El inicio del siglo XXI está marcado con la aparición de los dos volúmenes de la monografía de B Simon [12], que constituyen la descripción más exhaustiva del estado del arte en la teoría de polinomios ortogonales en la circunferencia unidad hasta la fecha Uno de los resultados más importantes es el tratamiento de la representación matricial del operador de multiplicación respecto a bases ortonormales en el espacio de los polinomios de Laurent Λ = span{z k : k Z} construidas a partir del proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt de las familias S = {1, z, z 1, z 2, z 2, } y T = {1, z 1, z, z 2, z 2, } La matriz resultante, conocida como matriz CMV, es pentadiagonal y admite una factorización en términos de dos matrices diagonales por bloques, de dimensión 2 2 la primera y de un único bloque de dimensión 1 1 y los restantes de dimensión 2 2 la segunda, cuyos elementos pueden ser expresados en términos de los coeficientes de Verblunsky También es posible establecer una conexión entre medidas soportadas en el intervalo [ 1, 1] de la recta real y medidas soportadas en la circunferencia unidad, conocida en la literatura como transformación de Szegő En [11] y [14] se muestra no solamente cómo están relacionadas dichas medidas, sino también la relación existente entre las familias de polinomios ortogonales correspondientes, así como la relación entre las familias de parámetros de la relación de recurrencia de los polinomios ortogonales en la recta real y la familia de coeficientes de Verblunsky asociados a la medida soportada en la circunferencia unidad La transformación de Szegő relaciona la función de Stieltjes asociada con una medida α con soporte en el intervalo [ 1, 1] y la función de Carathéodory asociada con una medida σ con soporte en la circunferencia unidad, de la siguiente manera F (z) = 1 z2 2z 1 1 dα(t) x t = 1 z2 S(x), (1) 2z con x = z+z 1 2, z = x + x 2 1 En [7] los autores muestran que cuando se tiene una transformación de Christoffel, Uvarov o Geronimus en el intervalo [-1,1] y se aplica la transformación de Szegő, se obtiene una transformación Christoffel, Uvarov y Geronimus, respectivamente, en la circunferencia unidad En [1] los autores analizan una perturbación de la matriz de Hankel, que consiste en la modificación del momento j ésimo Asociada con esta perturbación obtienen una nueva IV

10 Introducción función de Stieltjes S(x) en función de la inicial S(x), dada por S j (x) = S(x) + m, m R (2) (x a) j+1 De manera análoga, en [2] se analiza la perturbación del momento j ésimo de la matriz de Toeplitz (matriz de momentos en T asociada con un funcional lineal Hermitiano L), es decir, se perturba el j-ésimo momento únicamente Con esta perturbación se obtiene una nueva función de Carathéodory F (z) en términos de la función original F (z) de la siguiente manera F j (z) = F (z) + 2Mz j, M C (3) Este trabajo está dedicado a analizar qué sucede al aplicar la transformación de Szegő (1) a la función de Stieltjes (2) asociada a una medida con soporte en el intervalo [ 1, 1] Es decir, determinar qué tipo de transformación se obtiene en la correspondiente función de Carathéodory en la circunferencia unidad También se presentan algunos ejemplos ilustrativos La parte novedosa de este trabajo consiste en usar la transformación de Szegő para analizar la relación existente entre los momentos de una SPO en [ 1, 1] y los momentos asociados con una SPO en T En el capítulo 1 se presentan conceptos básicos sobre polinomios ortogonales en la recta real y se enuncian algunas de sus propiedades básicas Además se mostrarán algunas transformaciones canónicas de medidas clásicas como lo son las transformaciones de Christoffel, Uvarov y Geronimus en términos de la función de Stieltjes También se muestra cómo se perturba tan solo un momento de la matriz de Hankel asociado a un funcional L, y se formula su nueva función de Stieltjes En el capítulo 2 se presentan conceptos básicos sobre polinomios ortogonales en la circunferencia unidad, enunciando algunas de sus propiedades e introduciendo transformaciones de medidas clásicas análogas al caso real, y su función de Carathéodory También se muestra cómo se perturba tan solo un momento de la matriz de Toeplitz asociado a un funcional L, y se enuncia su correspondiente función de Carathéodory El capítulo 3 está dedicado a la transformación de Szegő, que establece una relación entre medidas soportadas en el intervalo [ 1, 1] de la recta real y ciertas medidas soportadas en la circunferencia unidad De igual manera, existe una relación entre los coeficientes de la relación de recurrencia a tres términos para los polinomios ortogonales en la recta real y los parámetros de Verblunsky asociados a la correspondiente medida soportada en la circunferencia unidad Se muestra una manera sencilla de calcular dichos parámetros de Verblunsky, que está relacionada con la factorización LU de la matriz de Jacobi asociada con la medida en la recta real Por otra parte, se muestra de manera explícita la relación que existe entre la función de Stieltjes y la función de Carathéodory asociadas a medidas soportadas en la recta real y la circunferencia unidad En el capítulo 4 se analiza qué tipo de transformación se obtiene en la circunferencia unidad por medio de su correspondiente función de Carathéodory, cuando aplicamos la transformación de Szegő, a una función de Stieltjes asociada a una medida α(x), cuyo soporte se encuentra en el intervalo [ 1, 1] V

11 CAPÍTULO 1 Polinomios ortogonales en la recta real En este capítulo se presentan conceptos básicos sobre polinomios ortogonales en la recta real y se enuncian algunas de sus propiedades básicas Además se mostrarán algunas transformaciones canónicas clásicas de medidas como lo son las transformaciones de Christoffel, Uvarov y Geronimus, en términos de la función de Stieltjes En la última parte se muestra cómo se perturba tan solo un momento de la matriz de Hankel asociado a un funcional L, y se formula su nueva función de Stieltjes, posteriormente esta última función se usará para estudiar el comportamiento de estos polinomios cuando se aplica la transformación de Szegő directa 11 Preliminares de polinomios ortogonales en la recta real Las siguientes definiciones y teoremas se pueden consultar en [3] y [14] Sea {µ n } n 0 una sucesión de números complejos y sea L un funcional lineal definido en el espacio P de los polinomios con coeficientes complejos tal que: L, x n = µ n, n 0 (11) Este funcional L es llamado funcional lineal de momentos, y los números complejos {µ n } n 0 son los momentos asociados a L Definición 111 Una sucesión de polinomios {p n (x)} n 0, donde p n (x) = γ n x n + δ n x n 1 +, γ n 0, n 0, es llamada una sucesión de polinomios ortogonales (SPO) con respecto a un funcional lineal L, si para todo entero no negativo n y m, se tiene 1 p n (x) es un polinomio de grado n, 2 L, p m (x)p n (x) = 0, para m n, 3 L, p n (x)p n (x) = L, p 2 n(x) 0, n 0 1

12 Capítulo 1 Polinomios ortogonales en la recta real La correspondiente sucesión de polinomios ortogonales mónicos (SPOM) denotada por {P n (x)} n 0, cuyo coeficiente principal es igual a 1, se define por P n (x) = p n(x) γ n Definición 112 La matriz de Gram asociada con la forma bilineal del funcional lineal (11) respecto a la base canónica {x n } n 0 de P, está definida mediante µ 0 µ 1 µ n µ 1 µ 2 µ n+1 H = [ L, x i+j ] i,j=0,1, = [µ i+j ] i,j=0,1, = (12) µ n µ n+1 µ 2n Las matrices de este tipo, con valores constantes a lo largo de las anti diagonales, son conocidas en la literatura como matrices de Hankel Teorema 111 Sea L un funcional de momentos con sucesión de momentos {µ n } n 0 Una condición necesaria y suficiente para la existencia de una sucesión de polinomios ortogonales con respecto a L es µ 0 µ 1 µ n n = det H n = det(µ i+j ) n µ 1 µ 2 µ n+1 i,j= = 0, n 0 µ n µ n+1 µ 2n H n es la submatriz principal de la matriz de Gram de tamaño (n + 1) (n + 1) Definición 113 El funcional L es llamado cuasi-definido si n 0 para todo n 0 Definición 114 Se dice que el funcional de momentos L es definido positivo, si L[π(x)] > 0 para todo polinomio π(x) que no es idénticamente cero y es no negativo para todo x R Teorema 112 L es definido positivo si y solo si los momentos son todos reales y n > 0 para todo n 0 Si el funcional L es definido positivo, entonces existe una única sucesión de polinomios que satisface p n (x) = γ n x n + δ n x n 1 +, γ n > 0, n 0, L, p n (x)p m (x) = δ n,m, en este caso {p n (x)} n 0 es llamada sucesión de polinomios ortonormales asociada a L Cuando L es definido positivo, existe una representación integral (no necesariamente única) L, x n = x n dα(x), donde α es una medida positiva de Borel, no trivial, cuyo soporte E es un subconjunto infinito de puntos en la recta real E 2

13 Capítulo 1 Polinomios ortogonales en la recta real Teorema 113 La sucesión {p n (x)} n 0 satisface la siguiente relación de recurrencia a tres términos xp n (x) = a n+1 p n+1 (x) + b n p n (x) + a n p n 1 (x), n 0, (13) con las condiciones iniciales p 1 (x) = 0, p 0 (x) = µ 1/2 0 y donde los coeficientes están determinados por: a n = xp n 1 (x)p n (x)dα(x) = γ n 1 > 0, E γ n b n = xp 2 ndα(x) = δ n δ n+1 γ n γ n+1 E La relación de recurrencia a tres términos (13) tiene la representación matricial xp(x) = Jp(x), donde p(x) = [p 0 (x), p 1 (x), ] t y J es una matriz simétrica tridiagonal J = b 0 a a 1 b 1 a a 2 b 2 a a 3 b 3 que es conocida como matriz de Jacobi [3] Existe una expresión similar usando polinomios ortogonales mónicos, así xp (x) = JP (x),, donde P (x) = [P 0 (x), P 1 (x), ] t y J es una matriz tridiagonal J = b a 2 1 b a 2 2 b a 2 3 b 3 que es llamada matriz de Jacobi mónica El n-ésimo polinomio ortonormal, p n (x), admite la siguiente representación en términos del determinante de la matriz de Hankel p n (x) = 1 n n 1, µ 0 µ 1 µ 2 µ n µ 1 µ 2 µ 3 µ n+1 µ n 1 µ n µ n+1 µ 2n 1 1 x x 2 x n, n 0, con 1 = 1 El coeficiente principal está dado por el determinante de dos matrices de Hankel n 1 γ n = n 3

14 Capítulo 1 Polinomios ortogonales en la recta real Definición 115 El kernel reproductor de orden n ésimo asociado con {p n (x)} n 0 está definido por n K n (x, y) = p k (x)p k (y), n 0 k=0 El nombre viene del hecho de que, para cualquier polinomio q n (x) de grado a lo más n, tenemos q n (y) = q n (x)k n (x, y)dα(x) E Teorema 114 El kernel reproductor puede representarse de una manera simple en términos de los polinomios p n (x) y p n+1 (x) usando la fórmula de Christoffel-Darboux (ver [3, 14], entre otros) p n+1 (x)p n (y) p n (x)p n+1 (y) K n (x, y) = a n+1, x y, x y que se puede deducir de una manera directa a partir de la relación de recurrencia a tres términos (13) Para el caso cuasi-definido, el kernel reproductor está definido mediante K n (x, y) = n k=0 P k (x)p k (y) L[P 2 k (x)] La i ésima derivada parcial de K n (x, y) con respecto a x y la j ésima derivada parcial de K n (x, y) con respecto a y, se denotan por K (i,j) n (x, y) = i+j K n (x, y) x i y j Proposición 111 Dos de las propiedades más importantes de los ceros de los polinomios ortogonales son 1 Los ceros de p n (x) son todos reales, simples y están localizados en el interior de E 2 Sean x n,1 < x n,2 < < x n,n los ceros del polinomio p n (x) Los ceros de p n (x) y p n+1 (x) están separados de la siguiente manera x n+1,i < x n,i < x n+1,i+1, i = 1, 2,, n Esta propiedad es llamada entrelazamiento de los ceros Ejemplo 111 Entre los polinomios ortogonales más estudiados cabe citar los polinomios de Jacobi, una familia de polinomios ortogonales en [ 1, 1] con respecto a la función peso (1 x) α (1 + x) β con α, β > 1 Pueden expresarse mediante Pn α,β (x) = ( 1)n 2 n n! (1 x) α β dn (1 + x) dx n ((1 x)n+α (1 + x) n+β ) 4

15 Capítulo 1 Polinomios ortogonales en la recta real Como casos particulares α, β {± 1 2 } se obtienen las familias de polinomios ortogonales de Chebyshev de primera a cuarta especie, con medidas respectivas dadas por: dα 1 (x) = 1 1 x 2 dx, dα 2 (x) = 1 x 2 dx, 1 x dα 3 (x) = 1 + x dx, 1 + x dα 4 (x) = 1 x dx Cuando α = β = 0 recuperamos la medida de Lebesgue dα(x) = dx en [ 1, 1], los correspondientes polinomios son llamados polinomios de Legendre Cuando α = β, son conocidos como polinomios de Gegenbauer y su medida es dα(x) = (1 x 2 ) α dx, (ver [4], pag 17-18) 12 Transformaciones espectrales lineales en la recta real En esta subsección se considerarán algunas perturbaciones canónicas de medidas, (ver [7]) Denotaremos como L α un funcional lineal definido positivo, asociado con una medida α de Borel con soporte en algún intervalo E de la recta real Definición 121 La función de Stieltjes asociada a α se define como dα(t) S(x) = x t Cuando L es cuasi-definido, esta función admite el siguiente desarrollo en serie en un entorno del infinito µ k S(x) = x k+1, E k=0 donde µ k son los momentos asociados con α, dados por (11) En lo sucesivo, supondremos que µ 0 = 1 Ejemplo 121 Consideremos los polinomios de Chebyshev de primera especie, asociados con la medida dx dα =, 1 x 2 5

16 donde los momentos son Capítulo 1 Polinomios ortogonales en la recta real µ k = L, x k = 1 1 π = 0 = x k 1 x 2 dx cos k (θ)dθ ( k/2 i=1 π, si k = 0, 0, si k es impar, ) k (2i 1) k 2(i 1) π, si k es par Por lo tanto, la función de Stieltjes para los polinomios de Tchebycheff de primera especie es S(x) = k=0 µ k x k+1 = µ 0 x + = π x + π µ 2k x 2k+1 k=1 k i=1 k=1 2k (2i 1) 2k 2(i 1) x 2k+1 Ejemplo 122 Consideremos los polinomios de Gegenbauer con α = β = 1, cuya medida es dα(x) = (1 x 2 )dx, los momentos son µ k = L, x k = 1 1 = y por la tanto la función de Stieltjes es S(x) = = x k (1 x 2 )dx 0, si k es impar, 4 (k+1)(k+3), si k es par, k=0 k=0 µ 2k x 2k+1 4 (2k + 1)(2k + 3)x 2k+1 Definición 122 El funcional delta de Dirac δ(x β), actúa de la siguiente manera δ(x β), p n (x) = p n (β), p n P 6

17 Capítulo 1 Polinomios ortogonales en la recta real Dado un funcional lineal L, algunas perturbaciones canónicas son 1 La perturbación d α c = (x β)dα, β / supp(α), es la llamada transformación canónica de Christoffel 2 La perturbación d α u = dα + M r δ(x β), β / supp(α), M r R, es la llamada transformación canónica de Uvarov 3 La perturbación d α g = dα x β + M rδ(x β), β / supp(α), M r R, es la llamada transformación canónica de Geronimus Ejemplo 123 En términos del funcional lineal, la transformación de Uvarov está definida por L u, p n (x) = L, p n (x) + M r δ(x β), p n (x) = L, p n (x) + M r p n (β) Definición 123 Una transformación espectral racional de una función de Stieltjes S(x), es una transformación de la forma S(x) = A(x)S(x) + B(x) C(x)S(x) + D(x), donde A(x), B(x), C(x) y D(x) son polinomios que dependen de x, y AD BC 0 Si C(x) = 0, se dice que la transformación es lineal Las tres perturbaciones canónicas mencionadas anteriormente corresponden a transformaciones espectrales lineales de las correspondientes funciones de Stieltjes De hecho, las funciones de Stieltjes normalizadas correspondientes a las anteriores perturbaciones están dadas por: 1 Transformación canónica de Christoffel S c (x) = R c (β)[s(x)] = (x β)s(x) 1 (14) µ 1 β Ya que por lo tanto S(x) = S(x) = k=0 k=0 µ k x k+1, µ k x k+1 Los momentos asociados a esta perturbación son µ k = L c, x k = L, (x β)x k = L, x k+1 β L, x k = µ k+1 βµ k, 7

18 Capítulo 1 Polinomios ortogonales en la recta real donde L c es el funcional asociado a la transformación canónica de Christoffel de L Sustituyendo µ k en S(x) se obtiene: como µ 0 = 1, entonces S c (x) = S c (x) = x ( = k=0 k=0 µ k+1 βµ k x k+1 µ k+1 x k+1 β µ k x k+1, 1 x + 1 x + k=0 = (x β)s(x) 1, k=0 µ k x k+1 éste último resultado lo dividimos por µ 1 β, por lo que ) βs(x) S c (x) = (x β)s(x) 1, µ 1 β la cual es la transformación canónica de Christoffel Aquí S c (x) representa la pertubación de la medida de probabilidad α con soporte en [ 1, 1], d α c = x β µ 1 β dα Se puede observar que α c también es una medida de probabilidad 2 Transformación canónica de Uvarov Ya que S u (x) = R u (β, M r )[S(x)] = S(x) + M r(x β) M r (15) µ k = L u, x k sustituyendo µ k en S u (x) = k=0 S u (x) = = L, x k + M r δ(x β), x k = µ k + M r β k, = µ k x k+1 k=0 k=0 se obtiene µ k x k+1 + M r µ k x k+1 + M r x β k x k+1 k=0 k=0 ( β x ) k, 8

19 Capítulo 1 Polinomios ortogonales en la recta real como β / supp(α) entonces β x < 1, y así la serie de la derecha de la ecuación anterior es un serie geométrica convergente Como consecuencia, ( ) S u (x) = S(x) + M r 1 x 1 β x = S(x) + M r (x β) Este último resultado lo dividimos por 1 + M r y concluimos S u (x) = S(x) + M r(x β) M r, que es la transformación canónica de Uvarov Aquí S u (x) representa la pertubación de la medida de probabilidad α d α u = dα + M rδ(x β) 1 + M r dα Se puede observar que α u (x) también es una medida de probabilidad 3 Transformación canónica de Geronimus S g (x) = R g (β, M r )[S(x)] = S(β) + M r S(x) (x β)(m r + S(β)) (16) Donde S g (x) representa la pertubación de la medida de probabilidad α g soportada en [ 1, 1] d α g = (x β) 1 dα + M r δ(x β) M r + S(β) Se puede verificar que α g tambien es una medidad de probabilidad Ejemplo 124 Consideremos una transformación canónica de Uvarov para los polinomios de Chebyshev de primera especie, d α u = dα + M r δ(x β) dx = + M rδ(x β) 1 x 2 La transformación espectral de la función de Stieltjes de los polinomios de Chebyshev de primera especie asociada a la perturbación de Uvarov, segun (15) es S u (x) = π x + π k 2k (2i 1) i=1 2k 2(i 1) k=1 + M x 2k+1 r (x β) 1, 1 + M r la función de Stieltjes S(x) se obtuvo en el ejemplo 121 En [16] se muestra que el grupo de las transformaciones espectrales lineales de la forma S(x) = A(x)S(x) + B(x), D(x) 9

20 Capítulo 1 Polinomios ortogonales en la recta real es un grupo no conmutativo generado a partir de las transformaciones de Christoffel y Geronimus descritas anteriormente Además, R c (β) R g (β, M r )[S(x)] = S(x) (transformación identidad) R g (β, M r ) R c (β)[s(x)] = R u (β, M r )[S(x)] 13 Perturbación de una antidiagonal de la matriz de Hankel En esta subsección se asumirá que L es un funcional lineal definido positivo, asociado con una medida α de Borel con soporte en algún intervalo E de la recta real En lugar de considerar la base canónica de P, consideremos la base {1, (x a), (x a) 2, } donde a R, entonces la nueva sucesión de momentos {ν n } n 0, asociada con la medida α con soporte en E está dada por de lo que se puede concluir que donde µ 0 = ν 0 ν n = L, (x a) n n ( ) n = L, ( 1) n a n j ( x) j j j=0 n ( ) n = ( 1) n+j a n j µ j, j j=0 n 1 ( ) n ν n = µ n + ( 1) n+j a n j µ j, (17) j j=0 Ejemplo 131 Consideremos los polinomios de Chebyshev de primera especie, con la medida dx d α =, 1 x 2 según el ejemplo 121, los momentos asociados con la base canónica son π, si n = 0, µ n = 0, si n es impar, ( n/2 ) n (2i 1) i=1 n 2(i 1) π, si n es par, en consecuencia los momentos {ν n } n 0 con respecto a la base {1, (x a), (x a) 2, } son ν n = µ n + [(n 1)/2] j=0 ( ) n ( 1) n+2j a n 2j µ 2j 2j 10

21 Capítulo 1 Polinomios ortogonales en la recta real Ejemplo 132 Los momentos con respecto a la base {1, (x a), (x a) 2, } para los polinomios de Gegenbauer (α = β = 1) son ν n = L, (x a) n 1 n 1 ( ) n 1 = x n (1 x 2 )dx + ( 1) n+j a n j x j (1 x 2 )dx 1 j j=0 1 n 1 ( ) n = µ n + ( 1) n+j a n j µ j j j=0 En el ejemplo 122 hallamos {µ n } n 0 La matriz de Hankel asociada a L en la nueva base esta dada por, ν 0 ν 1 ν n ν 1 ν 2 ν n+1 H n =, n 0 ν n ν n+1 ν 2n Así, si L es un funcional lineal de momentos cuasi-definido, entonces los polinomios ν 0 ν 1 ν 2 ν n 1 ν 1 ν 2 ν 3 ν n+1 Q n (x) = = det H n, n 0, ν n 1 ν n ν n+1 ν 2n 1 1 (x a) (x a) 2 (x a) n costituyen una sucesión de polinomios ortogonales mónicos con respecto a L, usando la nueva base 1, con Q n (x) = P n (x a) Ahora se definirá un funcional que perturba solo un momento de la matriz de Hankel Antes necesitamos enunciar algunas definiciones Definición 131 Dado un funcional lineal L, la derivada distribucional DL (ver [15]) está dada por DL, p = L, p, p P Si j es un entero no negativo, la j ésima derivada distribucional se define por D j L, p = ( 1) j L, p (j), p P En particular, para el funcional δ(x a) la j ésima derivada distribucional resulta ser D j δ(x a), p = ( 1) j p (j) (a) 1 Observe que al realizar un cambio en la base resulta una perturbación en todos los elementos de la matriz de Hankel con respecto a la base original 11

22 Capítulo 1 Polinomios ortogonales en la recta real Definición 132 Sea L un funcional cuasi-definido entonces definimos el funcional lineal de momentos L j, por L j, p n (x) = L, p n (x) + ( 1) j m j j! D(j) δ(x a), p n (x) = L, p n (x) + m j j! p(j) n (a), (18) donde m j y a son constantes reales, p (j) n (x) indica la j ésima derivada de p n (x) P Si L j es un funcional definido positivo, entonces la transformación anterior puede expresarse en términos de su correspondiente medida, dada por d α j = dα + ( 1) j m j j! D(j) δ(x a), (19) que se puede ver como una medida de Uvarov generalizada Como caso particular consideremos el caso j = 0 En este caso la medida asociada según (19) es d α 0 = dα + m 0 δ(x a), (110) es decir una transformación de Uvarov con, M r = m 0 y β = a, y según la ecuación (15) la transformación espectral de la correspondiente función de Stieltjes, sin normalizar es S u (x) = S(x) + m 0 (x a) (111) Por otro lado, cuando L j es definido positivo, existe una representación en forma de integral, entonces (18) se puede escribir de la siguiente manera Sea α j (x) una medida sobre E que esta definida por L j, p n (x) = p n (x)dα j (x) E = p n (x)dα(x) + m (112) j j! p(j) n (a) De (18) se puede concluir que E ν k = L j, (x a) k ν k, si k < j, = ν k + m j, si k = j, ν k, si k > j, lo cual puede comprobarse fácilmente, ya que ν k = L j, (x a) k = L, (x a) k + m j j! ((x a)k ) (j) (a) = ν k + m j j! ((x a)k ) (j) (a) Considerando los diferentes casos para k y j, tenemos Si k < j, al derivar j veces un polinomio de grado k, obtenemos 0 y entonces ν k = ν k 12

23 Capítulo 1 Polinomios ortogonales en la recta real Si k = j, al derivar j veces un polinomio de grado j, obtenemos j!, entonces ν k + m j Si k > j, al derivar j veces un polinomio de grado k obtenemos mk(k 1) (x j 1)(x a) k j y evaluando este polinomio en a obtenemos 0 Por que la base es {1, (x a), (x a) 2, (x a) 3, }, esta es la importancia de usar esta base Entonces ν k = ν k Observe que el funcional L j perturba el j ésimo momento de la matriz de Hankel asociada a L, es decir, la matriz de Hankel asociada con L j contiene los mismos momentos ν n de L excepto por el j ésimo momento que es igual a ν j + m j, es decir ν 0 ν 1 ν j + m j ν n ν 1 ν 2 ν j+1 ν n+1 H n = ν j + m j ν j+1 ν 2j ν j+n, n 0, ν n ν n+1 ν n+j ν 2n 0 0 m j H n = H n + m j 0 0, n Si el funcional lineal L j es cuasi-definido y se denota por S(x) la correspondiente función de Stieltjes, entonces se puede relacionar S(x) = k=0 y S(x) como: S j (x) = S(x) + ν k (x a) k+1 Este resultado se tiene porque la función de Stieltjes perturbada es S j (x) = de (18) los momentos pertubados son k=0 m j (113) (x a) j+1 ν k (x a) k+1, ν k = L j, (x a) k ν k, si k j, = ν k + m j, si k = j, 13

24 Capítulo 1 Polinomios ortogonales en la recta real entonces sustituyendo en S(x) se obtiene, S j (x) = ν 0 (x a) + ν 1 (x a) 2 + ν 0 (x a) ν j (x a) j+1 + ν j+1 (x a) j+2 + = ν 0 (x a) + ν 1 (x a) 2 + ν 0 (x a) ν j + m j (x a) j+1 + ν j+1 (x a) j+2 + m j = S(x) + (x a) j+1 Se puede ver la perturbación (113) de la función de Stieltjes como una transformación espectral lineal, es decir A(x)S(x) + B(x) S(x) = D(x) donde A(x) = (x a) j+1, B(x) = m j y D(x) = (x a) j+1, Denotaremos esta transformación mediante Observe que (111) y (113) son las mismas cuando j = 0 S j (x) = (x a)j+1 S(x) + m j (x a) j+1 (114) Ejemplo 133 Consideremos los polinomios de Chebyshev de primera especie En el ejemplo 131 se calcularon los ν n en la base {1, (x a), (x a) 2, (x a) 2, }, y están dados por n 1 ( ) n ν n = µ n + ( 1) n+2j a n 2j µ 2j 2j j=0 Por la ecuación (113), la función de Stieltjes es k=0 m j S j (x) = S(x) + (x a) j+1 µ k + k 1 ( k ) j=0 2j ( 1) k+2j a k 2j µ 2j m j = (x a) k+1 + (x a) j+1, donde los {µ n } n 0 son los momentos asociados a los polinomios de Chebyshev de primera especie (ver ejemplo 121) La siguiente proposición establece condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales el funcional lineal L j preserva el carácter cuasi-definido y proporciona la relación entre las correspondientes SPOM Proposición 131 [1] Sea L un funcional lineal de momentos cuasi-definido y {P n (x)} n 0 su correspondiente SPOM Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes 1 El funcional lineal de momentos L j, definido como en (18), es cuasi-definido 2 Para todo n 0, la matriz I j + K j D j, donde D j = m j j! ( j ) j 0 ( 0 j 0) 14,

25 Capítulo 1 Polinomios ortogonales en la recta real K j = K (j,0) n 1 (a, a) K(j 1,0) (a, a) K(j 1,1) K (j,1) n 1 K (j,j) n 1 (a, a) K(j 1,j) n 1 (a, a) K (0,0) n 1 (a, a) n 1 (a, a) K (0,1) n 1 (a, a) n 1 (a, a) K (0,j) n 1 (a, a), e I j es la matriz identidad de tamaño (j + 1) (j + 1), es no singular y L, Pn(x) 2 + P n (j) (a) (a) P (j 1) n P n (a) T D j (I j + K j D j ) 1 P n (a) P n (1) (a) P n (j) (a) T 0 Además, si L j es cuasi-definido y denotamos por {P n (j; )} n 0 su correspondiente SPOM, entonces P n (j; x) = P n (x) + K (j,0) n 1 (a, x) K (j 1,0) n 1 (a, x) K (0,0) n 1 (a, x) La demostración se puede ver en [1] pag 6-7 T D j (I j + K j D j ) 1 P n (a) P n (1) (a) P n (j) (a) T 15

26 CAPÍTULO 2 Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad En este capítulo se presentan conceptos básicos sobre polinomios ortogonales en la circunferencia unidad, enunciando algunas de sus propiedades e introduciendo transformaciones de medidas análogas al caso real, y su función de Carathéodory En la última parte se muestra cómo se perturba tan solo un momento de la matriz de Toeplitz asociado a un funcional L, y se enuncia su correspondiente función de Carathéodory Esta última función posteriormente se usará para estudiar el comportamiento de los polinomios en la circunferencia unidad cuando se aplica la transformación de Szegő directa 21 Preliminares de polinomios ortogonales en la circunferencia unidad Las siguientes definiciones y teoremas se pueden consultar en [6], [10] y [12] Sea L un funcional lineal en el espacio de los polinomios de Laurent (Λ = span{z k } k Z ) tal que L es hermitiano, es decir c n = L, z n = L, z n = c n, n Z Los números complejos {c n } n Z son llamados los momentos asociados a L Entonces se puede introducir un funcional bilineal asociado con L en el espacio P = span{z k } k N de los polinomios con coeficientes complejos mediante p(z), q(z) L = L, p(z) q(z 1 ), (21) donde p, q P Denotaremos mediante P n el subespacio de los polinomios de grado a lo más n 16

27 Capítulo 2 Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad Definición 211 La matriz de Gram asociada a la base canónica {z n } n 0 de P es c 0 c 1 c n c 1 c 0 c n 1 T =, (22) c n c n+1 c 0 conocida en la literatura como matriz de Toeplitz Definición 212 Se dice que el funcional lineal L es cuasi-definido si las submatrices principales (T n ) n 0 que tienen tamaño (n + 1) (n + 1), son no singulares, es decir c 0 c 1 c n c 1 c 0 c n 1 det T n = 0, n 0 c n c n+1 c 0 Teorema 211 Si L es cuasi-definido, existe una sucesión de polinomios mónicos {Φ n } n 0 que satisface 1 grad Φ n = n, n 0, 2 Φ n, Φ m L = 0, para m n, m, n 0, 3 Φ n, Φ n L = K n, n 0, donde K n 0 para todo n Esta sucesión de polinomios se denomina sucesión de polinomios ortogonales mónicos (SPOM) asociados a L Definición 213 Si las submatrices principales (T n ) n 0 de T tienen determinante positivo, entonces el funcional lineal L se dice definido positivo Si L es definido positivo entonces podemos definir un producto interno y en consecuencia una norma Φ n, Φ n = Φ n 2 = K n, K n > 0 (23) También, todo funcional definido positivo tiene una representación integral (no necesariamente única) L, p(z) = p(z)dσ, donde σ es una medida de Borel positiva, no trivial, con soporte en la circuferencia unidad T = {z C : z = 1} T Teorema 212 La sucesión de polinomios ortogonales mónicos satisface dos relaciones de recurrencia equivalentes Φ n+1 (z) = zφ n (z) + Φ n+1 (0)Φ n(z), n 0, (24) Φ n+1 (z) = (1 Φ n+1 (0) 2 )zφ n (z) + Φ n+1 (0)Φ n+1(z), n 0 (25) 17

28 Capítulo 2 Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad Estas últimas son denominadas relaciones de recurrencia ascendente y descendente, respectivamente, donde Φ n(z) = z n Φ n (z 1 ) es llamado el polinomio recíproco Los números complejos {Φ n (0)} n 1 se denominan coeficientes de reflexión o coeficientes de Verblunsky y tienen suma importancia en el estudio de los polinomios ortogonales en la circuferencia unidad En el caso donde L sea definido positivo se tiene Φ n (0) < 1, para todo n 1 De (24) se puede deducir Φ n+1(z) = Φ n(z) + Φ n+1 (0)zΦ n (z), (26) porque al calcular el conjugado de (24) se deduce que Φ n+1 (z 1 ) = 1 z Φ(z 1 ) + Φ n+1 (0)Φ n(z), sustituyendo Φ n (z 1 ) = Φ n (z) z n y Φ n(z) = z n Φ(z 1 ) en el resultado se obtiene Φ n+1 (z 1 ) = Φ n(z) z n+1 multiplicando por z n+1 se deduce (26) + Φ z n+1(0) z n+1 Φ n(z), De ahora en adelante asumiremos que el funcional L es definido positivo Sea σ una medida positiva no trivial de Borel con soporte en la circunferencia unidad T, entonces existe una sucesión (ver [7]) {ϕ n } n 0 de polinomios ortonormales que satisface π π ϕ n (z) = κ n z n +, κ n 0, ϕ n (e iθ )ϕ m (e iθ )dσ(θ) = δ m,n, m, n 0 (27) Los correspondientes polinomios mónicos están definidos por Φ n (z) = ϕ n(z) κ n, donde κ n es el coeficiente principal de ϕ n (z) El coeficiente principal está determinado por el determinante de dos matrices de Toeplitz det Tn 1 κ n =, n 1, det T n y de este último resultado obtenemos K n = 1 κ 2 n = det T n det T n 1, n 1 Por otro lado, el k-ésimo momento c k asociado con la medida σ, está definido mediante c k = π π e ikθ dσ(θ), k Z, 18

29 Capítulo 2 Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad y el n-ésimo polinomio ortonormal está dado por c 0 c 1 c 2 c n 1 c 1 c 0 c 1 c n 1 ϕ n (z) = det Tn det T n 1 c (n 1) c (n 2) c (n 3) c 1 1 z z 2 z n, n 0, con el convenio que det T 1 = 1 Definición 214 El kernel reproductor de orden n-ésimo asociado con {ϕ n (z)} n 0 y {Φ n (z)} n 0 es n n Φ k (y)φ k (z) K n (z, y) = ϕ k (y)ϕ k (z) =, K k k=0 con K k = Φ k (z) 2 = Φ k (z), Φ k (z) L Teorema 213 El kernel reproductor puede representarse de una manera simple en términos de los polinomios ϕ n+1 (z) y ϕ n+1 (z) usando la fórmula de Christoffel-Darboux (ver [10, 12]) k=0 K n (z, y) = ϕ n+1 (y)ϕ n+1 (z) ϕ n+1(y)ϕ n+1 (z), n 0, ȳz 1 (1 ȳz) Para el caso cuasi-definido, se puede expresar en términos de los polinomios Φ n+1 (z) y Φ n+1 (z), mediante K n (z, y) = Φ n+1 (y)φ n+1 (z) Φ n+1(y)φ n+1 (z), n 0, ȳz 1 K n+1 (1 ȳz) El nombre viene del hecho de que, para cualquier polinomio q n (z) de grado a lo más n, tenemos q n (y) = K n (z, y)q n (z)dσ(z) por otro lado, también se tiene T Φ n(z) = K n K n (z, 0), n 0 La i ésima derivada parcial de K n (z, y) con respecto a z y la j ésima derivada parcial de K n (z, y) con respecto a y, se denota por K (i,j) n (z, y) = i+j K n (z, y) z i y j Ejemplo 211 Consideremos la medida normalizada de Lebesgue dσ(θ) = dθ 2π 19

30 Capítulo 2 Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad Los momentos para esta medida son c n = c n = L, z n π = 1 e inθ dθ 2π π { 1, si n = 0, = 0, si n 0, y entonces la matriz de Toeplitz de orden n + 1 es T n = 0 0 1, y calculando el determinante de T n, se obtiene que det(t n ) = 1 > 0 para todo n N Por lo tanto su correspondiente sucesión de polinomios es ϕ n (z) = Φ n (z) = z n, n 0, y sus respectivos coeficientes de Verblunsky son Φ n (0) = 0, para n 1 22 Transformaciones espectrales lineales en la circunferencia unidad Se considerarán algunas perturbaciones canónicas de medidas (ver [7] y [10] ), las cuales son análogas a las perturbaciones definidas en la recta real En esta sección L es un funcional lineal definido positivo, asociado con una medida σ de Borel con soporte en la circunferencia unidad T = {z C : z = 1} Definición 221 Dada F : D C función analítica, diremos que F es una función de Carathéodory si y sólo si F (0) R y Re(F (z)) > 0 en D = {z C : z < 1} La función analítica de Carathéodory se puede representar en términos de los momentos {c n } n Z asociados con σ en un entorno del origen, es decir, admite un desarrollo en serie de Taylor alrededor del origen, de la siguiente manera F (z) = c c k z k (28) Denominaremos a (28) función de Carathéodory asociada al funcional L Ejemplo 221 Consideremos la medida normalizada de Lebesgue Según el ejemplo 211, c 0 = 1 y c n = 0 para todo n N {0}, entonces k=1 F (z) = 1 20

31 Capítulo 2 Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad Ejemplo 222 Consideremos la medida dσ(θ) = 1 (1 + cos θ)dθ, π θ [ π, π], cuyos respectivos momentos son 2, si k = 0, c k = 1, si k = 1 ó k = 1, 0, en otro caso, y entonces la función de Carathéodory es F (z) = 2 + 2z También se puede observar que det(t n ) = n + 2 > 0 para todo, n N Como L es definido positivo, entonces F (z) es analítica en D y Re(F (z)) > 0 en D En este caso F (z) se puede representar mediante la transformación de Riesz-Herglotz de la medida positiva σ definida mediante (ver [6]) F (z) = T e iθ + z e iθ z dσ(θ) La medida σ puede descomponerse en una parte que es absolutamente continua con respecto a la medida normalizada de Lebesgue dθ 2π y una medida singular (ver [12]) Si denotamos por ω(θ) = σ la derivada de Radon-Nikodyn de σ respecto a la medida de Lebesgue y por σ s la medida singular, entonces dσ(θ) = ω(θ) dθ 2π + dσ s(θ) (29) También existe una relación entre la función de Caratheodory y la parte absolutamente continua ω(θ) de la medida (ver [11]) Si θ D entonces F (e iθ ) lím r 1 F (re iθ ), y por lo tanto ω(θ) = ReF (e iθ ) (210) La parte singular de la medida σ s esta soportada en {θ lím r 1 Re(re iθ ) = } Dado un funcional lineal L, algunas perturbaciones canónicas de una medida son: 1 La perturbación d σ C = z ξ 2 dσ, z = 1, ξ C, es la llamada transformación canónica de Christoffel 2 La perturbación d σ U = dσ + M c δ(z ξ) + M c δ(z ξ 1 ), ξ C {0}, M c C, es la llamada transformación canónica de Uvarov 3 La perturbación d σ G = dσ z ξ 2 +M c δ(z ξ)+m c δ(z ξ 1 ), ξ C {0}, M c C, ξ 1, es la llamada transformación canónica de Geronimus 21

32 Capítulo 2 Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad Definición 222 Se llamará transformación espectral racional de una función de Carathéodory F (z), a una transformación de la forma F (z) = A(z)F (z) + B(z) C(z)F (z) + D(z) donde A(z), B(z), C(z) y D(z) son polinomios que dependen de z, y AD BC 0 Si C(z) = 0, la transformación se dice lineal Las tres perturbaciones canónicas mencionadas anteriormente corresponden a transformaciones espectrales lineales de las correspondientes funciones de Carathéodory Estas tres transformaciones corresponden, de una manera análoga, a las transformaciones definidas en el capítulo anterior para el caso real Las funciones de Carathéodory normalizadas correspondientes a las anteriores perturbaciones están dadas por (ver [10]) 1 Transformación canónica de Christoffel F C (z) = F C (ξ)[f (z)] = A(z)F (z) + B(z), (211) D(z) donde Ya que y por lo tanto A(z) = ξz2 + (1 + ξ 2 )z ξ (1 + ξ 2 ) 2Reξc 1, B(z) = ξz2 + (ξc 1 ξc 1 )z + ξ (1 + ξ 2 ) 2Reξc 1, D(z) = z F (z) = c F C (z) = c c k z k, k=1 c k z k, donde c 0 R, c k C para k Z Sea L C la transformación canónica de Christoffel de L que satisface k=1 p, q LC = (z ξ)p, (z ξ)q L, ξ C Calculando los momentos asociados con L C se obtiene c k = L C, z k = 1, z k L = (z ξ), (z ξ)z k L = L, z k + L, ξz (k 1) + L, ξz (k+1) + L, ξ 2 z k = c k βc (k 1) ξc (k+1) + ξ 2 c k = (1 + ξ 2 )c k ξc (k+1) ξc (k 1), k Z, 22

33 Capítulo 2 Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad en particular tenemos c 0 = (1 + ξ 2 )c 0 ξc 1 ξc 1 Sustituyendo c 0 y c k en F C (z), F C (z) = (1 + ξ 2 )c 0 ξc 1 ξc ( (1 + ξ 2 ) )c k ξc (k+1) ξc (k 1) z k k=1 = (1 + ξ 2 )F (z) ξ(c 1 + z(f (z) + c 0 )) ξ(c z (F (z) c 0 2c 1 z)), y agrupando el término F (z), se tiene F C (z) = ξz2 + (1 + ξ 2 )z ξ z Si hacemos c 0 = 1, F (z) + ξz2 c 0 + (ξc 1 ξc 1 )z + ξc 0 z F C (z) = ξz2 + (1 + ξ 2 )z ξ z((1 + ξ 2 ) 2Reξc 1 )) F (z) + ξz2 + (ξc 1 ξc 1 )z + ξ z((1 + ξ 2 ) 2Reξc 1 )) Este último resultado corresponde a la transformación canónica de Christoffel Aqui F C representa la pertubación de la medida de probabilidad σ d σ C = z ξ 2 (1 + ξ 2 ) 2Reξc 1 dσ (212) Se puede observar que σ C también es una medida de probabilidad 2 Transformación canónica de Uvarov donde F U (z) = F U (ξ, M c ) = F (z) + B(z) D(z), (213) B(z) = (ξ ξz 2 )(M c + M c ) (1 ξ 2 )(M c M c )z, D(z) = (z ξ)(ξz 1) Para ver esto, sea L U la transformación canónica de Uvarov de L que satisface p(z), q(z) LU = L U, p(z)q(z) + M c δ(z ξ), p(z)q(z) + M c δ(z ξ 1 ), p(z)q(z), con ξ C Calculando los momentos asociados con L U se obtiene, y en particular, c k = L U, z k = L, z k + M c δ(z ξ), z k + M c δ(z ξ 1 ), z k = c k + M c ξ k + M c ξ k, c 0 = L U, 1 = L, 1 + M c δ(z ξ), 1 + M c δ(z ξ 1 ), 1 = c 0 + M c + M c, 23

34 Capítulo 2 Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad sustituyendo c 0 y c k en F U (z), F U (z) = c 0 + M c + M c + 2 (c k + M c ξ k + M c ξ k )z k k=1 ( ) ) ( ) z k = F (z) + M c ( M c (ξz) k ξ k=0 k=0 ( = F (z) + M c 1 + 2ξ ) ( + M c ) ξ z 1 ξz ( ) ( ) ξ + z 1 + ξz = F (z) + M c + M c ξ z 1 ξz = F (z) + ξ(m c + M c ) + (1 ξ 2 )(M c M c )z ξ(m c + M c )z 2 (z ξ)(ξz 1) = F (z) + (ξ ξz2 )(M c + M c ) + (1 ξ 2 )(M c M c )z, (z ξ)(ξz 1) Este último resultado corresponde a la transformación canónica de Uvarov Aqui F U representa la pertubación de la medida de probabilidad σ 3 Transformación canónica de Geronimus d σ U = dσ + M c δ(z ξ) + M c δ(z ξ 1 ) F G (z) = F G (ξ, M c ) = A(z)F (z) + B(z), (214) D(z) donde A(z) = z, D(z) = ξz 2 + (1 + ξ 2 )z ξ, B(z) = ξz 2 2iIm(q 0 )z ξ, y q 0 es un parámetro libre definido por q 0 = c 0 ξ c 1 Calculando el k ésimo momento, tenemos Si s k = c k ξ k y, en consecuencia, c k = z k, 1 L = z k (z ξ), z ξ L = c k ξ c k+1 ξ c k 1 + c k ξ 2 = c k (1 + ξ 2 ) ξ c k+1 ξ c k 1, k 0 y q k = c k ξ k c k 1 ξ k 1, entonces la expresión anterior se puede escribir como s k = q k ξ 2 q k+1, k 0, q k = q 0 c 0 ξc 1 ξ k 1 c k 1 ξ 2k, k 1, (215) 24

35 Capítulo 2 Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad así como q 0 = c 0 ξ c 1, q 1 = q 0 c 0 ξ 2 = c 1 ξ c 0 Luego, q 0 es un parámetro libre Por tanto, y c 0 ξ c 1 = q 0, c 0 c 1 ξ = c 0 q 0 ξ 2 (216) ( 1 ξ 2 ) c 0 = 2Re(q 0 ) c 0, es decir, c 0 R Si asumimos ξ > 1, de (216) obtenemos c 1 Por otra parte de (215), c k k ξ k = c 0 + q j, k 2 Por lo tanto, tenemos un grado de libertad que es la elección de q 0 Por otro lado si multiplicamos c k por z k, k 1, obtenemos j=1 ( F (z) = c ξ 2 ) ξ c 1 ξ c ( 1 + ξ 2) c k z k 2 ξ c k+1 z k 2ξ c k 1 z k k=1 k=1 = ( ( ) ( ) 1 + ξ 2) FG (z) ξ c 1 + 2z c k z k ξ c c k z k z k=0 k=2 = ( 1 + ξ 2) ( FG (z) ξ c ) z ( F G (z) c 0 2 c 1 z) ξ( c 1 + z( c 0 + F G (z))) = ( 1 + ξ 2) ( FG (z) + ξ c 1 + c ) 0 ξ z z F G (z) ξ( c 1 + c 0 z) ξz F G (z) ( = 1 + ξ 2 ξ ) ( ) z ξz F G (z) + ξ c 1 ξ c ξ 1 + c 0 z ξz ( = 1 + ξ 2 ξ ) ( ) z ξz ξ F G (z) + c 0 q 0 c 0 + q 0 + c 0 z ξz k=1 Al despejar F (z), hacer c 0 = 1 y 2iIm = q 0 q 0, se tiene F G (z) = zf (z) + ξz 2 2iIm(q 0 )z ξ ξz 2 + (1 + ξ 2 (217) )z ξ Este último resultado corresponde a la transformación canónica de Geronimus De 217, FG (z) se puede escribir de la siguiente manera F G (z) = donde M r = 1 2q 0 c ξ 2 zf (z) ξz 2 + (1 + ξ 2 )z ξ + M ξ + z r ξ z + M 1 + ξz r 1 ξz, 25

36 Capítulo 2 Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad La transformación de Uvarov puede expresarse como una composición de las transformaciones de Christoffel y Geronimus (ver [6]) De hecho, F G (ξ, M c ) F C (ξ) = F U (ξ, M c ), F C (ξ) F G (ξ, M c ) = I (transformación identidad) Ejemplo 223 Consideremos la medida dσ(θ) = z 1 2 dθ 2π, es decir, una transformación de Christoffel de la medida normalizada de Lebesgue con parámetro 1 (ver [9]) Su correspondiente SPOM con respecto a σ, está dada por Φ n (z) = 1 z n+1 1 n z j, n 1, z 1 n + 1 y por lo tanto Φ n(z) = z 1 n + 1 n j=0 j=0 z j+1 Φ n (0) = 1 n + 1, n 1, n 1, Ejemplo 224 En el ejemplo 221 se mostró que la función de Carathéodory para la medida normalizada de Lebesgue es F (z) = 1 Ahora supongamos que realizamos una transformación de Christoffel a esta medida con parámetro ξ = 1, entonces de acuerdo a la ecuación (212) la medida perturbada es d σ(θ) = = z dσ(θ) z dθ 2π Por un lado, la transformación canónica de Christoffel de acuerdo a (211) es A(z) = ξz2 + (1 + ξ 2 )z ξ (1 + ξ 2 = z2 + 2z 1, ) 2Reξc 1 2 entonces B(z) = ξz2 + (ξc 1 ξc 1 )z + ξ (1 + ξ 2 = z2 + 1, ) 2Reξc 1 2 F C (z) = D(z) = z A(z)F (z) + B(z) D(z) = 1 z 26