Operaciones Pegar y Reversar en Polinomios Ortogonales con Coeficientes matriciales

Transcripción

1 Operaciones Pegar y Reversar en Polinomios Ortogonales con Coeficientes matriciales A. Rodríguez Departamento de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia rtogonales y sus Aplicaciones, 2015

2 Contenido 1 Operaciones Pegar y Reversar Definición de Pegar y Reversar en polinomios Definición de pegar y Reversar en Vectores Definición de Pegar y Reversar en Matrices 2 Polinomios Ortogonales matriciales 3 Operaciones Pegar y Reversar y los Polinomios Ortogonales Transformación de Darboux y perturbaciones funcionales

3 Objetivos 1 Operaciones Pegar y Reversar Definición de Pegar y Reversar en polinomios Definición de pegar y Reversar en Vectores Definición de Pegar y Reversar en Matrices 2 Polinomios Ortogonales matriciales 3 Operaciones Pegar y Reversar y los Polinomios Ortogonales Transformación de Darboux y perturbaciones funcionales

4 Pegar y Reversar en Polinomios Sea A = {P n (x) P[x] x P n (x)}. n P(x) = a n k x n k k=0

5 Pegar y Reversar en Polinomios Sea A = {P n (x) P[x] x P n (x)}. n P(x) = a n k x n k k=0 Cifra difital (Ç (P)) de un polinomio P A de grado deg(p(x)) = n está dado por: Ç (P(x)) = n + 1. Rodríguez (Universidad Nacional de Colombia Operaciones Sede Bogotá) Pegar y Reversar en Polinomios Ortogonales con Coeficientes matriciales/ 25

6 Pegar y Reversar en Polinomios Sea A = {P n (x) P[x] x P n (x)}. n P(x) = a n k x n k k=0 Cifra difital (Ç (P)) de un polinomio P A de grado deg(p(x)) = n está dado por: Ç (P(x)) = n + 1 Pegar en Polinomios Sean P y Q A con deg(p) = n y deg(q) = m definimos la operación Pegar como: P Q = xç(q) P + Q

7 Pegar y Reversar en Polinomios Sea A = {P n (x) P[x] x P n (x)}. n P(x) = a n k x n k k=0 Cifra difital (Ç (P)) de un polinomio P A de grado deg(p(x)) = n está dado por: Ç (P(x)) = n + 1 Pegar en Polinomios Sean P y Q A con deg(p) = n y deg(q) = m definimos la operación Pegar como: P Q = xç(q) P + Q Reversar en Polinomios Sea P A con deg(p) = n así, definimos la operación Reversar como n P = a k x n k k=0

8 Pegar y Reversar en Polinomios Proposición: Sean P, Q, R A tales que: 1 P = P 2 P + Q = P + Q siempre que ç(p) = ç(q) 3 PQ = P Q siempre que ç(p) = ç(q) 4 (P Q) R = P (Q R) 5 P Q = Q P

9 Pegar y Reversar en Polinomios Proposición: Sean P, Q, R A tales que: 1 P = P 2 P + Q = P + Q siempre que ç(p) = ç(q) 3 PQ = P Q siempre que ç(p) = ç(q) 4 (P Q) R = P (Q R) 5 P Q = Q P Si P = P entonces P es un polinomio Paĺındrome. Mientras que, si P = P entonces P es un polinomio antipaĺındrome.

10 Objetivos 1 Operaciones Pegar y Reversar Definición de Pegar y Reversar en polinomios Definición de pegar y Reversar en Vectores Definición de Pegar y Reversar en Matrices 2 Polinomios Ortogonales matriciales 3 Operaciones Pegar y Reversar y los Polinomios Ortogonales Transformación de Darboux y perturbaciones funcionales

11 Pegar y Reversar en Vectores Pegar en Vectores Sean v K n y w K m con ç(v) = n y ç(w) = m donde, v = (v 1, v 2,, v n ) y w = (w 1, w 2,, w m ) definimos la operación Pegar como: v w = (v 1, v 2,, v n ) (w 1, w 2,, w m ) = (v 1, v 2,, v n, w 1, w 2,, w m )

12 Pegar y Reversar en Vectores Pegar en Vectores Sean v K n y w K m con ç(v) = n y ç(w) = m donde, v = (v 1, v 2,, v n ) y w = (w 1, w 2,, w m ) definimos la operación Pegar como: v w = (v 1, v 2,, v n ) (w 1, w 2,, w m ) = (v 1, v 2,, v n, w 1, w 2,, w m ) Reversar en Vectores Sean v K n con ç(v) = n así, definimos la operación Reversar como ṽ = (v n, v n 1,, v 1 )

13 Pegar y Reversar en Vectores Proposición: Sean v K n, w K m y u K t tales que: 1 ṽ = v 2 αv + βw = αṽ + β w 3 ṽxw = ṽx w 4 v w = ṽ w 5 (v w) u = v (w u) 6 ṽ w = w ṽ

14 Pegar y Reversar en Vectores Proposición: Sean v K n, w K m y u K t tales que: 1 ṽ = v 2 αv + βw = αṽ + β w 3 ṽxw = ṽx w 4 v w = ṽ w 5 (v w) u = v (w u) 6 ṽ w = w ṽ Si v = ṽ entonces v es un vector Paĺındrome. Mientras que, si v = ṽ entonces v es un vector antipaĺındrome.

15 Objetivos 1 Operaciones Pegar y Reversar Definición de Pegar y Reversar en polinomios Definición de pegar y Reversar en Vectores Definición de Pegar y Reversar en Matrices 2 Polinomios Ortogonales matriciales 3 Operaciones Pegar y Reversar y los Polinomios Ortogonales Transformación de Darboux y perturbaciones funcionales

16 Pegar y Reversar en Matrices Las operaciones Pegar y Reversar en matrices, las aplicaremos sobre filas.. Rodríguez (Universidad Nacional de Colombia Operaciones Sede Bogotá) Pegar y Reversar en Polinomios Ortogonales con Coeficientes matriciales/ 25

17 Pegar y Reversar en Matrices Las operaciones Pegar y Reversar en matrices, las aplicaremos sobre filas. Pegar en Matrices Sean B, D M nxm tales que B = Pegar está definida como: B D = b 1. b m y D = b 1 d 1. b m d m d 1. d m la operación. Rodríguez (Universidad Nacional de Colombia Operaciones Sede Bogotá) Pegar y Reversar en Polinomios Ortogonales con Coeficientes matriciales/ 25

18 Pegar y Reversar en matrices Reversar en Matrices Sea B M nxm tal que B = como: B = b 1. b m b 1. b m, definimos la operación Reversar

19 Pegar y Reversar en Matrices Proposición: Sean B, D y C M nxm tales que: 1 B = B 2 αb + βd = α B + β D 3 (B C) D = B (C D) 4 B D = D B

20 Pegar y Reversar en Matrices Proposición: Sean B, D y C M nxm tales que: 1 B = B 2 αb + βd = α B + β D 3 (B C) D = B (C D) 4 B D = D B 5 (B) t = ( B) t 6 (B D) t = B t D t 7 BD = B D 8 det( B) = ( 1) n 2 det(b) Si B = B entonces B es una matriz Paĺındrome. Mientras que, si B = B entonces B es una matriz antipaĺındrome.

21 Momentos matriciales y matrices de Hankel Dada una medida µ(dx) = W (x)dx donde W (x) es la función peso, está es una matriz simétrica en R q q que tiene soporte en un subconjunto infinito E de R. Asumiremos que µ es tal, que los momentos {µ n } n 0 asociados a él, definidos por µ n = x n dµ(x), n 0, µ n R q q, 1 E los cuales resultan ser simétricos y están bien definidos para cada n 0. Sus matrices correspondientes de Hankel son µ 0 µ 1... µ n H n :=...., µ n µ n+1... µ 2n que resultan ser definidas positivas, y por tanto invertibles, n 0. 1 L. Miranian

22 Polinomios Ortogonales matriciales en la recta real Definición Sea (P n ) n 0 una sucesión de polinomios matriciales tal que i) deg P n (x) = n, con coeficiente fijo no singular, n 0, ii) P m (x)dµ(x)pn(x) t = P m (x)w (x)pn(x)dx t = δ mn C n, para todo E E m, n 0, donde C n es una matriz constante no singular de tamaño q q, esta sucesión de polinomios Ortogonales matriciales es llamada (MOPS) con respecto a la medida µ. Si C n es la matriz identidad q q I q para cada n 0, entonces, los polinomios son llamados ortogonales. OBSERVACIÓN: Los anteriores son llamados polinomios ortogonales matriciales a izquierda.

23 El complemento de Schur de µ 2n Consideremos la partición por bloques µ 0 µ 1... µ n µ 1 µ 2... µ n+1 H n :=.... µ n µ n+1... µ 2n con Y n = (µ n, µ n+1,..., µ 2n 1 ) t Entonces el complemento de Schur de µ 2n es C n = µ 2n Y t nh 1 n 1 Y n. ( Hn 1 Y n Y t n µ 2n ),

24 Relación de recurrencia a tres términos La sucesión (P n ) n 0 puede también ser calculado usando la relación de recurrencia a tres términos. xp n (x) = P n+1 (x) + B n P n (x) + A n P n 1, n 1, (1) con P 1 (x) = I q x B 0, y las q q matrices A n, B n son dadas por ( ) A n = P n (x)w (x)pn(x)dx t Cn 1 1 = C ncn 1 1, n 1 E B n = xp n (x)w (x)pn(x)dx, t n 0 E

25 La fórmula de Christoffel-Darboux Polinomios con coeficientes matriciales mónicos en la recta real Definimos una familia de polinomios ortogonales {P n (x)} n=0 como el complemento de Schur de x n I en la matriz T n es decir: µ 0 µ 1 µ n 1 µ n P n (x) = x n I [ I xi x n 1 I ] µ 1 µ 2 µ n µ n µ n 1 µ n µ 2n 2 µ 2n 1 Donde P 0 (x) = I y denotaremos por P al vector fila de los polinomios con coeficientes matriciales. Es decir; P = [P o (x), P 1 (x), ]

26 La fórmula de Christoffel-Darboux Polinomios Kernel con coeficientes matriciales Lema: Dada una sucesión de polinomios ortogonales como se definió anteriormente, denotamos el polinomio Kernel de grado n como: K n (x, y) = n P i (y)pi t (x) i=0 Entonces K n (x, y) = [I yi y n I ] µ 0 µ 1 µ n µ 1 µ 2 µ n µ n µ n µ 2n I xi. x n I Demostración: Se hace por inducción teniendo en cuenta que: Para n = 0 tenemos K 0 (x, y) = P 0 (y)p0 t (x) = µ 1 0

27 La fórmula de Christoffel-Darboux fórmula de Christoffel-Darboux Lema: Dada una sucesión de polinomios ortogonales n m=0 P i (y)p t i (x) = P n(y)a t n+1p t n(x) P n+1 (y)a n+1 P t n(x) x y

28 Block Jacobi matrices Teniendo en cuenta el vector fila de P entonces (1) podemos expresar en forma matricial como: xp t (x) = JP t (x), donde J es la matriz por bloques triangular infinita B 0 I q A 1 B 1 I q 0... J =. 0 A 2 B 2 I.. q, (2) conocidas como las matrices por bloques de Jacobi.

29 Objetivos 1 Operaciones Pegar y Reversar Definición de Pegar y Reversar en polinomios Definición de pegar y Reversar en Vectores Definición de Pegar y Reversar en Matrices 2 Polinomios Ortogonales matriciales 3 Operaciones Pegar y Reversar y los Polinomios Ortogonales Transformación de Darboux y perturbaciones funcionales

30 Transformación de Darboux Definición Consideremos un funcional lineal L cuasi-definido y una sucesión de polinomios ortogonales mónicos P n con respecto a tal funcional. Dicha sucesión satisface la relación de recurrencia a tres términos. Y sea J la matriz de Jacobi mónica correspondiente. Tomamos la siguiente transformación en J: J = LU, J = LU = UL u l donde L = 0 l 2 1 y U = 0 u u La transformación J dada es la transformación de Darboux sin parámetro.

31 Operaciones Pegar y Reversar y los Polinomios Ortogonales Proposición Sea (J) n la submatriz principal de orden n de la matriz de Jacobi mónica asociada al funcional lineal cuasi-definido L. Si aplicamos la operación reverso sin parámetro a (J) n, es decir, (J) n = (L) n (U) n, ( J) n = (L) n (U) n + l n e n en t = (U) n (L) n + l n e n en t entonces, la matriz ( J) n es la submatriz principal de orden n de la matriz de Jacobi asociada al funcional xl. Donde, e n = [0,, 1]

32 Operaciones Pegar y Reversar y los Polinomios Ortogonales Lema Sea J una matriz Jacobiana mónica asociada con el funcional lineal cuasi-definido L. Entonces, la matriz J αi, es la matriz mónica asociada al funcional L dado por: L [p(x)] = L [p(x α)] donde p(x) denota cualquier polinomio. Proposición Sea J la matriz mónica de Jacobi asociada con L, {P n } la sucesión de polinomios ortogonales mónicos con respecto a L, y α C tal que P n (α) 0, para n 1. Si aplicamos la siguiente transformación: J αi = LU, J := LU + αi entonces, J es la matriz jacobiana mónica asociada al funcional (x α)l. La anterior transformación es la transformación de Darboux sin parámetro y con desplazamiento α.

33 Bibliografía P. Acosta-Humanez, A. Chuquen, A. Rodríguez Pasting and Reversing Operations over some Vector Space. Boletín de Matemáticas, P. Acosta-Humanez, A. Chuquen, A. Rodríguez Pasting and Reversing Operations over some rings. Boletín de Matemáticas, M.I. Bueno, F. Marcellán. Darboux Transformation and perturbation of linear functionals. Linear Algebra and its applications, L Miranian Matrix-valued orthogonal polynimials on the real line: some extensions of the classical theory. Journal of physics A; Mathematical and general, 2005.