Descomposición del valor singular y sus aplicaciones

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1 7 Descomposición del valor singular y sus aplicaciones Marlene J. Soldevilla Olivares William C. Echegaray Castillo Resumen El presente trabajo damos algunas propiedades de los valores singulares de una matriz R(m n) que son las raíces cuadradas de los valores propios de y de esta forma se tiene una relación muy importante entre los valores singulares y los valores propios y así obtener aplicaciones importantes en ingeniería biología cálculo variacional etc.. INRODUCCIÓN Sabemos que toda matriz C(m n) puede ser descompuesta en UDV* donde U y V son matrices unitarias D es una matriz que posee una submatriz diagonal diagonal. Si R(m n) entonces U y V son matrices ortogonales reales. Vamos a suponer en adelante que R(m n). Esta descomposición es llamada DESCOMPOSICIÓN DEL VLOR SINGULR DE.. EXISENCI DE L DESCOMPOSICIÓN DEL VLOR SINGULR eorema.. Sea R(m n) una matriz. Entonces existen matrices ortogonales U R(m m) y V R(n n) tales que: U V D D m n. Facultad de Ciencias-Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias-Universidad Nacional de Ingeniería REVCIUNI 8 () 4

2 74 Marlene J. Soldevilla Olivares William C. Echegaray Castillo Descomposición del Valor Singular y sus plicaciones 75 donde D es una matriz diagonal no singular son matrices nulas. Los elementos de la diagonal de D son no-negativos y estos pueden sin pérdida de generalidad ser ordenados en forma no creciente. El número de elementos en la diagonal de D es igual al r () (rango de ). Consideremos la matriz B B es una matriz simétrica semidefinida positiva. los valores propios de B son no-negativos. Sean λ λ... λ n los valores propios de B y supongamos que: σ σ... σ r > y σ r+ σ r+... σ n Sean v v... v n los vectores propios asociados a λ λ... λ n. Como B es simétrica entonces {v v... v n } es un conjunto ortonormal y satisface: Bv i λ i v i i... n v i v i i... n ( )v i v i i... n ( )v i i... n ( )v i > i... r () y ( )v i i r +... n () además ( )v j i j... r; i j () Definamos: σ v i v i v i v i v i σ σ n vi V {v v... v r } donde v i son vectores asociados a λ i i... r. V {v r+ ;... ; v n } donde v i son vectores asociados a λ i i r +;... n. Entonces V V V V V V ( ) ( v r +... v n ) ( v r +... v n ) (... ) v k k r +... n (4) Definamos u i ---- v i i... r (5) Veamos que { u i } i... r es un conjunto ortonormal u u j (v i ) i (v j ) { u i } i... r es un conjunto ortonormal v i ( ) v j () σ j V V V Definamos U (u u... u r ) y elijamos U (u r+ u r+... u m ) tal que U (U ; U ) sea una matriz ortogonal. si i j por () si i j por () REVCIUNI 8 () 4 REVCIUNI 8 () 4

3 7 Marlene J. Soldevilla Olivares William C. Echegaray Castillo Descomposición del Valor Singular y sus plicaciones 77 Entonces para cualquier k > r tenemos: u k v i u i i... r por (5) por () v i i... r u k u k entonces U V D D m n y v i i r +... n por (4) u k Sea V (V V ) -----v σ -----v σ u.. u. ( U ) V. (v v... v n ) (v. ----v σ r v... v n ). r u m u r +... u m σ σ σ D D σ r m n m n donde D diag (σ... σ r ) R( r r ) Veamos que r ( ) r ( D ) r: Como U V D UU V UD V V UDV V UD ( UU I m m ortogonal ) UDV ( V V I n n ortogonal ) r ( ) r ( UDV ) r ( D ) r Definición... Las componentes de la diagonal de la matriz D son llamadas VLORES SINGULRES DE los números σ... σ r son llamados valores singulares positivos. Definición... Las columnas de U son llamadas VECORES SINGUL- RES POR L IZQUIERD DE y los de V VECORES SINGULRES POR L DERECH DE.. UNICIDD DE L DESCOMPOSICIÓN DEL VLOR SINGULR Existen k min( { m n } ) valores singulares de. Sea r r ( ) valores singulares positivos. Sean σ λ σ λ... σ r λ r > donde λ λ... λ r son los valores propios de. REVCIUNI 8 () 4 REVCIUNI 8 () 4

4 78 Marlene J. Soldevilla Olivares William C. Echegaray Castillo Descomposición del Valor Singular y sus plicaciones 79 Si r < k los (k - r) valores singulares son ceros (teorema.). Luego los valores singulares son únicos. Sin embargo los vectores singulares no son únicos. Ejemplo... Calcular los valores y vectores singulares de:. Cálculo de Valores Singulares: Sea B 4 Entonces el polinomio característico de B es: Luego los ceros del polinomio anterior son: Entonces los valores singulares de son: 4 λ 9 λ ( 4 λ) ( 9 λ) 4 λ -- ( ) y λ -- ( 4 5 7) σ λ -- ( ) y σ λ -- ( 4 5 7). Cálculo de V: La matriz V compuesta por los vectores propios asociados a los valores propios de B en este caso hacemos V V debido a que r r ( ) donde V ( v v ) R( ) y v v R son los vectores propios asociados a λ λ respectivamente. Entonces entonces. Cálculo de U (u u u ) Bv i λ i v i i ; 7 7 ν υ u ν σ ( ) u υ σ ( 4 5 7) Luego elegimos u tal que U (u u u ) sea una matriz ortogonal es decir u 4 4 u u u y u u obteniéndose REVCIUNI 8 () 4 REVCIUNI 8 () 4

5 8 Marlene J. Soldevilla Olivares William C. Echegaray Castillo Descomposición del Valor Singular y sus plicaciones 8 sí tenemos Notas: D U V -- ( ) a. sumiremos en adelante sin pérdida de generalidad que m n; por que si m < n consideraremos que la DESCOMPOSICIÓN DEL VLOR SIN- GULR es para donde UDV entonces la DESCOMPOSICIÓN DEL VLOR SINGULR de V D U. b. sumiremos que los valores singulares son no-crecientes. Luego σ máx σ es el mayor valor singular y σ mín σ r es el menor valor singular diferente de cero y denotemos vs() {σ R/s es un valor singular de }.. RELCIÓN ENRE L DESCOMPOSICIÓN DEL VLOR SINGULR Y L DESCOMPOSICIÓN PROPI El siguiente teorema prueba como la DESCOMPOSICIÓN DEL VLOR SIN- GULR de está relacionada con los valores propios de y. eorema.. Sea R(m n) una matriz UDV la descomposición del valor singular y sea r r(). Entonces σ. V ( )V diag( ) n n σ σ r -- ( 4 5 7) V D DV VD V D D D donde D diag( σ σ... σ r... ) n n luego D V V. Para (U DV )(V D U ) U DD U UD U D D D donde D diag( σ σ... σ r... ) m m luego D U U. Del último eorema se obtiene:. Los vectores singulares derechos v v... v n son los vectores propios de.. Los vectores singulares izquierdos u ; u ;... ; u m son los vectores propios de. σ σ σ r.... son los valores propios de y. σ. U ( )U diag( ) m m σ σ r Ejemplo... Sea Como UDV (V D U )(UDV ) REVCIUNI 8 () 4 REVCIUNI 8 () 4

6 definamos B B - λi λ - λ λ λ Definamos B B - λi λ - λ λ λ λ Los valores propios y vectores propios asociados de B son respectivamente: Los valores propios y vectores propios asociados de B son respectivamente: donde D Se verifica que: V V diag( ) R( ) U U diag( ; ) R( ). Corolario... Sea R(n n) una matriz simétrica con valores propios λ λ... λ n. Entonces los valores singulares de son λ i i... n. Como Del teorema (.) tenemos que: tiene n valores singulares no-negativos que son las raíces de los n valores propios de. Debido a que los valores propios de son... σ λ ; σ λ ;... ; σ n λ n λ υ λ υ λ u λ u --- λ u UDV --- D λ λ λ λ n REVCIUNI 8 () 4 REVCIUNI 8 () 4 8 Marlene J. Soldevilla Olivares William C. Echegaray Castillo Descomposición del Valor Singular y sus plicaciones 8

7 84 Marlene J. Soldevilla Olivares William C. Echegaray Castillo Descomposición del Valor Singular y sus plicaciones 85 Corolario... Una matriz R(n n) es no-singular si y sólo si todos los valores singulares son diferentes de cero. Definamos: P Ũ Ṽ Ũ Ṽ U R( m + n m + n) Sabemos que det( ) det()det( ) det(). Luego es una matriz no-singular det() λ i (valores propios de donde Ũ U Ṽ V det( ) ) i... n (valores singulares de ) i... n eorema.. Sea (m n) (m n) y sea C R(m + n m + n) una matriz definida POR: P CP Ũ Ũ Ũ Ṽ Ṽ m m n n Ṽ Ũ Ũ Ṽ U Sean σ σ... σ n los valores singulares de. Entonces los valores propios de C son: C m m n n P CP D donde D diag(σ σ... σ n ). D λ σ λ σ... λ n σ n λ n+ _ σ λ n+ _ σ... λ n _ σ n λ n+ λ n+ ;... λ m+n. demás: σ σ... σ n _ σ _ σ... _ σ n... son los valores propios de C. Sea UDV donde U (U U ) U R(m n) U R(m m - n) Ejemplo... Sea m - n 4 D D D R(n n) R(m - n n) V R(n n). C R( + + ) REVCIUNI 8 () 4 REVCIUNI 8 () 4

8 8 Marlene J. Soldevilla Olivares William C. Echegaray Castillo Descomposición del Valor Singular y sus plicaciones 87 Usando los resultados del ejemplo (..) se tiene: Entonces tenemos: U (U U ) U R () U R( - ) luego α Ũ U α- + 8 α donde α U Ṽ 7 7 β 7( ) --- V 7 7 donde γ δ 4 γ γ β β β ( 4 5 7) δ 7 δ 8 Ũ Ũ U P R( 5 5) donde Ṽ Ṽ _ donde t P CP diag(t t _ t _ t ) 4. SENSIBILIDD DEL VLOR SINGULR Debido que el cuadrado de los valores singulares de son justamente los valores propios de la matriz simétrica real y estudiar la sensibilidad de los valores singulares es estudiar la sensibilidad de los valores propios entonces veremos esto a través del siguiente: eorema 4. (Peturbación del Valor Singular). Consideremos las siguientes matrices B + E R(m n) (m n). Sean y σ i i ; ;... ; n respectivamente los valores singulares de y B en orden no-decreciente. Entonces - E para todo i; donde. indica la norma. Prueba -- ( ) y t -- ( 4 5 7) Haremos la prueba usando la relación entre los valores singulares de una matriz y los valores propios de la matriz simétrica. à sean σ σ... σ k los valores singulares de diferentes de cero entonces del teorema (.) tenemos que: σ σ... σ k _ σ _ σ... _ σ k son los valores propios de à distintos de cero y los otros m _ k valores propios son ceros. Definamos B B B Ẽ R( m n) E E REVCIUNI 8 () 4 REVCIUNI 8 () 4

9 88 Marlene J. Soldevilla Olivares William C. Echegaray Castillo Descomposición del Valor Singular y sus plicaciones 89 se observa que B - Ã Ẽ. Entonces volviendo a usar el teorema (.) tenemos que los valores propios de B y Ẽ están relacionadas con los valores singulares de B y E respectivamente entonces de acuerdo a un teorema del álgebra lineal tenemos: - Ẽ E Ejemplo Sean entonces los valores propios de son: 4 5 E 7 8 λ. entonces los valores singulares de son: λ λ σ. σ Sea entonces los valores propios de: son: σ B + E entonces los valores singulares de B son: además tenemos que E. luego tenemos: σ - σ.495e - < E B B λ.7 λ λ σ.4958 σ σ REVCIUNI 8 () 4 REVCIUNI 8 () 4

10 9 Marlene J. Soldevilla Olivares William C. Echegaray Castillo Descomposición del Valor Singular y sus plicaciones 9 σ - σ.55948e - < E. σ - σ.775e - < E. eorema 4.. Sea E R(m n) teorema (4.). Entonces i ;... ; n los mismos como en el. F σ + σ + + σ n cuando R(n n) y no-singular. σ n σ min 4. Si R(n n) es una matriz no-singular entonces n i ( ) E F Cond () - σ σ n σ max σ min donde F es llamada la norma de Frobenius. Definición 4... Sea R(n n) una matriz no-singular definimos la Condición de con respecto a la norma y lo denotamos Cond() al número. 5. PLICCIONES Cond() - La descomposición del valor singular puede ser usado para obtener propiedades muy importantes relacionadas a la estructura de las matrices tales como la norma Euclideana bases ortonormales para el espacio nulo problema de almacenamiento en el computador entre otras propiedades como veremos en esta sección. 5. NORMS j i eorema 5.. Sean σ σ... σ n los valores singulares de una matriz R(m n). Entonces. σ σ max n m a ij. Sabemos que por el teorema (.) existen matrices ortogonales U R (m m) V R(n n) tales que: U V una matriz no-singular entonces: UDV D max ({ }) σ σ max. De acuerdo al teorema (.) y la definición de. F tenemos: F UDV F D F σ + + σ n D donde D es. En este caso R(n n) es una matriz no-singular entonces existe - R (n; n) y σ n σ min > luego es el mayor valor singular de - y aplicando el teorema (5.)() tenemos: σ n 4. Sabemos que Cond() - entonces por la parte () y () del presente teorema tenemos: σ n Cond() - i σ min σ σ n D σ max σ min REVCIUNI 8 () 4 REVCIUNI 8 () 4

11 9 Marlene J. Soldevilla Olivares William C. Echegaray Castillo Descomposición del Valor Singular y sus plicaciones 9 Ejemplo 5... Sea 4 5 cuyo valores singulares son: σ σ σ y de acuerdo al teorema (5.) tenemos:. σ F σ + σ + σ σ σ Cond() σ 5. PROBLEM DE LMCENMIENO Cuando se tiene una matriz R(m n) de gran tamaño tenemos el problema de almacenamiento entonces podemos hacer uso de los vectores singulares por la izquierda y por la derecha respectivamente de sabiendo que se tiene r valores singulares positivos y σ r+... σ n y esto nos permite tener (m+n) lugares en la memoria (del computador) en vez de mn; lo cual queda justificado por el siguiente teorema. eorema 5.. Sean R(m n) una matriz y σ σ... σ r > los r valores singulares de. Entonces: Debido al teorema (.) existen matrices ortogonales U R(m m) y V R(n n) tales que: UDV entonces de donde obtenemos: teniendo en cuenta que σ r+... σ n Ejemplo 5... Sea la matriz σ σ r j σ r u j υ j σ σ σ ( u u u m ) σ r r j 4 7 σ r u j v j v v v n 5 cuyos valores singulares son: 8... σ. REVCIUNI 8 () 4 REVCIUNI 8 () 4

12 94 Marlene J. Soldevilla Olivares William C. Echegaray Castillo Descomposición del Valor Singular y sus plicaciones 95 de donde r y de acuerdo al teorema (.) obtenemos: v v u v σ u v σ y de esta manera se tiene: donde y V x ; ahora simplemente resolvemos la última ecuación que es mucho fácil donde D R(m n) es la matriz del teorema (.).. CONCLUSIONES Observamos que la descomposición del valor singular de una matriz R (m; n) abrevia el cálculo debido a la propiedad que tiene una matriz simétrica ( en este caso) con sólo calcular los valores propios de que son no-negativos. Geométricamente la descomposición del valor singular de la matriz R (m n) puede interpretarse como una transformación de la siguiente manera: σ u υ + σ u υ donde x. : R n R m x y (x) Como observamos no hacemos uso de los vectores u y υ. 5. SOLUCIÓN DE SISEMS DE ECUCIONES LINELES Ejemplo... Sea la matriz R( ) en este caso m n entonces los valores singulares de son: σ. σ.5; La descomposición del valor singular de una matriz también puede ser utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma: U..8.8 y V entonces tenemos: x b donde R(m n) b R m son dados y x R n es la incógnita a encontrar; entonces hacemos lo siguiente: descomponemos UDV y lo reemplazamos en el sistema original obteniendo UDV x b DV x U b Dy b U b x UDV x consideremos x entonces x.8 REVCIUNI 8 () 4 REVCIUNI 8 () 4