Eigenvalores y eigenvectores. Método de la potencia

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1 Clase No. 12: MAT 251 Eigenvalores y eigenvectores. Método de la potencia Dr. Alonso Ramírez Manzanares CIMAT A.C. alram@ cimat.mx web: alram/met_num/ Dr. Joaquín Peña Acevedo CIMAT A.C. joaquin@ cimat.mx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

2 Eigenvalores y eigenvectores de una matriz Sea A R n n. Definición El polinomio p(λ) = det(a λi) es llamado el polinomio característico de A. Las raíces p(λ) = 0 del polinomio son los eigenvalores de A. Definición Un vector v = 0 que satisface Av = λv es un eigenvector de A. Al par ordenado (λ, v) se le llama eigenpar. Observaciones: Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

3 Eigenvalores y eigenvectores de una matriz Sea A R n n. Definición El polinomio p(λ) = det(a λi) es llamado el polinomio característico de A. Las raíces p(λ) = 0 del polinomio son los eigenvalores de A. Definición Un vector v = 0 que satisface Av = λv es un eigenvector de A. Al par ordenado (λ, v) se le llama eigenpar. Observaciones: Como el grado del polinomio característico es n, entonces hay n eigenvalores asociados a A. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

4 Eigenvalores y eigenvectores de una matriz Sea A R n n. Definición El polinomio p(λ) = det(a λi) es llamado el polinomio característico de A. Las raíces p(λ) = 0 del polinomio son los eigenvalores de A. Definición Un vector v = 0 que satisface Av = λv es un eigenvector de A. Al par ordenado (λ, v) se le llama eigenpar. Observaciones: Como el grado del polinomio característico es n, entonces hay n eigenvalores asociados a A. Para cada eigenvalor λ, puesto que det(a λi) = 0, la matriz A λi es singular, por lo que podemos hallar un vector v = 0 tal que (A λi)v = 0. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

5 Radio espectral de la matriz El conjunto σ(a) de todos los eigenvalores distintos de A se llama el espectro de A. El radio espectral ρ(a) de una matriz A se define como ρ(a) = max λ σ(a) λ. Proposición Sea A una matriz n n. Entonces ρ(a) A para cualquier norma natural. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

6 Radio espectral de la matriz El conjunto σ(a) de todos los eigenvalores distintos de A se llama el espectro de A. El radio espectral ρ(a) de una matriz A se define como ρ(a) = max λ σ(a) λ. Proposición Sea A una matriz n n. Entonces ρ(a) A para cualquier norma natural. Para todo eigenpar (λ, v) de A, con v = 1, tenemos λ = λ v = Av A En particular se cumple para ρ(a). En los casos en que hay que demostrar que una cantidad es acotada por A, es mejor mostrar que es acotado por el radio espectral. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

7 Observaciones Dado δ R, Cuales son los eigenvalores de A + δi? Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

8 Observaciones Dado δ R, Cuales son los eigenvalores de A + δi? Si (λ, v) es un eigenpar, entonces (A + δi)v = Av + δv = λv + δv = (λ + δ)v Entonces (λ + δ, v) es un eigenpar de A + δi. Cuales son los eigenvalores de A 1? Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

9 Observaciones Dado δ R, Cuales son los eigenvalores de A + δi? Si (λ, v) es un eigenpar, entonces (A + δi)v = Av + δv = λv + δv = (λ + δ)v Entonces (λ + δ, v) es un eigenpar de A + δi. Cuales son los eigenvalores de A 1? Si (μ, u) es un eigenpar de A 1, entonces A 1 u = μu = AA 1 u = μau = Así, (1/μ, u) es un eigenpar de A 1. 1 μ u = Au Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

10 Matrices simétricas Proposición Sea A una matriz simétrica de tamaño n. Entonces, contando multiplicidades, A tiene n eigenvalores reales λ i, i = 1,..., n, y Av i = λ i v i, v i v j = 0 i = j. Si todos los eigenvalores son distintos, los eigenvectores son únicos, excepto por un factor de escala. La proposición anterior garantiza la descomposición A = VDV. donde V es una matriz unitaria y D una matriz diagonal. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

11 Círculos de Gershgorin Teorema de Gershgorin Sea A una matriz cuadrada arbitraria. Los eigenvalores λ de A = [a ij ] están localizados en la unión de n discos definidos por λ a ii r i donde r i = n a ij i = 1,..., n. j=1 j =i Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

12 Círculos de Gershgorin Teorema de Gershgorin Sea A una matriz cuadrada arbitraria. Los eigenvalores λ de A = [a ij ] están localizados en la unión de n discos definidos por λ a ii r i donde r i = n a ij i = 1,..., n. Lo que nos dice el teorema es que todos los eigenvalores de A están contenidos en la unión C r de los n círculos con centro en a ii y radio r i. Como σ(a ) = σ(a), entonces la unión C c de los círculos definidos por λ a jj c j donde c j = j=1 j =i n a ij j = 1,..., n. contienen a los eigenvalores de A. En resumen, los eigenvalores de A están contenidos en C r C c. i=1 i =j Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

13 Ejemplo de los círculos de Gershgorin (I) n A = = A = max a ij = 7. 1 i n j=1 Como λ A, entonces todos los eigenvalores de A están contenidos en un círculo centrado en 0 y radio 7. Con los círculos, se tiene C r C c Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

14 Ejemplo de los círculos de Gershgorin (II) Si calculamos la intersección, tenemos C r C c Para la matriz dada se tiene que σ(a) = {5, (1 ± 5 5)/2} {5, , }. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

15 Método de la potencia (I) Este método puede encontrar el eigenvalor más grande en valor absoluto y su correspondiente eigenvector. El algoritmo es el siguiente: Método de la potencia Dado un vector inicial v 0 y fijando k = 0, repetimos hasta convergencia los siguientes pasos: y k+1 = Av k v k+1 = y k+1 / y k+1 λ k+1 = (v k+1 ) Av k+1 k = k + 1 El criterio de convergencia puede ser que el residual sea menor que una cierta tolerancia, y k λ k v k < ε. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

16 Método de la potencia (II) Proposición Sea u = 0 y definamos r(μ) = Au μu. Entonces el mínimo de r(μ) 2 es Para este valor, r(μ) es ortogonal a u. μ = u Au u u. Definición Sean v y u dos vectores con v u = 0. Entonces la cantidad se llama un cociente de Rayleigh. v Au v u. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

17 Ejemplo A Usando la matriz A del ejemplo anterior e inicializando con v 0 = (1, 1, 1) se obtiene el valor en 103 iteraciones con Av λv λ Av λv Iteracion Iteracion Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

18 Ejemplo B A = λ Av λv Iteracion Iteracion λ = , Av λv en 15 iteraciones Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

19 Ejemplo C A = λ Av λv Iteracion Iteracion λ = 5.0, Av λv en 949 iteraciones Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

20 Comparación de los ejemplos B y C c( rmax 0.25, rmax ) c(dmin, dmax) c( rmax 0.25, rmax ) c(dmin, dmax) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

21 Ejemplo D (I) A = λ Av λv Iteracion Iteracion Av λv 5.56 en 100 iteraciones Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

22 Ejemplo D (II) c( rmax 0.25, rmax ) c(dmin, dmax) Ejemplo Eigenvalores B , , , , C , , , , D , , , , Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

23 Convergencia del método de la potencia (I) Supongamos que (λ i, v i ) es un eigenpar de A R n n con λ 1 > λ 2 λ 3 λ n. Dado x 0 R n, se debe tener que x 0 = n i=1 β iv i. Así A k x (0) = n β i λ k i v i. i=1 1 n λ k A k x (0) λ k i = β 1 v 1 + β i 1 i=2 λ k v i. 1 Como λ 1 > λ i para i = 2,..., n, tenemos que Entonces λ k i λ k 1 0 si k 1 λ k A k x (0) = β 1 v 1 + ε (k) con ε (k) 0 si k 1 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

24 Convergencia del método de la potencia (II) Sea u un vector tal que u v 1 = 0. Entonces u A k+1 x (0) u A k x (0) Puesto que Av 1 = λ 1 v 1, entonces = λ k+1 1 (β 1 u v 1 + u ε (k+1) ) λ k 1 (β λ 1 si k 1u v 1 + u ε (k) ) λ 1 = v 1 Av 1 v 1 v, 1 una elección natural para el vector u es De esta forma tenemos que u = A k x (0) (A k x (0) ) A k+1 x (0) (y(k)) Ay(k) (y(k)) Ay(k) y (k) (A k x (0) ) A k = x (0) (y (k) ) y (k) = y (k) 2 = y (k) A y(k) y (k) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

25 Convergencia del método de la potencia (III) (A k x (0) ) A k+1 x (0) (A k x (0) ) A k = (v (k) ) Av (k) x (0) Las suposiciones importantes para que método converja son Hay un eigenvalor dominante, es decir, λ 1 > λ i para i = 2,..., n. El vector inicial x (0) no puede ser ortogonal a v 1. Hay que notar otro aspecto importante para el método de la potencia, que se ilustra en el siguiente ejemplo. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

26 Ejemplo E (I) A = λ Av λv Iteracion Iteracion Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

27 Ejemplo E (II) Av λv 1.1 en 1000 iteraciones Los eigenvalores del matriz anterior son , i, i, , c( rmax 0.25, rmax ) x x x x x c(dmin, dmax) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

28 Ejemplo F (I) A = λ Av λv Iteracion Iteracion Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

29 Ejemplo F (II) λ = , Av λv en 37 iteraciones Los eigenvalores del matriz anterior son , i, i , c( rmax 0.25, rmax ) x x x x x c(dmin, dmax) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

30 Observaciones (I) Sea A simétrica. Si V = [ v 1 v 2 v n ] es la matriz que tiene por columnas los eigenvectores de A, y D = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ) la matriz diagonal con los eigenvalores de A, entonces AV = VD. Proposición Supongamos que (λ i, v i ) es un eigenpar de A, y y que λ 1 tiene multiplicidad 1. Si x es un vector tal que x v 1 = 1, entonces tiene por eigenvalores 0, λ 2,..., λ n. B = A λ 1 v 1 x Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

31 Método de la potencia inversa (I) En lugar de aplicar las iteraciones a la matriz A, el método de la potencia inversa opera con la matriz (A δi) 1. El método converge al eigenvalor más cercano a δ. Método de la potencia inversa Dado un vector inicial x 0, la escalar δ que define la traslación, y fijando k = 0, repetimos hasta que r < ε para obtener el eigenpar (μ, x k ): (A δi)y = x k x = y/ y w = x k / y ρ = x w μ = δ + ρ r = w ρ x x k+1 = x k = k + 1 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

32 Convergencia del método de la potencia inversa El argumento es el mismo que el usado para el método de la potencia. Note que A δi tiene los mismos eigenvectores que A. Si λ i es un eigenvalor de A, entonces λ i δ es un eigenvalor de A δi. Los eigenvalores de (A δi) 1 son de la forma 1 λ i δ Eligiendo de manera apropiada δ podemos hacer que eigenvalor dominante. 1 λ i δ sea el Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

33 Ejemplo (I) A = C r C c Eigenvalores: , , Tomamos x 0 = (1, 1, 1). Para diferentes valores de σ se obtiene lo siguiente para una tolerancia 10 8 y un máximo de 200 iteraciones: δ Iteraciones Valor final r Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27