Dr. Alonso Ramírez Manzanares CIMAT A.C. cimat.mx web: alram/met_num/

Transcripción

1 Clase No. 4 (Parte 2): MAT 251 Factorización LU Dr. Alonso Ramírez Manzanares CIMAT A.C. alram@ cimat.mx web: alram/met_num/ Dr. Joaquín Peña Acevedo CIMAT A.C. joaquin@ cimat.mx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

2 Matrices triangulares inferiores (I) Consideremos el sistema l l 21 l 22 0 Lx = b, donde L =... l n1 l n2 l nn Proposición. Sea L una matriz triangular inferior. El sistema Lx = b tiene solución si y sólo si los elementos de su diagonal son diferentes de cero. Notemos que l 11 x 1 = b 1 l 21 x 1 + l 22 x 2 = b 2. =.. l n1 x 1 + l n2 x l nn x n = b n Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

3 Matrices triangulares inferiores (II) Podemos calcular x 1 = b 1 l 11 Supongamos que tenemos calculadas x 1, x 2,..., x i 1. Entonces x i = 1 i 1 b i l ij x j l ii j=1 Así, si l ii = 0, vemos que el sistema Lx = b tiene solución única para cada b, por lo que la matriz L es no singular. Al método de solución utilizado se le llama sustitución hacia adelante. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

4 Eliminación Gaussiana vista como producto de matrices (I) Sea A la matriz y definamos Entonces a 11 a 12 a 13 a 14 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34, a 41 a 42 a 43 a L 1 = l l , l l i1 = a i1 a 11, i = 2, 3, 4. a 11 a 12 a 13 a 14 0 a a a L 1 A = a a a a a a Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

5 Eliminación Gaussiana vista como producto de matrices (II) Si definimos L 2 = l , l i2 = a i2 a, i = 3, l a 11 a 12 a 13 a 14 0 a a a entonces L 2 L 1 A = 0 0 a a a 43 a a 11 a 12 a 13 a 14 L 3 = a a a = L 3 L 2 L 1 A = 0 0 a a l a 44 con l 43 = a 43 /a 33. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

6 Eliminación Gaussiana vista como producto de matrices (III) A las matrices L i se les llama matrices triangulares inferiores elementales. El proceso de eliminación Gaussiana es una reducción a una forma triangular por medio de matrices triangulares inferiores elementales. En general, tenemos que L n 1 L 2 L 1 A = U donde U es una matriz triangular superior. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

7 Factorización LU Como los elementos de la diagonal de cada matriz L i es diferente de cero, L i es no singular. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

8 Factorización LU Como los elementos de la diagonal de cada matriz L i es diferente de cero, L i es no singular. Tenemos entonces que A = L 1 1 L 1 n 1 U Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

9 Factorización LU Como los elementos de la diagonal de cada matriz L i es diferente de cero, L i es no singular. Tenemos entonces que A = L 1 1 L 1 n 1 U La inversa cada matriz triangular elemental es una matriz triangular elemental. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

10 Factorización LU Como los elementos de la diagonal de cada matriz L i es diferente de cero, L i es no singular. Tenemos entonces que A = L 1 1 L 1 n 1 U La inversa cada matriz triangular elemental es una matriz triangular elemental. El producto de matrices triangulares da como resultado una matriz triangular inferior. L = L 1 1 L 1 n l l 31 l L =.... l n 1,1 l n 1,2 1 0 l n1 l n2 l n,n 1 1 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

11 Solución del sistema lineal de ecuaciones De esta forma, el método de eliminación Gaussiana calcula la descomposición LU de la matriz. Supongamos que A tiene una factorización LU. Entonces para resolver hacemos lo siguiente. Tenemos que Ax = b LUx = b Definimos y = Ux y entonces resolvemos Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

12 Solución del sistema lineal de ecuaciones De esta forma, el método de eliminación Gaussiana calcula la descomposición LU de la matriz. Supongamos que A tiene una factorización LU. Entonces para resolver hacemos lo siguiente. Tenemos que Ax = b LUx = b Definimos y = Ux y entonces resolvemos Ly = b (usando sustitución hacia adelante) Ux = y (usando sustitución hacia atrás) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

13 Sobre la unicidad de la factorización LU Hay que notar que si D es una matriz diagonal no singular, entonces A = LU = LDD 1 U = (LD)(D 1 U) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

14 Sobre la unicidad de la factorización LU Hay que notar que si D es una matriz diagonal no singular, entonces A = LU = LDD 1 U = (LD)(D 1 U) LD es triangular inferior y D 1 U es triangular superior, por lo que podemos tener varias descomposiciones. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

15 Sobre la unicidad de la factorización LU Hay que notar que si D es una matriz diagonal no singular, entonces A = LU = LDD 1 U = (LD)(D 1 U) LD es triangular inferior y D 1 U es triangular superior, por lo que podemos tener varias descomposiciones. Hacemos el convenio de que por factorización LU nos referimos a la factorización en la que la matriz L es triangular inferior y que los elementos de su diagonal son iguales a 1. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

16 Sobre la unicidad de la factorización LU Hay que notar que si D es una matriz diagonal no singular, entonces A = LU = LDD 1 U = (LD)(D 1 U) LD es triangular inferior y D 1 U es triangular superior, por lo que podemos tener varias descomposiciones. Hacemos el convenio de que por factorización LU nos referimos a la factorización en la que la matriz L es triangular inferior y que los elementos de su diagonal son iguales a 1. Proposición. Si A es no singular y tiene una factorización LU, entonces la factorización es única. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10

17 Existencia de la factorización LU Aun cuando A sea no singular, la matriz podría no tener una factorización LU. Por ejemplo, A = Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10