Sistema de ecuaciones algebraicas. Descomposición LU.

Transcripción

1 Sistema de ecuaciones algebraicas. Descomposición LU. Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: web: Universidad: ITESM CEM

2 Tópicos 1 Introducción 2 Descomposición LU 3 Eliminación de Gauss usando la descomposición LU 4 Programas MATLAB A=LU LU Gauss Simple LU Gauss con Pivoteo Parcial

3 Tópicos 1 Introducción 2 Descomposición LU 3 Eliminación de Gauss usando la descomposición LU 4 Programas MATLAB A=LU LU Gauss Simple LU Gauss con Pivoteo Parcial

4 Sistemas de ecuaciones algebraicos Un sistema de ecuaciones lo podemos representar en forma matricial como: A X = B, Existen problemas para los cuales se necesitan evaluar muchos vectores B para una sola matriz A, La eliminación de Gauss como ha sido presentada, sería muy ineficiente para resolver estos problemas.

5 Técnica de descomposición LU El paso de eliminación se puede formular de tal manera que involucre sólo operaciones con la matriz de los coeficiente A, A = LU, donde L es una matriz triangular inferior (Lower) y U es una matriz triangular superior (Upper), Mostraremos como se puede implementar la eliminación de Gauss como una descomposición LU.

6 Tópicos 1 Introducción 2 Descomposición LU 3 Eliminación de Gauss usando la descomposición LU 4 Programas MATLAB A=LU LU Gauss Simple LU Gauss con Pivoteo Parcial

7 Revisión de la descomposición LU Dado el sistema: se puede reordenar como: A X = B, A X B = 0. Supongamos que podemos expresarlo como un sistema triangular superior: u 11 u 12 u 13 0 u 22 u u 33 x 1 x 2 x 3 = Esto es similar a la manipulación que ocurre con la eliminación de Gauss. d 1 d 2 d 3

8 Revisión de la descomposición LU En notación matricial: U X D = 0, También se podría obtener una matriz triangular inferior con números 1 en la diagonal: L = l l 31 l 32 1 Se demuestra que si pre-multiplicamos la matriz L al miembro izquierdo de la ecuación matricial anterior llegamos a: L (U X D) = A X B L U X L D = A X B. Por tanto, L U = A, L D = B.

9 Revisión de la descomposición LU Una estrategia en dos pasos para resolver el sistema de ecuaciones es: Paso de descomposición La matriz A se descompone en las matrices triangulares inferior L y superior U, Paso de sustitución L y U se usan para determinar una solución X para una B, Primero: Se determina el vector D usando la expresión L D = B (sustitución hacia adelante), i 1 d i = b i l ij d j j=1 para i = 2,, n

10 Revisión de la descomposición LU Paso de sustitución L y U se usan para determinar una solución X para una B, Segundo: El resultado anterior se sustituye en la expresión U X D = 0 (sustitución hacia atrás), x n = d n u nn x i = d i n j=i+1 u ij x j u ii, para i = n 1,, 2, 1

11 Tópicos 1 Introducción 2 Descomposición LU 3 Eliminación de Gauss usando la descomposición LU 4 Programas MATLAB A=LU LU Gauss Simple LU Gauss con Pivoteo Parcial

12 Eliminación de Gauss Dado el sistema: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 1 x 2 x 3 = La eliminación de Gauss conduce a una matriz triangular superior U: a 11 a 12 a 13 U = 0 a (1) 22 a (1) a (2) 33 En la creación de la matriz triangular superior U, también se crea la matriz triangular inferior L. b 1 b 2 b 3

13 Eliminación de Gauss a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 1 x 2 x 3 = Recordemos los pasos de la eliminación de Gauss para el sistema de 3 ecuaciones: 1 Multiplicar la fila 1 por el factor: a 21 a 11 b 1 b 2 b 3 = f 21 y restar el resultado a la fila 2 para eliminar a 21 2 Multiplicar la fila 1 por el factor: a 31 a 11 = f 31 y restar el resultado a la fila 3 para eliminar a 31 3 Multiplicar la fila 2 modificada por el factor: a(1) 32 a (1) 22 restar el resultado a la fila 3 para eliminar a (1) 32 = f 32 y

14 Eliminación de Gauss Finalmente, donde U = A = L U a 11 a 12 a 13 0 a (1) 22 a (1) a (2) 33 L = f f 31 f 32 1

15 Tópicos 1 Introducción 2 Descomposición LU 3 Eliminación de Gauss usando la descomposición LU 4 Programas MATLAB A=LU LU Gauss Simple LU Gauss con Pivoteo Parcial

16 A=LU Programa MATLAB function lugaussv1 (A) [m, n ] = size (A) ; i f m =n, error ( Matriz A debe ser cuadrada ) ; U = A ; for j =1:n L ( j, j ) =1.0; % Eliminacion hacia adelante for k = 1: n 1 for i = k +1:n f a c t o r = U( i, k ) /U( k, k ) ; U( i, k : n ) = U( i, k : n ) f a c t o r U( k, k : n ) ; L ( i, k ) = f a c t o r ; disp ( Matriz U ) ; U disp ( Matriz L ) ; L disp ( Matriz L U ) ; L U

17 LU Gauss Simple Programa MATLAB function lugaussv2 (A, B) [m, n ] = size (A) ; i f m =n, error ( Matriz A debe ser cuadrada ) ; U = A ; for j =1:n L ( j, j ) =1.0; % Paso 1: Descomposicion LU >Eliminacion hacia adelante for k = 1: n 1 for i = k +1:n f a c t o r = U( i, k ) /U( k, k ) ; U( i, k : n ) = U( i, k : n ) f a c t o r U( k, k : n ) ; L ( i, k ) = f a c t o r ; U L % Paso 2: Determinacion del vector D >S u s t i t u c i o n hacia adelante D = zeros ( n, 1 ) ; D( 1 ) =B( 1 ) ; Salida1 =[ D1, =, num2str (D( 1 ) ) ] ; disp ( Salida1 ) for i = 2: n D( i ) = B( i ) L ( i, 1 : i 1) D( 1 : i 1) ; Salida2 =[ D, num2str ( i ), =, num2str (D( i ) ) ] ; disp ( Salida2 ) disp ( ) ; % Paso 3: Solucion f i n a l >S u s t i t u c i o n hacia a t r a s x = zeros ( n, 1 ) ;

18 LU Gauss Simple Programa MATLAB % Paso 3: Solucion f i n a l >S u s t i t u c i o n hacia a t r a s x = zeros ( n, 1 ) ; x ( n ) = D( n ) /U( n, n ) ; Salida3 =[ x, num2str ( n ), =, num2str ( x ( n ) ) ] ; disp ( Salida3 ) for i = n 1: 1:1 x ( i ) = (D( i ) U( i, i +1:n ) x ( i +1:n ) ) /U( i, i ) ; Salida4 =[ x, num2str ( i ), =, num2str ( x ( i ) ) ] ; disp ( Salida4 )

19 LU Gauss Simple Problema 3 x x x 3 = x x x 3 = x x x 3 = 71.4

20 LU Gauss Simple Problema 2 x x 3 = 8 4 x x x 3 = 3 2 x 1 + x x 3 = 5

21 LU Gauss con Pivoteo Parcial Programa MATLAB function lugaussv3 (A, B) [m, n ] = size (A) ; i f m =n, error ( Matriz A debe ser cuadrada ) ; U = A ; L = zeros ( n, n ) ; % Paso 1: Descomposicion LU >Eliminacion hacia adelante for k = 1: n 1 % Pivoteo p a r c i a l [ mayor, i ]=max( abs (U( k : n, k ) ) ) ; i p = i +k 1; i f i p = k U ( [ k, i p ], : ) =U ( [ ip, k ], : ) ; B ( [ k, i p ] ) =B ( [ ip, k ] ) ; L ( [ k, i p ], : ) =L ( [ ip, k ], : ) ; for i = k +1:n f a c t o r = U( i, k ) /U( k, k ) ; U( i, k : n ) = U( i, k : n ) f a c t o r U( k, k : n ) ; L ( i, k ) = f a c t o r ; for j =1:n L ( j, j ) =1.0; L U % Paso 2: Determinacion del vector D >S u s t i t u c i o n hacia adelante D = zeros ( n, 1 ) ; D( 1 ) =B( 1 ) ; Salida1 =[ D1, =, num2str (D( 1 ) ) ] ;

22 LU Gauss con Pivoteo Parcial Programa MATLAB % Paso 2: Determinacion del vector D >S u s t i t u c i o n hacia adelante D = zeros ( n, 1 ) ; D( 1 ) =B( 1 ) ; Salida1 =[ D1, =, num2str (D( 1 ) ) ] ; disp ( Salida1 ) for i = 2: n D( i ) = B( i ) L ( i, 1 : i 1) D( 1 : i 1) ; Salida2 =[ D, num2str ( i ), =, num2str (D( i ) ) ] ; disp ( Salida2 ) disp ( ) ; % Paso 3: Solucion f i n a l >S u s t i t u c i ó n hacia a t r a s x = zeros ( n, 1 ) ; x ( n ) = D( n ) /U( n, n ) ; Salida3 =[ x, num2str ( n ), =, num2str ( x ( n ) ) ] ; disp ( Salida3 ) for i = n 1: 1:1 x ( i ) = (D( i ) U( i, i +1:n ) x ( i +1:n ) ) /U( i, i ) ; Salida4 =[ x, num2str ( i ), =, num2str ( x ( i ) ) ] ; disp ( Salida4 )