Sistema de ecuaciones algebraicas. Eliminación de Gauss.

Transcripción

1 Sistema de ecuaciones algebraicas. Eliminación de Gauss. Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: web: Universidad: ITESM CEM

2 Tópicos 1 Introducción Ecuaciones algebraicas lineales Solución de sistemas de ecuaciones pequeños Eliminación de Gauss 2 Eliminación de Gauss 3 Programas MATLAB Gauss Simple Gauss con Pivoteo Parcial

3 Tópicos 1 Introducción Ecuaciones algebraicas lineales Solución de sistemas de ecuaciones pequeños Eliminación de Gauss 2 Eliminación de Gauss 3 Programas MATLAB Gauss Simple Gauss con Pivoteo Parcial

4 Ecuaciones algebraicas lineales Forma General a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n donde a y b son los coeficientes constantes, n es el número de ecuaciones, x son las incógnitas.

5 Solución de sistemas de ecuaciones pequeños Solución de sistemas de ecuaciones pequeños (n 3) Método gráfico, Regla de Cramer, Eliminación de incógnitas.

6 Eliminación de Gauss Eliminación de Gauss Es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas, La metodología establece una combinación entre ecuaciones para eliminar las incógnitas, Aunque es unos de los métodos más antiguos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas, continúa siendo uno de los algoritmos de mayor uso en muchos paquetes computacionales.

7 Tópicos 1 Introducción Ecuaciones algebraicas lineales Solución de sistemas de ecuaciones pequeños Eliminación de Gauss 2 Eliminación de Gauss 3 Programas MATLAB Gauss Simple Gauss con Pivoteo Parcial

8 Sistema general de n ecuaciones a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n

9 Eliminación hacia adelante de incógnitas Paso 1: Eliminar la primera incognita x 1 desde la segunda hasta la n-ésima ecuación. Para esto se multiplica la primera ecuación por a 21 a 11, a 21 x 1 + a 21 a 11 a 12 x a 21 a 11 a 1n x n = a 21 a 11 b 1 Ahora, esta ecuación se resta de la segunda ecuación ( a 22 a ) ( 21 a 12 x a 2n a ) 21 a 1n x n = b 2 a 21 b 1 a 11 a 11 a 11 Reescribiendo esta ecuación: a (1) 22 x a (1) 2n x n = b (1) 2

10 Eliminación hacia adelante de incógnitas Análogamente, para eliminar x 1 de la tercera ecuación se multiplica la primera ecuación por a 31 a 11 y el resultado se resta de la tercera ecuación. Este proceso se repite con las ecuaciones restantes y da como resultado el siguiente sistema: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x a (1) 2n x n = b (1) 2 a (1) 32 x 2 + a (1) 33 x a (1) 3n x n = b (1) 3... a (1) n2 x 2 + a (1) n3 x a (1) nn x n = b (1) n En el paso anterior: La primera ecuación se llama ecuación pivote, a 11 se denomina coeficiente pivote, a 11 0.

11 Eliminación hacia adelante de incógnitas Paso 2: Tomando como pivote la ecuación 2 del sistema transformado y a (1) 22 como coeficiente pivote, eliminamos x 2 de la tercera hasta la n-ésima ecuación y da como resultado el siguiente sistema: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x a (1) 2n x n = b (1) 2 a (2) 33 x a (2) 3n x n = b (2) 3... a (2) n3 x a (2) nn x n = b (2) n

12 Eliminación hacia adelante de incógnitas Paso n 1: Tomando como pivote la ecuación n 1 del sistema trasformado y a (n 2) n 1,n 1 como coeficiente pivote, eliminamos x n 1 de la n-ésima ecuación, llegamos a un sistema triangular superior: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x a (1) 2n x n = b (1) 2 a (2) 33 x a (2) 3n x n = b (2) 3... a (n 1) nn x n = b (n 1) n

13 Eliminación hacia adelante de incógnitas a (k) ij b (k) i = a (k 1) ij = b (k 1) i a(k 1) ik a (k 1) kk a(k 1) ik a (k 1) kk a (k 1) kj, i, j = k + 1,, n b (k 1) k, i = k + 1,, n

14 Sustitución hacia atrás De la última ecuación obtenemos la solución x n : x n = b(n 1) n a (n 1) nn El resto de las soluciones x n 1, x n 2,, x 2, x 1 se pueden obtener sustituyendo hacia atrás, esto es: x i = b (i 1) i n j=i+1 a (i 1) ii a (i 1) ij x j, para i = n 1, n 2,, 2, 1

15 Problema Emplear la eliminación de Gauss para resolver el sistema: 3 x x x 3 = x x x 3 = x x x 3 = 71.4

16 Tópicos 1 Introducción Ecuaciones algebraicas lineales Solución de sistemas de ecuaciones pequeños Eliminación de Gauss 2 Eliminación de Gauss 3 Programas MATLAB Gauss Simple Gauss con Pivoteo Parcial

17 Gauss Simple Programa MATLAB function x=gaussv2 (A, B) % gaussv2 : Nombre de la funcion % Nota : Aqui se usa la matriz ampliada % A : Matriz del sistema ( Matrix cuadrada ) % B : Vector del sistema ( Vector columna ) [m, n ] = size (A) ; i f m =n, error ( Matriz A debe ser cuadrada ) ; end nb = n+1; C = [ A B ] ; for k = 1: n 1 % Eliminacion hacia adelante for i = k +1:n f a c t o r = C( i, k ) /C( k, k ) ; C( i, k : nb ) = C( i, k : nb ) f a c t o r C( k, k : nb ) ; end disp (C) end x = zeros ( n, 1 ) ; % S u s t i t u c i o n hacia a t r a s x ( n ) = C( n, nb ) /C( n, n ) ; Salida1 =[ x, num2str ( n ), =, num2str ( x ( n ) ) ] ; disp ( Salida1 ) for i = n 1: 1:1 x ( i ) = (C( i, nb ) C( i, i +1:n ) x ( i +1:n ) ) /C( i, i ) ; Salida2 =[ x, num2str ( i ), =, num2str ( x ( i ) ) ] ; disp ( Salida2 ) end

18 Gauss Simple Problema Emplear la eliminación de Gauss para resolver el sistema: 3 x x x 3 = x x x 3 = x x x 3 = 71.4

19 Gauss Simple Programa MATLAB >> A=[ ; ; ],B=[7.85; 19.3;71.4] A = B = >> gaussv2 (A,B) x3 = 7 x2 = 2.5 x1 = 3

20 Gauss Simple Problema 2 x x 3 = 8 4 x x x 3 = 3 2 x 1 + x x 3 = 5

21 Gauss con Pivoteo Parcial Programa MATLAB function gaussv3 (A,B) % gaussv3 : Nombre de la funcion % Nota : Aqui se usa la matriz ampliada y con pivoteo parcial % A : Matriz del sistema ( Matrix cuadrada ) % B : Vector del sistema ( Vector columna ) [m, n ]= size (A) ; i f m =n, error ( Matriz A debe ser cuadrada ) ; end nb=n+1; C=[A B ] ; for k = 1: n 1 % Eliminacion hacia adelante [ mayor, i ]=max( abs (C( k : n, k ) ) ) % Pivoteo p a r c i a l i p = i +k 1; i f i p = k C ( [ k, i p ], : ) =C ( [ ip, k ], : ) end for i = k +1:n f a c t o r =C( i, k ) /C( k, k ) ; C( i, k : nb ) =C( i, k : nb ) f a c t o r C( k, k : nb ) ; end disp (C) end x=zeros ( n, 1 ) ; % S u s t i t u c i o n hacia a t r a s x ( n ) =C( n, nb ) /C( n, n ) ; Salida1 =[ x, num2str ( n ), =, num2str ( x ( n ) ) ] ; disp ( Salida1 ) for i = n 1: 1:1 x ( i ) =(C( i, nb ) C( i, i +1:n ) x ( i +1:n ) ) /C( i, i ) ; Salida2 =[ x, num2str ( i ), =, num2str ( x ( i ) ) ] ; disp ( Salida2 ) end