TEMA VI 1. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y GAUSS JORDAN PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

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1 TEMA VI 1. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y GAUSS JORDAN PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) en otro S.E.L. equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamente las mismas soluciones. Las operaciones que se llevan a cabo para obtener el sistema equivalente se llaman operaciones elementales. Hay tres tipos de operaciones elementales: I. Intercambio de dos ecuaciones del S.E.L. II. Reemplazar una ecuación del S.E.L. por un múltiplo escalar de esta. (Se multiplica a ambos lados de una ecuación por un número diferente de cero). III. Reemplazo de una ecuación del S.E.L. por la suma de esta y un múltiplo escalar de otra ecuación del S.E.L. OPERACIÓN SÍMBOLO SIGNIFICADO DEL SÍMBOLO TIPO I E ij Intercambio de la ecuación i y j TIPO II KE i,k Remplazo de la ecuación i por el resultado de multiplicar ambos lados de la ecuación i por K. TIPO III KE i + E j Remplazo de la ecuación j por la suma de n veces la ecuación i y la ecuación j. En el proceso de pasar de un sistema equivalente a otro, puede ahorrarse trabajo escribiendo solamente los coeficientes de las variables y los términos constantes, que son los únicos que cambian en el procedimiento. En el ejemplo anterior al sistema de ecuaciones original lo podemos representar por medio del siguiente arreglo: se llama matriz asociada al sistema y cada número de la matriz se llama componente, también se llama matriz aumentada del sistema. La matriz se llama matriz de coeficientes del sistema y la matriz 28

2 se llama la matriz (vector) de términos constantes del S.E.L. En lugar de efectuar las operaciones en las ecuaciones del sistema, podemos obtener el mismo resultado si los realizamos en las filas (o renglones) de la matriz aumentada del S.E.L., y en lugar de hablar de ecuaciones se habla de filas. Como E ij, KE i, K0, KE i + E j denotan operaciones entre ecuaciones del sistema, denotaremos F ij, KF i, (K0), KF i + F j las operaciones respectivas en las filas de la matriz aumentada del sistema. Por ejemplo, si realizamos la operación - 2 F 1 + F 2 en la matriz obtendremos: La matriz aumentada final corresponde al sistema: y si consideramos la solución como una terna, la podemos escribir como (2, 0, -1). Este método de comenzar con el S.E.L. para reducirlo en un S.E.L. equivalente se llama el proceso de reducción Gauss - Jordan o Eliminación de Gauss - Jordan. La matriz aumentada final que aparece en este proceso se dice que esta en forma escalonada reducida. El método de Gauss - Jordan es un refinamiento del método de eliminación de Gauss. En el método de eliminación de Gauss procedemos como en la forma anterior pero suspendemos el proceso cuando llegamos a una matriz ampliada como la marcada con asterisco, que se llama matriz escalonada. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales no es necesario aplicar eliminación de Gauss - Jordan, es suficiente con el método de eliminación de Gauss. El sistema correspondiente a la matriz denotada con asterisco 29

3 se puede resolver por sustitución. De la última ecuación se tiene que x 3 = - 1. Sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando, tenemos que x 2 = = 0. Conocidos los valores de x 3 y x 2 los sustituimos en la primera ecuación x 1 + 2(0) + (- 1) = 1 y obtenemos x 1 = 2. Se puede demostrar que el número de operaciones aritméticas que hay que realizar es menor en el método de Gauss que en el método de Gauss - Jordan. Para resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas se requiere Método: Numero aprox. de operaciones Método de Eliminación de Gauss Método de Eliminación de Gauss - Jordan OBSERVACIÓN: En el proceso de eliminación de Gauss en una misma etapa se pueden hacer varias operaciones elementales, teniendo presente que una fila afectada por una operación elemental no puede ser utilizada en mas operaciones elementales en esta misma etapa. El primer elemento no nulo de una fila no nula en la matriz escalonada se llama pivote. Las variables que corresponden a las columnas donde hay pivotes se llaman variables básicas o variables principales. Las variables que no son básicas se llaman variables libres o parámetros. Para resolver el sistema equivalente se despejan las variables básicas en términos de las no básicas y a las no básicas se les asignan parámetros reales. En el ejemplo anterior tenemos: Variables básicas: x 1, x 3, x 6 Variables no básicas: x 2, x 4. x 5 Despejando las variables básicas en términos de las no básicas el sistema queda así: 30

4 Finalmente hacemos x 2 =t, x 4 =r, x 5 =p, donde t, r y p son números reales arbitrarios (parámetros). La solución en forma de n-tuplas es: 2. Pivoteo Sin embargo, los algoritmos de Gauss y gauss - Jordan que acabamos de describir pueden dar lugar a resultados erróneos fácilmente. Por ejemplo, analicemos el siguiente sistema de ecuaciones, en el que es un número muy pequeño pero distinto de cero: Al aplicar el algoritmo gaussiano se obtiene el siguiente sistema triangular superior: y la solución es: 1 1 En el computador, si es suficientemente pequeño, los términos 2 ε y 1 ε se computarán como un mismo número, por lo que x 2 1 y x 0 1. Sin embargo, la solución correcta es: 31

5 Tenemos entonces que la solución calculada es exacta para x 2 pero extremadamente inexacta para x 1. El problema anterior no radica en la pequeñez del término a ii, sino en su pequeñez relativa respecto de los otros elementos de su fila. La conclusión que podemos extraer es que un buen algoritmo debe incluir el intercambio de ecuaciones cuando las circunstancias así lo exijan. Un algoritmo que cumple este requisito es el denominado eliminación gaussiana con pivoteo de filas escaladas. 32