Sistema de ecuaciones lineales. Métodos de solución para matrices cuadradas
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- María Dolores Sánchez Paz
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1 Sistema de ecuaciones lineales. Métodos de solución para matrices cuadradas MAT-251 Dr. CIMAT, A.C. web: Dr. Joaquín Peña Acevedo CIMAT A.C.
2 Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en muchas situaciones... en matemáticas 2
3 Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en muchas situaciones... en matemáticas 2
4 Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en muchas situaciones... en matemáticas 2
5 Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en muchas situaciones... en matemáticas 2
6 Es este caso el sistema puede ser En general modelan interacción de varias propiedades
7 También aparecen en la vida cotidiana Uno:
8 También aparecen en la vida cotidiana Uno:
9 También aparecen en la vida cotidiana Uno: 0.05*CA *CB= 10g 0.03*CA *CB= 3g
10 También aparecen en la vida cotidiana Uno: 0.05*CA *CB= 10g 0.03*CA *CB= 3g Solución CA=80, CB=60
11 Ejemplos de SEL Find the equation of the parabola that passes through the points ( 1, 9), (1, 5), and (2, 12). a( 1) 2 + b( 1) + c = 9 a(1) 2 + b(1) + c = 5 a(2) 2 + b(2) + c = 12 Simplifying the three equations, I get: a b + c = 9 a + b + c = 5 4a + 2b + c = 12
12 Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en muchas situaciones.
13 Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en muchas situaciones. A passenger jet took three hours to fly 1800 miles in the direction of the jetstream. The return trip against the jetstream took four hours.
14 Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en muchas situaciones. A passenger jet took three hours to fly 1800 miles in the direction of the jetstream. The return trip against the jetstream took four hours. What was the jet's speed in still air and the jetstream's speed?
15 Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en muchas situaciones. A passenger jet took three hours to fly 1800 miles in the direction of the jetstream. The return trip against the jetstream took four hours. What was the jet's speed in still air and the jetstream's speed? We'll use "p" for "the plane's speedometer reading (apparent speed)" and "w" for "the windspeed".
16 Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en muchas situaciones. A passenger jet took three hours to fly 1800 miles in the direction of the jetstream. The return trip against the jetstream took four hours. What was the jet's speed in still air and the jetstream's speed? We'll use "p" for "the plane's speedometer reading (apparent speed)" and "w" for "the windspeed". with the jetstream: (p + w)(3) = 1800
17 Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en muchas situaciones. A passenger jet took three hours to fly 1800 miles in the direction of the jetstream. The return trip against the jetstream took four hours. What was the jet's speed in still air and the jetstream's speed? We'll use "p" for "the plane's speedometer reading (apparent speed)" and "w" for "the windspeed". with the jetstream: (p + w)(3) = 1800 against the jetstream: (p w)(4) = 1800
18 Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en muchas situaciones. A passenger jet took three hours to fly 1800 miles in the direction of the jetstream. The return trip against the jetstream took four hours. What was the jet's speed in still air and the jetstream's speed? We'll use "p" for "the plane's speedometer reading (apparent speed)" and "w" for "the windspeed". with the jetstream: (p + w)(3) = 1800 against the jetstream: (p w)(4) = 1800 p + w = 600
19 Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en muchas situaciones. A passenger jet took three hours to fly 1800 miles in the direction of the jetstream. The return trip against the jetstream took four hours. What was the jet's speed in still air and the jetstream's speed? We'll use "p" for "the plane's speedometer reading (apparent speed)" and "w" for "the windspeed". with the jetstream: (p + w)(3) = 1800 against the jetstream: (p w)(4) = 1800 p + w = 600 p w = 450
20 Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en muchas situaciones. A passenger jet took three hours to fly 1800 miles in the direction of the jetstream. The return trip against the jetstream took four hours. What was the jet's speed in still air and the jetstream's speed? We'll use "p" for "the plane's speedometer reading (apparent speed)" and "w" for "the windspeed". with the jetstream: (p + w)(3) = 1800 against the jetstream: (p w)(4) = 1800 p + w = 600 p w = 450 Then, by adding down, 2p = 1050 so p = 525, and w must then be 75.
21 Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en muchas situaciones. A passenger jet took three hours to fly 1800 miles in the direction of the jetstream. The return trip against the jetstream took four hours. What was the jet's speed in still air and the jetstream's speed? We'll use "p" for "the plane's speedometer reading (apparent speed)" and "w" for "the windspeed". with the jetstream: (p + w)(3) = 1800 against the jetstream: (p w)(4) = 1800 p + w = 600 p w = 450 Then, by adding down, 2p = 1050 so p = 525, and w must then be 75. The jet's speed was 525 mph and the jetstream windspeed was 75 mph.
22 Los sistemas de ecuaciones lineales en observaciones indirectas.
23 También aparecen en la vida cotidiana Grandes sistemas de ecuaciones lineales: Cálculo de esfuerzos Analisis de la litósfera Movimiento de objetos
24 Movimiento de objetos x 2 = 500,000 incógnitas
25 Forma de los sistemas de ecuaciones lineales La ecuación Ei puede multiplicarse por una constante λ distinta de cero y la ecuación resultante se emplea en vez de Ei. (λei ) -> (Ei) También podemos operar (λei + Ej ) -> (Ei) El orden de 2 ecuaciones pueden intercambiarse (Ei) <-> (Ej) Queremos resolver el sistema para xi, i=1,.., n
26 Veamos un ejemplo de solución
27 Veamos un ejemplo de solución
28 Veamos un ejemplo de solución
29 Veamos un ejemplo de solución
30 Veamos un ejemplo de solución
31 Veamos un ejemplo de solución
32 Veamos un ejemplo de solución
33 Veamos un ejemplo de solución
34 Veamos un ejemplo de solución
35 Veamos un ejemplo de solución Este es un sistema triangular o reducido
36 Veamos como se comporta en el ejemplo
37 Veamos un ejemplo de solución
38 Veamos un ejemplo de solución
39 Veamos un ejemplo de solución
40 Veamos un ejemplo de solución
41 Veamos un ejemplo de solución
42 Matrices en los sistemas de ecuaciones Para automatizar el proceso anterior usamos la notación de matrices A de dimensiones n x m la cual tiene entradas aij. Una matriz de 1 x n es un vector renglón n-dimensional, y una de n x 1 es un vector columna n-dimensional.
43 Matrices en los sistemas de ecuaciones Para automatizar el proceso anterior usamos la notación de matrices A de dimensiones n x m la cual tiene entradas aij. Una matriz de 1 x n es un vector renglón n-dimensional, y una de n x 1 es un vector columna n-dimensional.
44 Matrices en los sistemas de ecuaciones Para automatizar el proceso anterior usamos la notación de matrices A de dimensiones n x m la cual tiene entradas aij. Una matriz de 1 x n es un vector renglón n-dimensional, y una de n x 1 es un vector columna n-dimensional.
45 Matrices en los sistemas de ecuaciones La representación matricial del SLE con n ecuaciones y n incógnitas es y formando la matriz aumentada de n x (n+1): x = x 1 x 2... x n Ax = b
46 Matrices en los sistemas de ecuaciones La representación matricial del SLE con n ecuaciones y n incógnitas es y formando la matriz aumentada de n x (n+1): x = x 1 x 2... x n Ax = b
47 Matrices en los sistemas de ecuaciones La representación matricial del SLE con n ecuaciones y n incógnitas es y formando la matriz aumentada de n x (n+1): x = x 1 x 2... x n Ax = b
48 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás supóngase que a11 0, queremos todas las entradas abajo de a11 igual a cero, calculamos (Ek - mk1 E1 ) -> (Ek), para k= 2,...,n, con mk1 = ak1/a11. a11 es el elemento pivote.
49 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás supóngase que a11 0, queremos todas las entradas abajo de a11 igual a cero, calculamos (Ek - mk1 E1 ) -> (Ek), para k= 2,...,n, con mk1 = ak1/a11. (Ya que queremos que ak1 - a11 * mk1 = 0) a11 es el elemento pivote.
50 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás supóngase que a11 0, queremos todas las entradas abajo de a11 igual a cero, calculamos (Ek - mk1 E1 ) -> (Ek), para k= 2,...,n, con mk1 = ak1/a11. (Ya que queremos que ak1 - a11 * mk1 = 0) a11 es el elemento pivote.
51 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás Supóngase que a22 0, para k= 3,...,n, con mk2 = ak2/a22. Ahora a22 es el elemento pivote. siguiendo el proceso para k=3,...,n con ninguna ak-1,k-1 = 0 obtenemos:
52 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás Supóngase que a22 0, para k= 3,...,n, con mk2 = ak2/a22. Ahora a22 es el elemento pivote. siguiendo el proceso para k=3,...,n con ninguna ak-1,k-1 = 0 obtenemos:
53 Sustitución hacia atrás Resolviendo la n-ésima ecuación: Resolviendo la (n-1)-ésima ecuación y en general para i= n-1, n-2,..., 2, 1
54 Sustitución hacia atrás Resolviendo la n-ésima ecuación: Resolviendo la (n-1)-ésima ecuación y en general para i= n-1, n-2,..., 2, 1
55 Sustitución hacia atrás Resolviendo la n-ésima ecuación: Resolviendo la (n-1)-ésima ecuación y en general para i= n-1, n-2,..., 2, 1
56 Sustitución hacia atrás Resolviendo la n-ésima ecuación: Resolviendo la (n-1)-ésima ecuación y en general para i= n-1, n-2,..., 2, 1
57 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás, modificaciones El método anterior falla si alguna aii = 0 para i<n, o bien si ann es cero no se puede hacer sustitución hacia atrás. Esto no significa necesariamente que el sistema no tenga solución: eliminando para el pivote a11?
58 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás, modificaciones El método anterior falla si alguna aii = 0 para i<n, o bien si ann es cero no se puede hacer sustitución hacia atrás. Esto no significa necesariamente que el sistema no tenga solución: eliminando para el pivote a11?
59 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás, modificaciones El método anterior falla si alguna aii = 0 para i<n, o bien si ann es cero no se puede hacer sustitución hacia atrás. Esto no significa necesariamente que el sistema no tenga solución: eliminando para el pivote a11?
60 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás, modificaciones El método anterior falla si alguna aii = 0 para i<n, o bien si ann es cero no se puede hacer sustitución hacia atrás. Esto no significa necesariamente que el sistema no tenga solución: eliminando para el pivote a11?
61 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás, modificaciones El método anterior falla si alguna aii = 0 para i<n, o bien si ann es cero no se puede hacer sustitución hacia atrás. Esto no significa necesariamente que el sistema no tenga solución: eliminando para el pivote a11? Problema
62 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás, modificaciones El método anterior falla si alguna aii = 0 para i<n, o bien si ann es cero no se puede hacer sustitución hacia atrás. Esto no significa necesariamente que el sistema no tenga solución: eliminando para el pivote a11? Problema
63 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás, modificaciones El método anterior falla si alguna aii = 0 para i<n, o bien si ann es cero no se puede hacer sustitución hacia atrás. Esto no significa necesariamente que el sistema no tenga solución: eliminando para el pivote a11? Problema con
64 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás, modificaciones El método anterior falla si alguna aii = 0 para i<n, o bien si ann es cero no se puede hacer sustitución hacia atrás. Esto no significa necesariamente que el sistema no tenga solución: eliminando para el pivote a11? Problema con
65 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás, modificaciones Entonces tenemos Finalmente con
66 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás, modificaciones Entonces tenemos Finalmente con
67 Método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás, modificaciones Entonces tenemos Finalmente con
68 Algoritmo de Eliminación Gaussiana con sustitución hacia atras
69 Algoritmo de Eliminación Gaussiana con sustitución hacia atras
70 Error debido a las operaciones, también saber el tiempo que toma
71 Error debido a las operaciones, también saber el tiempo que toma que orden de complejidad tiene este algoritmo?
72 Error debido a las operaciones, también saber el tiempo que toma que orden de complejidad tiene este algoritmo? Hay que contar el # de multiplicaciones y divisiones, para un sistema de ecuaciones de n x n multiplicaciones/divisiones O(n 3 ) sumas/restas O(n 3 )
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