Algebra Lineal Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)

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1 Algebra Lineal Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 214) 1. Respecto a las matrices: a) b) c) 1 d) e) 3 3 indique cómo se clasifican respecto a los conceptos: 1) Diferente de la forma escalonada 2) Escalonada reducida 3) Escalonada pero no reducida Recordemos las definiciones: Una matriz se dice matriz escalonada si cumple: Condición 1 En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la parte inferior de la matriz. Condición 2 El elemento delantero de cada renglón no cero (después del primer renglón) se encuentra a la derecha del elemento delantero del renglón anterior. Y se llama matriz escalonada reducida si es escalonada y además cumple: Condición 3 El elemento delantero de cualquier renglón no cero es 1. Condición 4 Todos los elementos arriba y abajo de un 1 delantero son cero. a) Al ubicar el pivote de cada renglón tenemos: La condición 1 se cumple por vacuidad: es verdadera porque no existe un renglón de ceros que quede arriba de uno que no sea de ceros. La condición 2 se cumple por la posición que tienen los pivotes. Por tanto, la matriz es escalonada. Como los pivotes son 1, la condición 3 se cumple; sin embargo arriba del pivote de la posición (2,2) hay un -3 y por tanto, la matriz no cumple la condición 4. Así la matriz es escalonada pero no reducida. b) Al ubicar el pivote de cada renglón tenemos: La condición 1 se cumple por vacuidad: es verdadera porque no existe un renglón de ceros que quede arriba de uno que no sea de ceros. La condición 2 no se cumple porque el pivote del renglón 2 no está a la derecha del pivote del renglón 1. La matriz no está escalonada. c) Al ubicar el pivote de cada renglón tenemos: La condición 1 se cumple. La condición 2 sí se cumple porque al haber sólo un pivote no es posible encontrar otro diferente que esté desacomodado respecto al primero. La matriz es o está escalonada. Como el pivote no es 1, matriz no cumple la condición 3 y por lo tanto, es escalonada pero no reducida. d) Al ubicar el pivote de cada renglón tenemos: 1 La condición 1 se cumple. La condición 2 sí se cumple porque al haber sólo un pivote no es posible encontrar otro diferente que esté desacomodado respecto al primero. La matriz es o está escalonada. La condición 3 se cumple, y como abajo y arriba en la columna del pivote hay sólo ceros, la matriz es escalonada reducida. e) Al ubicar el pivote de cada renglón tenemos: 3 3 La condición 1 no se cumple por tanto, forma de la matriz es diferente de la forma escalón 2. De acuerdo al algoritmo de eliminación gaussiana y respecto a la matriz: A R R 2 B R 1 R 1 2 R 2

2 Ma119, Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL 2 C R 3 R R 2 D R 2 R 3 Recuerde que eliminación gaussiana primero escalona y después reduce; y en proceso de escalonamiento, no hace que los pivotes se hagan uno. La matriz del problema no está escalonada: Para escalonar, utilizará el pivote del renglón 2 para hacer un cero el elemento (3, 2). La operación que realiza esto será: R 3 R R 2 La opción correcta es C. Observe que la opción A quiere hacer 1 el pivote del renglón 2. Esto lo hace Gauss-Jordan, pero no eliminación gaussiana. La opción B quiere hacer arriba del pivote del renglón 2; hacer ceros arriba del pivote lo hace eliminación gaussiana hasta que la matriz está escalonada. En la opción D quiere colocar 1 en el pivote del renglón 2, pero eliminación gaussiana no requiere pivotes 1 en la fase de escaolonamiento 3. De acuerdo al algoritmo de eliminación gaussiana y respecto a la matriz: A R 2 R 2 2 R 3 B R R 3 C R 1 R R 3 D R R Recuerde que eliminación gaussiana primero escalona y después reduce; y en proceso de escalonamiento, no hace que los pivotes se hagan uno. La matriz del problema ya está escalonada: Eliminación gaussiana inicia la fase de reducción de abajo para arriba haciendo unos en los pivotes haciendo ceros arriba de ellos y subiendo. Por tanto, debe hacer 1 el pivote del último renglón haciendo un escalamiento La opción correcta es B. R R 3 Observe que en las opciones A y C se quiere hacer ceros arriba del pivote del renglón 3; eliminación gaussiana lo hace, pero después que el pivote es uno. En la opción D se hace 1 el pivote del renglón 2; eliminación gaussiana hace esto desde el último renglón no cero que es el 3 4. Indique en orden las operaciones correspondientes a las notaciones: a) R 3 R 6 b) R 3 R R 2 c) R 3 2 R 3 d) R 3 R 2 e) R 3 6 R 3 Dentro de la lista: 1) Multiplicar el renglón 3 por 6 2) Intercambiar los renglones 3 y 2 3) Multiplicar el renglón 3 por 2 4) Sumarle al renglón 6 el renglón 2 multiplicado por 3 5) Sumarle al renglón 3 el renglón 2 multiplicado por 6 6) Intercambiar los renglones 3 y 6 Respuesta: Directamente de la definición de las operaciones elementales de renglón: a) R 3 R 6 : Intercambio de los renglones 3 y 6. b) R 3 R R 2 : Al renglón 3 se le suma 6 veces el renglón 2. c) R 3 2 R 3 : El renglón 3 se multiplica por 2. d) R 3 R 2 : Intercambio de los renglones 3 y 2. e) R 3 6 R 3 : El renglón 3 se multiplica por Para la matriz A determine cada elemento (2, 1) de la matriz resultante de A después de aplicarle 1) R 1 R 1 2 R 3 2) R 1 R 1 2 R 2 3) R 2 2 R 2 4) R 2 R 1

3 Ma119, Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL 3 5) R 1 R 3 Aplique cada operación sobre A en forma independiente, no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resultados numéricos. Es muy conveniente que conozca cómo realizar las operaciones elementales de renglón en un ambiente de cómputo científico. La calculadora TI es una buena opción. Recuerde que aplicada a una matriz a: la operación de intercambio de renglones se codifica en la TI como R i R j rowswap(a, i, j) la operación de escalamiento de renglones se codifica en la TI como R i c R i mrow(c, a, i) la operación de eliminación se codifica en la TI como R i R i + c R j mrowadd(c, a, j, i) Capturaremos la matriz primeramente usando la notación tradicional como se ilustra en la siguiente figura. Aprovecharemos que sólo piden el elemento (2, 1) de la matriz resultante; usaremos el truco que escribir dos comandos en una línea separados por el símbolo de dos puntos (:) recordando que el primer comando se ejecuta primero. La siguiente imagen ilustra los cálculos. 6. Respecto a las matrices aumentadas siguientes: 1 3 a) b) c) 5 3 d) e) Indique cómo se clasifica el sistema correspondiente: 1) Consistente con soluciones infinitas 2) Inconsistente 3) Consistente con solución única Recuerde que para el análisis de un SEL: Si la matriz aumentada de un sistema tiene un pivote en la columna de las constantes, el sistema es inconsiste. está escalonada y no tiene pivote en la columna de las constantes, el sistema es consistente y si además tiene pivote en la columna de cada una de sus variables, el sistema tiene solución única si por lo menos tiene una variable en cuya columna no hay pivote, el sistema tiene infinitas soluciones Con esto en mente revisamos las matrices aumentadas: a) Al ubicar los pivotes tenemos la matriz está escalonada y ninguno de los pivotes está en la columna de las constantes. Por tanto, el sistema es consistente. Como en la segunda columna no se tiene pivote, hay una variable libre. Por tanto, el sistema es consistente con infinitas soluciones.

4 Ma119, Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL 4 b) Al ubicar los pivotes tenemos notamos que la matriz no está escalonada y aún no podemos analizar el sistema. Para escalonarlo, hacemos la operación: R 3 R 3 2R La matriz queda escalonada, no tiene pivote en la columna de las constantes y tiene una columna de las variables sin pivote: concluimos que es consistente con infinitas soluciones. c) Al ubicar los pivotes en la matriz: observamos que está escalonada y así podemoa analizarla: no hay pivote en la columna de las constantes y en la columna de cada variables tiene pivote. Concluimos que el sistema tiene solución única. d) Al ubicar los pivotes en la matriz: vemos que tiene un pivote en la columna de la constante. Por tanto, el sistema será inconsistente. e) Al ubicar los pivotes en la matriz: vemos que tiene un pivote en la columna de la constante. Por tanto, el sistema será inconsistente. Recuerde: en general, los renglones de ceros no dan información sobre el sistema: la clave es la ubicación de los pivotes en la matriz 7. Manejando el orden x, y, z, w escriba en forma vectorial la solución general al sistema: 4 w + 2 x + 6 y + 2 z = 2 w + 3 x + 9 y + 4 z = 14 4 w + 3 x + 9 y + 3 z = 3 3 w + 4 x + 12 y + 4 z = 11 Reporte las coordenadas del vector que multiplica a la variable libre en la solución resultante. Paso 1: Apliquemos Gauss a la matriz aumentada Formamos la matriz aumentada con el orden que sugiere el problema (x, y, z, w): Al aplicar las reglas de análisis, observamos que el sistema es consistente (al no haber pivote en la columna de las constantes) y con soluciones infinitas (al ser y una variable libre; las variables fijas son aquellas en cuya columna hay pivote) Paso 2: Convierta cada renglón no cero en ecuación El renglón 1 de la reducida que: El renglón 2 queda: y el renglón 3 queda: x + 3 y = 3 z = 2 w = 3 Paso 3: De cada ecuación, despeje la variable delantera. x + 3 y = 3 x = 3 3 y z = 2 z = 2 w = 3 w = 3 Paso 4: Se complementan las soluciones introduciendo las variables libres. x = 3 3 y y = y z = 2 w = 3 Paso 5: Se reescribe en forma vectorial las soluciones x y z w = 3 3 y y 2 3

5 Ma119, Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL 5 Paso 6: Se separa el segundo miembro de acuerdo a las constantes y a las variables libres x y z w = y 3 1 el vector que multiplica a la variable libre es el vector < 3, 1,, > 8. Cuál es la afirmación correcta sobre las soluciones al sistema de ecuaciones A 3 x 3 y 3 z = 5 8 x + 3 y + z = 1 1 x 3 y 2 z = 2 Que el sistema es inconsistente. b) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es homogéneo. c) Si un SEL homogéneo 8 8 tiene una matriz aumentada reducida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. d) Si un SEL tiene solución única, entonces el sistema debe de tener el mismo número de incógnitas que de ecuaciones. e) Si un SEL 7 7 tiene una matriz aumentada reducida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. dentro de las respuestas posibles: 1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cumple y donde no se cumple. 2) Falso: En toda situación que puedo construir no se cumple. 3) Cierto: En toda situación que puedo construir se cumple. B Que tiene solución única. C Que tiene un número infinito de soluciones. Formamos la aumentada y reducimos: / / /25 No teniendo pivote en la columna de las constantes y teniendo pivote en la columna de cada variable, concluimos que el sistema tiene solución única: opción B 9. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones: a) Si un SEL homogéneo 1 1 tiene una matriz aumentada reducida con 9 pivotes, entonces el sistema tiene solución única. a) Si la aumentada es 1 1 el sistema tiene 1 ecuaciones y 9 incógnitas. Los 9 pivotes se van a distribuir sobre estas 1 columnas. Pero como el sistema es homogéneo la columna de constantes tendrá ceros: como las operaciones elementales de renglón no cambian las columnas de ceros, la matriz reducida final también tendrá ceros en su columna de constantes. Es decir, que no podrá haber pivote en la columna de constantes. Por lo tanto, los 9 pivotes deberán estar en las columnas de las incógnitas. Resumiendo: no habrá pivotes en la columna de las consntantes y en la columna de cada variable habrá pivote. Concluimos que el sistema tiene solución única. La afirmación es cierta. b) Cierto: porque los sistemas homogéneos son siempre consistentes (la solución con todas las incógnitas cero es una solución) c) Como en el inciso a): los 6 pivotes caerán en algunas de las 7 columnas de las incógnitas (habrá una sin pivote): por tanto, el sistema será consistente con infinitas soluciones. Cierto d) Si un SEL tiene solución única, entonces el sistema debe de tener el mismo número de incógnitas que de ecuaciones. Es falso que deba. Por ejemplo, en el análisis para da solución única y el sistema es de 3 ecuaciones y 2 incógnitas.

6 Ma119, Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL 6 e) Si un SEL 7 7 tiene una matriz aumentada reducida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. No hay suficiente información para concluir. Sabemos que los 3 pivotes caerán en algunas de las 7 columnas. Cabe la posibilidad de que uno de ellos caiga en la última columna, y en este caso daría un sistema inconsistente. Si ninguno de los 3 pivotes cayeran en la columnas de las constantes, sería consistente y como habrá 6 variables en una de ellas no habrá pivote y en ese caso daría infinitas soluciones. Pero resumiendo: caben las dos posibilidades: inconsistente o infinitas soluciones 1. De acuerdo al algoritmo de Gauss-Jordan y respecto a la matriz: A R R 3 B R R 1 C R 1 R 1 4 R 2 Recuerde que eliminación Gauss-Jordan escalona y reduce a la vez; avanza poniendo unos en los pivotes y haciendo ceros abajo pero también arriba y después repitiendo en los renglones inferiores. En nuestro caso aunque la matriz ya es escalonada, Gauss-Jordan no ha terminado con el primer renglón, de hecho inicia haciendo un uno en el pivote. y lo que debe hacer es dividir el renglón 1 entre dos: La opción correcta es B. R R 1 Observe que en la opción A el pivote del renglón 3 se hace 1, pero Gauss-Jordan no tiene dos fases: no hay primero escalona y luego regresa, eso lo hace eliminación gaussiana. En la opción C, se intenta hacer cero arriba del pivote del segundo renglón; pero esto no es lo que hace Gauss-Jordan que no ha terminado con el primer renglón 11. De acuerdo al algoritmo de Gauss-Jordan y respecto a la matriz: A R R 1 B R R 3 C R 2 R 2 2 R 1 Recuerde que eliminación Gauss-Jordan escalona y reduce a la vez; avanza poniendo unos en los pivotes y haciendo ceros abajo pero también arriba y después repitiendo en los renglones inferiores. En nuestro caso, la primera opción es hacer 1 el pivote del primer renglón: La opción correcta es A. R R 1 Observe que en la opción C se intenta hacer cero el elemento abajo del pivote del primer renglón y hasta es conveniente pues él es múltiplo del pivote del primer renglón, pero no es lo que hace el algoritmo de Gauss-Jordan. En la opción B, se intenta hacer uno el pivote del último renglón. El algoritmo de Gauss-Jordan no inicia de abajo para arriba ni aunque sea más conveniente 12. De acuerdo al método de Montante y respecto a la matriz: A R R 3 B R 2 11 R 2 C R R 1 D R 2 R R 3 Recuerde que Montante tiene dos fases: una donde casi reduce la matriz, pero donde los pivotes no son uno. Y una segunda fase donde hace las únicas divisiones que hacen que los pivotes sean uno. En la primera fase opera como el algoritmo de Gauss-Jordan pero sin hacer unos los pivotes y escalando los elementos antes de hacerlos cero. Viendo los pivotes vemos que arriba y abajo del pivote del primer renglón (17) hay ceros. También arriba y abajo del pivote del segundo renglón (8) hay ceros. Pero arriba del pivote del tercer renglón (11) hay un 3. Para hacerlo cero, Montante primero escala el renglón 2 multiplicandolo por el mismo pivote: R 2 11 R 2 La opción correcta es B. La opción A (R R 3) intenta hacer un uno en el pivote del renglón 3, pero la primera fase no ha terminado. En la opción C (R R 1) intenta hacer un pivote uno en el renglón 1, pero en Montante las divisiones son hasta que la matriz está casi reducida (falla en los pivotes uno).

7 Ma119, Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL 7 La opción D (R 2 R R 3) implica eliminación con divisiones y así no procede Montante 13. De acuerdo al método de Montante y respecto a la matriz: A R 2 2 R 2 B R 3 R R 1 C R 1 R 3 D R R 1 Recuerde que Montante tiene dos fases: una donde casi reduce la matriz, pero donde los pivotes no son uno. Y una segunda fase donde hace las únicas divisiones que hacen que los pivotes sean uno. En la primera fase opera como el algoritmo de Gauss-Jordan pero sin hacer unos los pivotes y escalando los elementos antes de hacerlos cero. En nuestro caso el pivote del renglón uno debe hacer ceros los elementos debajo de él y para ello debe hacer que sean múltiplos del pivote. Esto lo logra escalando los renglones multiplicandolos por el pivote. Las operaciones serían: 1. R 2 2 R 2 2. R 3 2 R 3 de ellas, la primera viene en la opción A. Recuerde que Montante no hace divisiones si no hasta el final. Esto descarta las opciones B y D. La opción C es atractiva porque no hay mejor inicio que tener un uno pivote, pero el algoritmo NO busca unos para los pivotes 14. Para la matriz: indique cuál sería el siguiente paso de acuerdo a: a) Eliminación Gaussiana b) Método de Gauss-Jordan c) Método de Montante entre las opciones: 1) R 1 11 R 1 2) R R 1 3) R 1 R R 2 4) R R 2 Recuerde que el algoritmo de eliminación gaussiana primeramente escalona la matriz y luego reduce. En este caso la matriz ya está escalonada: por tanto, eliminación gaussiana prepara la reducción haciendo 1 el elemento pivote inferior. Por tanto, eliminación gaussiana debe hacer 1 el elemento (2, 2), lo cual coincide con la opción 4. En el caso del Gauss-Jordan, se realiza la reducción preparando el pivote de arriba para abajo. Por tanto, Gauss-Jordan debe hacer uno el elemento (1, 1), lo que coincide con la opción 2. El método Montante va escalonando y reduciendo la matriz de arriba hacia abajo evitanto las divisiones. Estando escalonada la matriz, Montante trabajaría con el elemento (2, 2) para hacer cero en la parte superior. En este caso particular, Montante haría que el elemento (1, 2) fuera múltiplo del pivote (2, 2). Así Montante, debe multiplicar el renglón 1 por el elemento pivote (2, 2). Esto corresponde a la opción 1. Resumiendo: Eliminación Gaussiana 4, Gauss-Jordan 2, Montante 1