Álgebra Lineal Ma1010
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- Inmaculada Lucero Coronel
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1 Álgebra Lineal Ma1010 Departamento de Matemáticas ITESM Álgebra Lineal - p. 1/53
2 La factorización LU de una matriz es una factorización que resume el proceso de eliminación gaussiana aplicado a la matriz y que es conveniente en terminos del número total de operaciones de punto flotante cuando se desea calcular la inversa de una matriz o cuando se resolverá una serie de sistemas de ecuaciones con una misma matriz de coeficientes. En la lectura, primeramente consideraremos la factorización LU sin intercambio basada en matrices elementales y que es conocida como de Doolittle y posteriormente veremos el algoritmo que da la factorización PA = LU. Álgebra Lineal - p. 2/53
3 Suponga que la matriz A es una matriz m n se puede escribir como el producto de dos matrices: A = LU Álgebra Lineal - p. 3/53
4 Suponga que la matriz A es una matriz m n se puede escribir como el producto de dos matrices: A = LU Entonces para resolver el sistema: Ax = b, Álgebra Lineal - p. 3/53
5 Suponga que la matriz A es una matriz m n se puede escribir como el producto de dos matrices: A = LU Entonces para resolver el sistema: escribimos Ax = b, Ax = (LU) x = L (Ux). Álgebra Lineal - p. 3/53
6 Una posible estrategia de solución consiste en tomar y = Ux y resolver para y: Ly = b. Álgebra Lineal - p. 4/53
7 Una posible estrategia de solución consiste en tomar y = Ux y resolver para y: Ly = b. Como la matriz L es triangular superior este sistema puede resolverse mediante sustitución hacia abajo, lo cual se hace fácilmente en m 2 FLOPS. Álgebra Lineal - p. 4/53
8 Una vez con los valores encontrados de y, las incógnitas al sistema inicial se resuelve despejando x de Ux = y. Álgebra Lineal - p. 5/53
9 Una vez con los valores encontrados de y, las incógnitas al sistema inicial se resuelve despejando x de Ux = y. Nuevamente, como U es escalonada, este sistema puede resolverse en caso de tener soución mediante sustitución hacia atrás, lo cual es sencillo. Álgebra Lineal - p. 5/53
10 Uso de la factorización LU Ejemplo Use la factorización LU de A: A = = = LU para despejar x del sistema: 11 Ax = 70 = b 17 Álgebra Lineal - p. 6/53
11 Solución Sea y = (y 1,y 2,y 3 ) un nuevo vector de incógnitas. Primero resolveremos el sistema triangular inferior Ly = b: y = Álgebra Lineal - p. 7/53
12 Solución Sea y = (y 1,y 2,y 3 ) un nuevo vector de incógnitas. Primero resolveremos el sistema triangular inferior Ly = b: y = Este sistema escrito en su forma de ecuaciones queda: y 1 = 11 5y 1 + y 2 = 70 2y 1 + 3y 2 + y 3 = 17 Álgebra Lineal - p. 7/53
13 Por eliminación directa de la: primera ecuación: y 1 = 11, segunda ecuación: y 2 = 70 5y 1 = 70 5(11) = 15, y de la tercera: y 3 = 17+2y 1 3y 2 = 17+2(11) 3(15) = 6. Álgebra Lineal - p. 8/53
14 Ahora el sistema Ux = y: x = Álgebra Lineal - p. 9/53
15 Ahora el sistema Ux = y: x = El cual escrito en su forma de ecuaciones queda: 4x 1 2x 2 + x 3 = 11 3x 2 + 7x 3 = 15 2x 3 = 6 Álgebra Lineal - p. 9/53
16 El cual al ser resuelto por sustitución hacia atrás queda: de la última ecuación: x 3 = 3, segunda ecuación: x 2 = 5 7/3x 3 = 5 7/3(3) = 2, y de la primera: x 1 = 11/4+1/2x 2 1/4x 3 = 11/4+1/2( 2) 1/4( 3) = 1 Álgebra Lineal - p. 10/53
17 nción de la factorización LU con elementales Ejemplo Determine una factorización LU de la matriz: A = Álgebra Lineal - p. 11/53
18 Solución La idea del método es ir acumulando las inversas de las operaciones hechas sobre los renglones la matriz para irla trasnformando en una matriz escalonada. Álgebra Lineal - p. 12/53
19 Solución La idea del método es ir acumulando las inversas de las operaciones hechas sobre los renglones la matriz para irla trasnformando en una matriz escalonada. Y más que propiamente las inversas de las operaciones sobre los renglones, las matrices elementales involucradas. Álgebra Lineal - p. 12/53
20 Solución La idea del método es ir acumulando las inversas de las operaciones hechas sobre los renglones la matriz para irla trasnformando en una matriz escalonada. Y más que propiamente las inversas de las operaciones sobre los renglones, las matrices elementales involucradas. Así por ejemplo el primer cálculo que se realiza es hacer un cero debajo de el elemento (1,1) que es el elemento 2, para ello debemos realizar la operación R 2 R 2 +3R 1, Álgebra Lineal - p. 12/53
21 Solución La idea del método es ir acumulando las inversas de las operaciones hechas sobre los renglones la matriz para irla trasnformando en una matriz escalonada. Y más que propiamente las inversas de las operaciones sobre los renglones, las matrices elementales involucradas. Así por ejemplo el primer cálculo que se realiza es hacer un cero debajo de el elemento (1,1) que es el elemento 2, para ello debemos realizar la operación R 2 R 2 +3R 1, esta operación tiene como matriz elemental la matriz: E 1 = Álgebra Lineal - p. 12/53
22 Así la situación está: E 1 A = = B 1 Álgebra Lineal - p. 13/53
23 Así la situación está: E 1 A = = B 1 En el siguiente paso del proceso de eliminación es R 3 R 3 2R 1, Álgebra Lineal - p. 13/53
24 Así la situación está: E 1 A = = B 1 En el siguiente paso del proceso de eliminación es R 3 R 3 2R 1, esta operación tiene como matriz elemental la matriz: E 2 = Álgebra Lineal - p. 13/53
25 Así la situación está: E 2 E 1 A = = B 2 Álgebra Lineal - p. 14/53
26 Así la situación está: E 2 E 1 A = = B 2 En el siguiente paso del proceso de eliminación es R 4 R 4 +R 1, Álgebra Lineal - p. 14/53
27 Así la situación está: E 2 E 1 A = = B 2 En el siguiente paso del proceso de eliminación es R 4 R 4 +R 1, esta operación tiene como matriz elemental la matriz: E 3 = Álgebra Lineal - p. 14/53
28 Así la situación está: E 3 E 2 E 1 A = = B 3 Álgebra Lineal - p. 15/53
29 Así la situación está: E 3 E 2 E 1 A = = B 3 Observamos que el hipotético caso de que en E 3 E 2 E 1 A = B 3 La matriz B 3 ya fuera escalonada, es decir la U buscada, entonces: Álgebra Lineal - p. 15/53
30 Así la situación está: E 3 E 2 E 1 A = = B 3 Observamos que el hipotético caso de que en E 3 E 2 E 1 A = B 3 La matriz B 3 ya fuera escalonada, es decir la U buscada, entonces: A = E 1 1 E 2 1 E 3 1 U Álgebra Lineal - p. 15/53
31 Lo cual indica que lo que debemos acumular son las inversas de las matrices elementales utilizadas. La forma sistemática de ir acumulando las inversas de las E i s es ir contruyendo la matriz L: Álgebra Lineal - p. 16/53
32 Lo cual indica que lo que debemos acumular son las inversas de las matrices elementales utilizadas. La forma sistemática de ir acumulando las inversas de las E i s es ir contruyendo la matriz L: L = ? 1 0 1?? 1 Álgebra Lineal - p. 16/53
33 Así, en el avance de la conversión a escalonada de A: A , L = ? ?? = U, L = ? 1 Álgebra Lineal - p. 17/53
34 En este caso la matriz U está en la forma escalonada y por consiguiente el proceso se detiene haciendo cero aquellos valores desconocidos. Por consiguiente una factorización de A será: A = LU = Álgebra Lineal - p. 18/53
35 : ejemplo clave Ejemplo Determine una factorización LU de la matriz: A = Álgebra Lineal - p. 19/53
36 Solución El método procede así. La matriz L inicialmente es la matriz identidad con el mismo número de renglones de A. Si se utilizó la operación R i R i +cr j entonces en la posición (i,j) de L se coloca c. La matriz U es la matriz que queda en al escalonar A. Si hubo necesidad de intercambiar renglones para escalonar, A NO admite una factorización LU. Digamos que con las operaciones siguientes 1. R 2 R 2 +3R 1 2. R 3 R 3 2R 1 3. R 4 R 4 +1R 1 4. R 3 R 3 4R 2 Álgebra Lineal - p. 20/53
37 Solución El método procede así. La matriz L inicialmente es la matriz identidad con el mismo número de renglones de A. Si se utilizó la operación R i R i +cr j entonces en la posición (i,j) de L se coloca c. La matriz U es la matriz que queda en al escalonar A. Si hubo necesidad de intercambiar renglones para escalonar, A NO admite una factorización LU. Digamos que con las operaciones siguientes 1. R 2 R 2 +3R 1 2. R 3 R 3 2R 1 3. R 4 R 4 +1R 1 4. R 3 R 3 4R 2 Álgebra Lineal - p. 20/53
38 Solución El método procede así. La matriz L inicialmente es la matriz identidad con el mismo número de renglones de A. Si se utilizó la operación R i R i +cr j entonces en la posición (i,j) de L se coloca c. La matriz U es la matriz que queda en al escalonar A. Si hubo necesidad de intercambiar renglones para escalonar, A NO admite una factorización LU. Digamos que con las operaciones siguientes 1. R 2 R 2 +3R 1 2. R 3 R 3 2R 1 3. R 4 R 4 +1R 1 4. R 3 R 3 4R 2 Álgebra Lineal - p. 20/53
39 Solución El método procede así. La matriz L inicialmente es la matriz identidad con el mismo número de renglones de A. Si se utilizó la operación R i R i +cr j entonces en la posición (i,j) de L se coloca c. La matriz U es la matriz que queda en al escalonar A. Si hubo necesidad de intercambiar renglones para escalonar, A NO admite una factorización LU. Digamos que con las operaciones siguientes 1. R 2 R 2 +3R 1 2. R 3 R 3 2R 1 3. R 4 R 4 +1R 1 4. R 3 R 3 4R 2 Álgebra Lineal - p. 20/53
40 Observe que para la obtención de la factorización LU se realiza la fase 1 del método de eliminación gaussiana. Álgebra Lineal - p. 21/53
41 Observe que para la obtención de la factorización LU se realiza la fase 1 del método de eliminación gaussiana. Por consiguiente, la complejidad del algoritmo de factorización LU será O(2/3n 3 ). Álgebra Lineal - p. 21/53
42 Observe que para la obtención de la factorización LU se realiza la fase 1 del método de eliminación gaussiana. Por consiguiente, la complejidad del algoritmo de factorización LU será O(2/3n 3 ). Teniendo la factorización LU, la aplicación de la sustición hacia atrás o hacia adelante toman cada uno n 2. Álgebra Lineal - p. 21/53
43 Observe que para la obtención de la factorización LU se realiza la fase 1 del método de eliminación gaussiana. Por consiguiente, la complejidad del algoritmo de factorización LU será O(2/3n 3 ). Teniendo la factorización LU, la aplicación de la sustición hacia atrás o hacia adelante toman cada uno n 2. Por ello es que para resolver un solo sistema de ecuaciones no hay ventaja en utilizar la factorización LU. Álgebra Lineal - p. 21/53
44 Observe que para la obtención de la factorización LU se realiza la fase 1 del método de eliminación gaussiana. Por consiguiente, la complejidad del algoritmo de factorización LU será O(2/3n 3 ). Teniendo la factorización LU, la aplicación de la sustición hacia atrás o hacia adelante toman cada uno n 2. Por ello es que para resolver un solo sistema de ecuaciones no hay ventaja en utilizar la factorización LU. La ventaja aparece cuando se desean resolver varios sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coeficientes. Álgebra Lineal - p. 21/53
45 Observe que para la obtención de la factorización LU se realiza la fase 1 del método de eliminación gaussiana. Por consiguiente, la complejidad del algoritmo de factorización LU será O(2/3n 3 ). Teniendo la factorización LU, la aplicación de la sustición hacia atrás o hacia adelante toman cada uno n 2. Por ello es que para resolver un solo sistema de ecuaciones no hay ventaja en utilizar la factorización LU. La ventaja aparece cuando se desean resolver varios sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coeficientes. En la primera solución se determina la factorización LU, y en las siguientes bastará sustitución hacia adelante y hacia atrás. O sea que cada siguiente solución tomará sólo 2n 2 FLOPs contrario a los 2/3n 3 de eliminación gaussiana. Álgebra Lineal - p. 21/53
46 Factorización de PA = LU Frecuentemente, no es posible escalonar una matriz sólo con operaciones de eliminación. En estos casos se requiere realizar intercambio de renglones. Para este tipo de matrices no existe la factorización LU. Lo que aplica es la factorización PA = LU. Donde la matriz P es una matriz de permutación. Estas matrices de permutación se obtienen de la matriz identidad intercambiando renglones. La factorización PA = LU se obtiene de forma análoga a la factorización LU pero se lleva un registro de los renglones que se intercambian y se efectuan los intercambios en una matriz que registra los inversos de las operaciones de eliminación. Álgebra Lineal - p. 22/53
47 de PA = LU Entrada: Matriz A n m Salida: P matriz de permutación n n, L matriz triangular superior unitaria n n (l ii = 1), U matriz escalonada n m que cumplen: PA = LU Álgebra Lineal - p. 23/53
48 1. Tome P = I n, L = 0, y U = A. 2. Mientras que U no sea escalonada hacer 2.1. Aplicar una operación R de eliminación o de intercambio a U Si R es de la forma R i R j, entonces aplicar R a P y a L Si R es de la forma R i R i ar j,entonces modificar L haciendo l ij = a. 3. Tome L = L+I n. Álgebra Lineal - p. 24/53
49 Ejemplo Determine una factorización PA = LU de la matriz A = Álgebra Lineal - p. 25/53
50 Ejemplo Determine una factorización PA = LU de la matriz A = Solución Tomemos U 0 = A, P 0 = I 4 y L 0 = 0. Álgebra Lineal - p. 25/53
51 1. Si aplicamos sobre U 0 las operaciones de eliminación R 2 R 2 4R 1,R 3 R 3 5R 1 y R 4 R 4 6R 1 se obtiene a la nueva matriz U 1 : U 1 = Estos cambios se registran en L 1 y hasta el momento se tiene: L 1 =,P = I Álgebra Lineal - p. 26/53
52 2. Si aplicamos sobre U 1 las operaciones de eliminación R 3 R 3 +5R 2 y R 4 R 4 8R 2 se obtiene a la nueva matriz U 2 : U 2 = Estos cambios se registran en L 1 y hasta el momento se tiene: L 2 =,P 2 = P Álgebra Lineal - p. 27/53
53 3. Si aplicamos sobre U 2 la operación de intercambio R 3 R 4 se obtiene la nueva matriz U 3 : U 3 = Aplicando la operación de intercambio a L 2 y a P 2, se tiene: L 3 =,P 3 = Álgebra Lineal - p. 28/53
54 4. Puesto que la matriz U 3 ya es escalonada, el procedimiento termina y finalizamos haciendo L = L 3 +I y se tiene: U = U 3 =,L = P = P 3 = Como ejercicio, compruebe que PA = LU Álgebra Lineal - p. 29/53
55 Ejemplo Determine una factorización PA = LU de la matriz A = Álgebra Lineal - p. 30/53
56 Ejemplo Determine una factorización PA = LU de la matriz A = Solución Tomemos U 0 = A, P 0 = I 5 y L 0 = 0. Álgebra Lineal - p. 30/53
57 1. Si aplicamos sobre U la operación de intercambio R 1 R 3 se obtiene la nueva matriz U: U 1 = Aplicando la operación de intercambio a L 0 y a P 0, se tiene: L 1 = ,P 1 = Álgebra Lineal - p. 31/53
58 2. Si aplicamos sobre U 1 las operaciones de eliminación R 4 R 4 4R 1 y R 5 R 5 5R 1 se obtiene a la nueva matriz U 2 : U 2 = Estos cambios se registran en L 1 y hasta el momento se tiene: L 2 = ,P 2 = Álgebra Lineal - p. 32/53
59 3. Si aplicamos sobre U 2 la operación de intercambio R 2 R 3 se obtiene la nueva matriz U 3 : U Aplicando la operación de intercambio a L 2 y a P 2, se tiene: L 3 = ,P 3 = Álgebra Lineal - p. 33/53
60 Si aplicamos sobre U 3 las operaciones de eliminación R 4 R 4 2R 2 y R 5 R 5 3R 2 se obtiene a la nueva matriz U 4 : U 4 = Estos cambios se registran en L 3 y hasta el momento se tiene: L 4 = ,P 4 = Álgebra Lineal - p. 34/53
61 5. Si aplicamos sobre U 4 la operación de intercambio R 2 R 3 se obtiene la nueva matriz U 5 : U 5 = Estos cambios se registran en L 4 y hasta el momento se tiene: L 5 = ,P 5 = Álgebra Lineal - p. 35/53
62 6. Si aplicamos sobre U 5 la operación de eliminación R 5 R 5 +1R 3 se obtiene a la nueva matriz U 6 : U 6 = Estos cambios se registran en L 6 y hasta el momento se tiene: L 6 = ,P 6 = Álgebra Lineal - p. 36/53
63 7. Si aplicamos sobre U 6 la operación de intercambio R 4 R 5 se obtiene la nueva matriz U 7 : U 7 = Estos cambios se registran en L 6 y hasta el momento se tiene: L 7 = ,P 7 = Álgebra Lineal - p. 37/53
64 8. Puesto que la matriz U 7 ya es escalonada, el procedimiento termina y finalizamos haciendo L = L 7 +I y se tiene: U = U 7 = ,L = P = P 7 = Como ejercicio, compruebe que PA = LU Álgebra Lineal - p. 38/53
65 Ejemplo Determine una factorización PA = LU de la matriz A = Álgebra Lineal - p. 39/53
66 Ejemplo Determine una factorización PA = LU de la matriz A = Solución Tomemos U 0 = A, P 0 = I 5 y L 0 = 0. Álgebra Lineal - p. 39/53
67 1. Si aplicamos sobre U la operación de intercambio R 1 R 4 se obtiene la nueva matriz U: U 1 = Aplicando la operación de intercambio a L 0 y a P 0, se tiene: L 1 =,P 1 = Álgebra Lineal - p. 40/53
68 2. Si aplicamos sobre U 1 las operaciones de eliminación R 2 R 2 8R 1, R 3 R 3 9R 1 y R 6 R 6 10R 1 se obtiene a la nueva matriz U 2 : U 2 = Estos cambios se registran en L 1 y hasta el momento se tiene: L 2 = ,P 2 = Factorización LU Álgebra Lineal - p. 41/53
69 3. Si aplicamos sobre U 2 la operación de intercambio R 2 R 5 se obtiene la nueva matriz U 3 : U 3 = Aplicando la operación de intercambio a L 2 y a P 2, se tiene: L 3 =,P 3 = Álgebra 0 1 Lineal - p. 42/53
70 4. Si aplicamos sobre U 3 las operaciones de eliminación R 3 R 3 5R 2, R 4 R 4 6R 2 y R 6 R 6 7R 2 se obtiene a la nueva matriz U 4 : U 4 = Estos cambios se registran en L 3 y hasta el momento se tiene: L 4 = ,P 4 = Factorización LU Álgebra Lineal - p. 43/53
71 5. Si aplicamos sobre U 4 la operación de intercambio R 3 R 5 se obtiene la nueva matriz U 5 : U 5 = Aplicando la operación de intercambio a L 4 y a P 4, se tiene: L 5 =,P 5 = Álgebra 0 1 Lineal - p. 44/53
72 6. Si aplicamos sobre U 5 las operaciones de eliminación R 4 R 4 3R 3 y R 6 R 6 3R 3 se obtiene a la nueva matriz U 6 : U 6 = Estos cambios se registran en L 6 y hasta el momento se tiene: L 6 = ,P 6 = Álgebra 0 1 Lineal - p. 45/53
73 7. Si aplicamos sobre U 6 las operaciones de eliminación R 5 R 5 1R 4 y R 6 R 6 2R 4 se obtiene a la nueva matriz U 7 : U 7 = Estos cambios se registran en L 7 y hasta el momento se tiene: L 7 = ,P 7 = Álgebra 0 1 Lineal - p. 46/53
74 8. Si aplicamos sobre U 7 la operación de intercambio R 5 R 6 se obtiene la nueva matriz U 8 : U 8 = Aplicando la operación de intercambio a L 7 y a P 7, se tiene: L 8 =,P 8 = Álgebra 0 0 Lineal - p. 47/53
75 9. Puesto que la matriz U 8 ya es escalonada, el procedimiento termina y finalizamos haciendo L = L 8 +I y se tiene: U = U 8 =,L = P = P 8 = Factorización Como ejercicio, LU compruebe que PA = LU Álgebra Lineal - p. 48/53
76 generales A continuación hacermos algunos comentarios generales sobre la factorización LU y su uso. Álgebra Lineal - p. 49/53
77 Nota 1 Existen maneras de programar el algoritmo anterior de forma tal que la matriz U y la matriz L queden en una misma matriz cuadrada. Un truco radica en que siendo todos los elementos de la diagonal de U unos, no se requiere el espacio para almacenarlos. También hay forma de programar el algoritmo para que la matriz de permutaciones P se represente por un sólo vector con n valores, con números de 1 al n, que indican cómo deben permutarse los renglones de la identidad. Esto es muy conveniente pues la matriz P es tal que de sus n 2 valores todos son cero excepto n que son 1. Usando estas ideas el almacenamiento requerido por el algoritmo de factorización LU puede reducirse de 3n 2 a n 2 +n números de punto flotante. Significando un ahorro de espacio aproximandamente 66%. Álgebra Lineal - p. 50/53
78 Nota 2 Si se posee una factorización A = LU de una matriz cuadrada invertible, entonces la inversa de A puede calcularse mediante A 1 = U 1 L 1 El costo de invertir una matriz triangular es de n 3 FLOPs lo cual es más económico que invertir una matriz n n cualquiera que es de 8 3 n3 FLOPs. Además de los costos para calcular L 1 y U 1, habría que calcular el producto el cual tiene un costo de n 3 FLOPs. Esto nos hace llegar a la conclusión de que el cálculo único de A 1 haciendo uso de la factorización LU toma 3n 3 FLOPs que es más grande que los 8 3 n3 FLOPs que toma el procedimiento tradicional. Por ello es que no es conveniente esta estrategia de cálculo. Álgebra Lineal - p. 51/53
79 Nota 3 Si se desea calcular A 1 B y se posee una factorización LU de A entonces puede aplicarse eliminación gaussiana en la reducción [L B] [I D] aquí D = L 1 B lo cual tiene un costo computacional de n 3 FLOPs utilizando que L es triangular. Seguido de esto, se aplica también eliminación gaussiana en la reducción [U D] [I E] aquí E = U 1 D = U 1 L 1 B = A 1 B lo cual tiene un costo computacional de n 3 FLOPs utilizando que U es triangular. Esto da como resultado un proceso de cálculo para A 1 B con un costo 2n 3 FLOPs teniendo disponible una factorización LU. Álgebra Lineal - p. 52/53
80 Nota 4 Las matrices de permutación P son fácilmente invertibles al cumplir la relación: P 1 = P T Además, normalmente no es conveniente realizar el producto P B que tiene un costo de n 3 FLOPs sino más bien realizar el movimiento de renglones correspondiente. Y más que realizar el movimiento de renglones, se hacen trucos de programación para evitar tales movimientos teniendo un vector que refiere a los renglones de diferentes posiciones. Álgebra Lineal - p. 53/53
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