MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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Purificación Vera Aguilera
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1 26 de Abril de 2011 MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clase 05) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 1

2 Puntos a tratar 1. Sistema de ecuaciones lineales 2. Sistema homogéneo 3. Sistemas fáciles de resolver 4. Matrices de interés 5. Sistemas equivalentes 6. Tipos de sistemas de ecuaciones lineales 7. Método gráfico Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 2

3 Sistema de ecuaciones lineales Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: incógnitas: coeficientes: términos independientes: Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

4 Sistema de ecuaciones lineales Expresión vectorial: donde: Expresión matricial: donde: Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

5 Sistema de ecuaciones lineales Escribir en forma vectorial y matricial el sistema: Escribir en forma matricial y en la forma usual el sistema de ecuaciones lineales cuya expresión vectorial es: Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

6 Sistema de ecuaciones lineales son una solución de (1) si considerando: se satisfacen las m ecuaciones del sistema. Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

7 Puntos a tratar 1. Sistema de ecuaciones lineales 2. Sistema homogéneo 3. Sistemas fáciles de resolver 4. Matrices de interés 5. Sistemas equivalentes 6. Tipos de sistemas de ecuaciones lineales 7. Método gráfico Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 7

8 Sistema homogéneo Todo sistema homogéneo tiene al menos una solución: la solución trivial o impropia Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

9 Puntos a tratar 1. Sistema de ecuaciones lineales 2. Sistema homogéneo 3. Sistemas fáciles de resolver 4. Matrices de interés 5. Sistemas equivalentes 6. Tipos de sistemas de ecuaciones lineales 7. Método gráfico Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 9

10 Sistemas fáciles de resolver Suponga que la matriz A de n n tiene una estructura diagonal. Esto significa que todos los componentes distintos de cero de A se encuentran sobre la diagonal principal y el sistema es de la forma: a x b a 0 0 x b a 0 x = b a x b nn n n Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 10

11 Sistemas fáciles de resolver En este caso el sistema se reduce a n ecuaciones simples y la solución es: b a 1 11 b a 2 22 x = b a b a n nn Si a = 0 ii para algún índice i, y b = 0 también, i entonces x i puede ser cualquier número real. Si a 0 y b 0, no hay solución alguna. ii = i Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 11

12 Sistemas fáciles de resolver Suponga que la matriz A de n n tiene una estructura triangular inferior. Esto significa que todos los elementos de A distintos de cero se sitúan sobre la diagonal principal o debajo de ella y el sistema es de la forma: a x b a a 0 0 x b a a a 0 x = b a a a a x b n1 n2 n3 nn n n Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 12

13 Sistemas fáciles de resolver Para resolver el sistema, suponga a 0 ii para todo i; en tal caso x 1 se obtiene a partir de la primera ecuación. Sustituyendo el valor conocido de x 1 en la segunda ecuación, resuélvala para x. 2 Procediendo de la misma forma, se obtienen los valores x,x,...,x, 1 2 n en este orden. En este caso el pseudocódigo para encontrar la solución se llama sustitución progresiva: Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 13

14 inicio Sistemas fáciles de resolver leer (n,(a ),(b )) x b a ij escribir(x ) 1 i desde i = 2 hasta n hacer i 1 x b a x a escribir(x ) fin_ desde fin i i ij j ii j= 1 i Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 14

15 Sistemas fáciles de resolver Suponga que la matriz A de n n tiene una estructura triangular superior. Esto significa que todos los elementos de A distintos de cero se sitúan sobre la diagonal principal o encima de ella y el sistema es de la forma: a a a a x b n a a a x b n a a x = b. 33 3n a x b nn n n Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 15

16 Sistemas fáciles de resolver Para resolver el sistema, suponga a 0 ii para todo i; en tal caso x n se obtiene a partir de la última ecuación. Sustituyendo el valor conocido de x n en la penúltima ecuación, resuélvala para x. n 1 Procediendo de la misma forma, se obtienen los valores x,x,...,x, n n 1 1 en este orden. En este caso el pseudocódigo para encontrar la solución se llama sustitución regresiva: Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 16

17 inicio Sistemas fáciles de resolver leer (n,(a ),(b )) x b a ij n n nn escribir(x ) n i desde i = n 1 hasta 1 hacer n x b a x a j= i+ 1 escribir(x ) fin_ desde fin i i ij j ii i Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 17

18 Puntos a tratar 1. Sistema de ecuaciones lineales 2. Sistema homogéneo 3. Sistemas fáciles de resolver 4. Matrices de interés 5. Sistemas equivalentes 6. Tipos de sistemas de ecuaciones lineales 7. Método gráfico Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 18

19 Matrices de interés Matriz de coeficientes Matriz ampliada Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

20 Puntos a tratar 1. Sistema de ecuaciones lineales 2. Sistema homogéneo 3. Sistemas fáciles de resolver 4. Matrices de interés 5. Sistemas equivalentes 6. Tipos de sistemas de ecuaciones lineales 7. Método gráfico Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 20

21 Sistemas equivalentes Dos sistemas de ecuaciones lineales se dicen equivalentes si tiene las mismas soluciones. Cómo conseguir sistemas equivalentes? Si las matrices ampliadas de dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, entonces los sistemas son equivalentes. Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

22 Sistemas equivalentes Qué sistema es más fácil de resolver? y + z = 9 2x x + 0y + 0z = 3 x 3x + 2y 2y + z z = = x 0x + + y + 0y 0z + z = = 2 5 Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

23 Puntos a tratar 1. Sistema de ecuaciones lineales 2. Sistema homogéneo 3. Sistemas fáciles de resolver 4. Matrices de interés 5. Sistemas equivalentes 6. Tipos de sistemas de ecuaciones lineales 7. Método gráfico Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 23

24 Tipos de sistemas de ecuaciones Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar en tres tipos dependiendo de su conjunto de soluciones. 1. Sistema consistente independiente: Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen una única solución. (caso dimensión 2: Las gráficas de las líneas son diferentes) 2. Sistema consistente dependiente: Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen infinitas soluciones. (caso dimensión 2: las dos gráficas de las líneas son iguales) 3. Sistema inconsistente independiente: Son aquellos sistemas de ecuaciones que no tienen solución. (caso dimensión 2: las dos gráficas de las líneas son paralelas) Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

25 Puntos a tratar 1. Sistema de ecuaciones lineales 2. Sistema homogéneo 3. Sistemas fáciles de resolver 4. Matrices de interés 5. Sistemas equivalentes 6. Tipos de sistemas de ecuaciones lineales 7. Método gráfico Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 25

26 Método gráfico para sistemas 2 x 2 Procedimiento 1. Las soluciones del sistema de ecuaciones serán los puntos de intersección entre las dos gráficas. 2. Construya la gráfica de cada ecuación. Este método es útil solo si podemos leer con precisión los puntos de intersección entre las gráficas. En la mayoría de los casos eso no es posible. Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

27 Ejemplos 1) 2x + y = 5 x y = 1 y x y = 1 x ( Solución: 2,1) 2x + y = 5 Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

28 2) Ejemplos x + y = x y = y 2 0 x + y = Solución :( 1, 1) x5-1 x y = Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

29 Ejemplos x + y = 2 3) 2x + 2y = 0 y x Las dos líneas son paralelas, no tienen puntos de intersección. El conjunto de soluciones es vacío. C. S. = Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

30 4) y x x + y = 2 2x 2y = 4 + y = Ejemplos x x 2y = 4 El sistema es dependiente y tiene infinitas soluciones. Las soluciones se pueden encontrar buscando puntos de cualquiera de las líneas. {( ) } CS.. = x,2 x : x R - 4 Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

31 Pensamiento de hoy A medida que la complejidad crece, los planteamientos precisos pierden significado y los planteamientos llenos de significado pierden precisión. Lofti Zadeh Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 31

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