SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

Transcripción

1 TEMA N o SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Los metodos de resolucion de sistemas de ecuaciones lineales se dividen en dos grupos: a) MÉTODOS EXACTOS. Son algoritmos nitos para calcular las raíces de un sistema asi como : Método de Gauss. Método de Gauss-Jordan. Método de la Matriz Inversa. Regla de Crammer. Descomposicion LU. Otros. b) MÉTODOS ITERATIVOS. Los cuales permiten obtener las raices de un sistema con una exactitud dada, mediante procesos in nitos convergentes, tales como: Método de Iteración. Método de Seidel. Método de Relajación. Otros. Consideremos un sistema de ecuaciones de n ecuaciones lineales con n incognitas: 8>< a x + a x + ::: + a n x n = b a x + a x + ::: + a n x n = b a x + a x + ::: + a n x n = b ()..... >: a n x + a n x + ::: + a nn x n = bn. Este sistema tambien podemos representar en forma de matrices, donde a a ::: a n x b a a ::: a n A = 6a a ::: a n 4 ::: ::: ::: ::: 5 ; x = x 6x 4 ::: 5 ; b = b 6b 4::: 5. a n a n ::: a nn Siendo a a ::: a n x b a a ::: a n x 6a a ::: a n 6x 4 ::: ::: ::: ::: 5 4 ::: 5 = b 6b 4::: 5. a n a n ::: a nn x n b n Donde: x n b n

2 A = es la matriz de los coe cientes del sistema, (n n). x = es el vector columna de las incognitas, (n ). b = es el vector columna de los términos constantes, (n ). Entones el sistema de ecuaciones lineales () se puede escribir abreviadamente en forma de una ecuacion matricia Ax = b: Por otra parte, si el conjunto de números x ; x ; x ; :::; x n ; x n, reduce el sistema () a una identidad, se llama raices del sistema o conjunto de solución del sistema. a) METODOS EXACTOS DESCOMPOSICION LU El método de descomposición LU ( llamado trambién reducción Croot), es una transformacion de una matriz A como producto de dos matrices A = LU, donde L es una matriz triangular inferior, U es una matriz triangular superior con elementos en la diagonal principal. Algoritmo de Descomposició de Ly U. Consideremos una matriz de 4 4, donde l l l 0 0 4l l l 0 5 l 4 l 4 l 4 l 44 L U = A: u u u 4 60 u u u 4 5 = a a a a 4 6a a a a 4 4a a a a 4 5. a 4 a 4 a 4 a 44 Multiplicamos todas las las de la matriz L, por la primera columna de la matriz U, esto es l = a l = a l = a l 4 = a 4 Luego, multiplicamos la primera la de la matriz L, por las columnas de la matriz U, excepto por la primera columna de U, pues volveriamos al paso anterior l u = a ) u = a l l u = a ) u = a l l u 4 = a 4 ) u 4 = a4 l En forma análoga, que los pasos anteriores, obtenemos

3 l u + l = a ) l = a l u l u + l = a ) l = a l u l 4 u + l 4 = a 4 ) l 4 = a 4 l 4 u Luego, l u + l u = a ) a u = lu l a4 lu4 l u 4 + l u 4 = a 4 ) u 4 = l Seguidamente, resulta l u + l u + l = a ) l = a l u l u l 4 u + l 4 u + l 4 = a 4 ) l 4 = a 4 l 4 u l 4 u Como a4 lu4 lu4 l u 4 + l u 4 + l u 4 = a 4 ) u 4 = l Finalmente, obtenemos l 4 u 4 + l 4 u 4 + l 4 u 4 + l 44 = a 44 ) l 44 = a 44 l 4 u 4 l 4 u 4 l 4 u 4 : Resolución de un Sistema lineal por descomposicion LU. Sea el sistema Ax = b. Como A = LU entonces: (L U) x = b L(U x) = b. De manera que, siendo la solución L y = b, donde U x = y. Ejemplo. Sea la matriz A = Descomponer A en matrices L y U: Solución. Aplicando las ecuaciones de l y u, se obtiene L = y U = Ejemplo. Resolver el sistema 8 lineal por descomposicion LU. x x + 4x = 5 >< x + x + x = 4 Solución. >: x + x x =. Primero, escribimos la matriz de los coe cientes del sistema, y el vector columna de las constantes A = ; b =

4 Seguidamente, hacemos la descomposicion de la matriz A en matrices L y U, pero este proceso ya efectuamos en ejemplo anterior, de modo que L = , U = Ahora calculamos el sistema escalonado Ly = b y y 5 = y De aquí: y = 5 y + y = 4 ) y = y + 6y + y = ) y = De manera que la solución al sistema es : Ux = y x x 5 = x Siendo x = ; x x = ) x = ; x x + 4x = 5 ) x =. Por tanto, la solución al sistema lineal dado es: x =, x =, x =. b) MÉTODOS ITERATIVOS MÉTODO DE ITERACIÓN (o Método de Jacobi) Sea el sistema8lineal a x + a x + ::: + a n x n = b >< a x + a x + ::: + a n x n = b a x + a x + ::: + a n x n = b () >:.... a n x + a n x + ::: + a nn x n. = bn. Introduciendo las matrices a a ::: a n x b a a ::: a n A = a a ::: a n x ; x = 6 6x ::: 5 ; b = b 6b 4::: 5. a n a n ::: a nn x n b n podemos escribir el sistema () en forma abreviada como ecuacion matricial Ax = b. Ahora, supóngase que los coe cientes diagonales son diferentes de cero, es decir 4

5 a ii 6= 0 i = ; ; ; :::; n. Luego, despejamos x de la primera ecuación, x de la segunda ecuación y asi sucesivamente para obtener 8 b x = a a a >< a x :::: n a x n b x = a a a a x ::: n a x n () ::: ::: ::: ::: ::: ::: >: a x n = n a a nn x ::: n;n a nn x n. b n a nn Entoces obtenemos 8 el sistema equivalente: x = >< + x + x + ::: + n x n x = + x + x + ::: + n x n () ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: >: x n = n + n x + n x + :::: + n;n x n. Donde: i = bi a i i, i j = ai j a i i ; para i 6= j. Introduciendo las matrices ::: n ::: n = ::: n y = n n ::: nn n podemos escribir el sistema () en forma matricial x = + x. Resolvemos el sistema () por el procedimiento de las aproximaciones sucesivas, siendo x (0) =, aproximación inicial de orden cero. x () = + x (0), primera aproximación. x () = + x (), segunda aproximación En general x (k+) = + x (k), k = 0; ; ; :::; n: Si la secuencia de aproximaciones x (0), x (), :::, x (k) ; tiene el límite x = lim x(k) k!, entonces este límite es la solución al sistema () y en consecuencia al sistema (). Condición de Su ciencia para la Convergencia del Método de Iteración. TEOREMA.- El proceso de iteración del sistema () converge, si al menos es valido una de las tres condiciones siguientes: a) k k m = max i j i j j <. j= (norma por las) 5

6 b) k k l = max j v u c) k k k = t j i j j <. i= i= j= j i j j <. (norma por columnas) COROLARIO En el sistema lineal ij x j = b i ; i = ; ; :::; n, n= el método de iteración converge si las desigualdes j i j j > j i j j para i 6= j. se cumplen. j6= Error del método k x x (k) k 6 kk kk k x(k) x (k ) k. (norma por las y columnas) Ejemplo Resolver el sistema 8 por el método de iteración < 5x + x + x = 4 x + x + 0x = 5 : x + 0x x = 6, con un error menor a 0:000. Solución Si bien los coe cientes diagonales a ij 6= 0, para i = ; ;, pero la condición del corolario no se cumple, puesto que 5 >, y. Reescribiendo el sistema tenemos 5x + x + x = 4 8>< x + 0x x = 6 >: x + x + 0x = 5. Nuevamente vemos que a i j 6= 0, i = ; ; y además se cumple la condición del corolario, puesto que 5 >, 0 >, 0 >. Ahora, el sistema escribimos en su forma equivalente x = + x. x (k+) = :8 0:4x 0:x (k) x (k+) = :6 0:x + 0:x (k) (4) Donde: x (k+) = :5 0:x 0:x (k), k = 0; ; ; ::: 6

7 0 0:4 0: = 4 0: 0 0: 5. 0: 0: 0 Ahora calculamos la norma k k m esto es : a) k k m = max i (0:6; 0:; 0:) = 0:6 <. Esto signi ca que el proceso de iteración del sistema (4) converge. Vemos, que también se cumple la norma: b) k k l = max j (0:; 0:6; 0:) = 0:6 <. Como aproximación inicial de la raiz del sistema, tomamos x (0) = = 4 :8 :65, :5 o bien x (0) = :8, x (0) = :6, x (0) = :5. De manera que: x () = + x (0) x () = :8 0:4x (0) 0:x (0) = :8 0:4 :6 0: :5 = :86 x () = :6 0:x (0) + 0:x (0) = :6 0: :8 0: :5 = :4 x () = :5 0:x (0) 0:x (0) = :5 0: :8 0: :6 = 0:9 x () = + x () x () = :8 0:4(:4) 0:(0:9) = :0 x () = :6 0:(:86) + 0:(0:9) = :504 x () = :5 0:(:86) 0:(:4) = :0 x () = + x () x () = :8 0:4(:504) 0:(:0) = :9944 x () = :6 0:(:0) + 0:(:0) = :4988 x () = :5 0:(:0) 0:(:504) = 0:996 = + x () = :8 0:4(:4988) 0:(0:996) = :008 = :6 0:(:9944) + 0:(0:996) = :5006 = :5 0:(:9944) 0:(:4988) = :0088 = + = :8 0:4(:5006) 0:(:0088) = :988 = :6 0:(:008) + 0:(:0088) = :5005 = :5 0:(:008) 0:(:5006) = 0:99984 x (6) = + x (6) = :8 0:4(:5005) 0:(0:99984) = :999 x (6) = :6 0:(:988) + 0:(0:99984) = :50 x (6) = :5 0:(:988) 0:(:5005) = :000 x () = + x (6) x () = :8 0:4(:505) 0:(:000) = :998 x () = :6 0:(:999) + 0:(:000) = :500

8 x () = :5 0:(:999) 0:(:50) = 0:99959 x (8) = + x () x (8) = :8 0:4(:500) 0:(0:99959) = x (8) = :6 0:(:998) + 0:(0:99959) = :500 x (8) = :5 0:(:998) 0:(:500) = :000 Por tanto, las raices del sistema con la exactitud dada es: x = ; x = :5; x =. MÉTODO DE SEIDEL Consideramos el sistema lineal reducido x i = i + i j x j ; i = ; ; ::::n : j= Luego elegimos arbitrariamente las aproximaciones iniciales de las raices x (0) ; :::; x(0) ; x(0) n, tratando por supuesto que las aproximaciones sean muy proximas a las incognitas. De acuerdo con Seidel las (k + )aproximaciones de las raíces es deacuerdo con las fórmulas siguientes x (k+) = + j= j x (k) j x (k+) = + ; x (k+) + j= j= j x (k) j ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: Xj x (k+) i = i + i; j x (x+) j + i j x (k) j ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: x (k+) n = n n; j x (k+) j + n n x (k) n ; k = ; ; ; :::. j= Este proceso de iteración de Seidel, converge si se cumple todas las condiciones del método anterior. Ejemplo. Resolver el sistema lineal por el método de Seidel 8 < : 5x + x + x = 4 x + 0x x = 6 x + x + 0x = 5. Efectuar los cálculos con cinco decimales. Solución. Vemos que los a i: i 6= 0, y además se cumplen las desigualdades ja i i j > j=i X ja i j j, es decir 5 >, 0 >, 0 >. j6= 8

9 De manera que el sistema lineal escribimos en la forma equivalente x = + x, es decir Siendo x (k+) = :8 0:4x (k) 0:x (k) x (k+) = :6 0:x (k+) + 0:x (k) x (k+) = :5 0:x (k+) 0:x (k+) = 4 0 0:4 0: 0: 0 0: 5. 0: 0: 0 Siendo la norma: kk m = max i (0:6; 0:; 0:) = 0:6 <. ; k = 0; ; ; ::: Esto muestra que el método de Seidel en su proceso de iteración converge hacia una solución única. Ahora elegimos arbitrariamente los valores iniciales de las raices, así como x (0) = :8, x (0) = 0, x (0) = 0. Entonces x () = + x (0) x () = :8 0:4 (0) 0:(0) = 0:8 x () = :6 0: (:8) + 0:(0) = : x () = :5 0: (:8) 0:(:) = 0:956 x () = + x () x () = :8 0:4 (:) 0:(0:956) = :0808 x () = :6 0: (:0808) + 0:(0:956) = :485 x () = :5 0: (:0808) 0:(:485) = 0:9944 x () = + x () x () = :8 0:4 (:485) 0:(0:9944) = :006 x () = :6 0: (:006) + 0:(0:9944) = :4988 x () = :5 0: (:006) 0:(:4988) = 0:9996 = + x () = :8 0:4 (:4988) 0:(0:9996) = :00054 = :6 0: (:00054) + 0:(0:9996) = :4999 = :5 0: (:00054) 0:(:4999) = 0:99996 = + = :8 0:4 (:4999) 0:(0:99996) = :00004 = :6 0: (:00004) + 0:(0:99996) = :49999 = :5 0: (:00004) 0:(:49999) = :00000 x (6) = + x (6) = :8 0:4 (:49999) 0:(:00000) = :00000 = x (6) = :6 0: (:00000) + 0:(:00000) = :49999 = :5 x (6) = :5 0: (:00000) 0:(:49999) = :00000 = Por tanto las raices del sistema son: x = ; x = :5; x =. 9

10 Ejemplo Resolver el sistema 8 lineal por el método de Siedel < 0x x + x = x + 0x + x = 4 : x x 0x = 6.. Efectuar los cálculos con cinco decimales. Solución Vemos que se cumple las condiciones a i i 6= 0, i = ; ;. y las desigualdades, X ja i; i j > ja i; j j, es decir 0 > 5; 0 > 4; 0 > j6= De manera que el sitema escribimos en la forma x = + x, esto es x (k+) = : + 0:x (k) 0:x (k) x (k+) = :4 0:x (k+) 0:x (k) x (k+) = :6 0:x (k+) 0:x (k+) ; k = 0; ; ; ::: Siendo la norma kk m : kk m = max i (0:; 0:4; 0:) = 0:4 <. Esto muestra que el método de Seidel es convergente hacia una solución única. Ahora, elegimos arbitrariamente los valores iniciales de las raices, estos son x (0) = : x (0) = 0 x (0) = 0. De manera que: x () = : + 0: (0) 0:(0) = : x () = :4 0: (:) 0:(0) = :04 x () = :6 0: (:8) 0:(:04) = : x () = : + 0: (:) 0:(:) = :0584 x () = :4 0: (:084) 0:(:) = 0:9558 x () = :6 0: (:084) 0:(0:988) = :000 x () = : + 0: (:0584) 0:(:000) = :054 x () = :4 0: (:054) 0:(:000) = 0:96449 x () = :6 0: (:04) 0:(0:96449) = :085 = : + 0: (:054) 0:(:085) = :094 = :4 0: (:094) 0:(:085) = 0:968 = :6 0: (:094) 0:(0:968) = :058 = : + 0: (:094) 0:(:05) = :0 = :4 0: (:0) 0:(:05) = 0:966 = :6 0: (:0) 0:(0:966) = :8489 Por tanto, las raices del sistema son: x = ; x = ;.x = :8. SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES 0

11 Método de Iteración. Consideramosun sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incognitas f(x; y) = 0 () g(x; y) = 0. Supongase que x = x 0, y = y 0 son los valores aproximados de las raíces del sistema (), obtenidos grá camente o por cualquier procedimiento. El proceso de iteración, bajo ciertas condiciones permite mejorar los valores aproximados dados de las raíces. Para ello escribimos el sistema () de la forma: x = ' (x; y) () y = ' (x; y). De manera que, las aproximaciones sucesivas son: x = ' (x 0 ; y 0 ) y = ' (x 0 ; y 0 ) x = ' (x ; y ) y = ' (x ; y ) x = ' (x ; y ) y = ' (x ; y ) ().. x n+ = ' (x n ; y n ) y n+ = ' (x n ; y n ) ; n = 0; ; ; ::: El proceso de iteración () converge si existen los límites = lim n, y = lim n, n! n! entonces los valores del limite son las raices del sistema () y en consecuencia del sistema (): Nota. Tomado un número su cientemente grande de iteraciones sucesivas (), llegamos a los números x n, y n, los cuales di eren de las raíces exactas x = y y = del sistema () en un valor muy pequeño. Teorema. En una región rectangular R = fx 6 x 6 x ; y 6 y 6 y g existe una y solamente un par de raices x = y y = del sistema (). Si:.-Las funciones ' (x 0;y 0), ' (x 0;y 0) están de ndas y son continuamente diferenciables en R.

12 .-Las aproximaciones iniciales x 0, y 0 y todas las aproximaciones sucesivas x n, y n, n = ; ; ; : : : están contenidas en R..-Las desigualdades siguientes son validas en @x 6 q @y 6 q l. En consecuencia las aproximaciones sucesivas () converge hacia laa raíces x = y y = del sistema (). Ejemplo Resolver el sistema no lineal para la raíz positiva x + y = x + x y = ; a partir de las aproximaciones iniciales x 0 = 0 y y 0 = Solución Las grá cas de las funciones F (x; y) = 0 y G(x; y) = 0 son: y x El sistema escribimos ( q en la forma () x = x+y = ' (x; y) y = p x + = ' (x; y) Ahora, debe cumplirse el Teorema; la primera y segunda condición obviamente se cumplen, luego hacemos que se cumpla la condición. para esto escribimos de = q 6 ( y x+ = q ( y x+ = p x x = 0: Reemplazando x 0 = 0 y y 0 =, en las derivadas = = 0 = 0; + 0; 54 = 0;

13 Vemos que se cumple la condición. Las formulas de aproximaciones sucesivas son: x = q x+y y = p x + x n+ = q y n x n+ y n+ = p x n + n = ; ; ; ::: Empezamos con x 0 = 0 y y 0 =, tenemos x = q y 0 x 0+ = :44 y = p x 0 + = x = q y x + = 0:99 y = p x + = :59 x = q y x + = :6 y = p x + = :58 x 4 = q y x + = :04 y 4 = p x + = :546 x 5 = q y 4 x 4+ = :59 y 5 = p x 4 + = :46984 x 6 = q y 5 x 5+ = :68 y 6 = p x 5 + = :5684 x = q y 6 x 6+ = :66 y = p x 6 + = :49909 x 8 = q y x + = :68 y 8 = p x + = :590 x 9 = q y 8 x 8+ = :98 y 9 = p x 8 + = :5065 x 0 = q y 9 x 9+ = :940 y 0 = p x 9 + = :504 x = q y 0 x 0+ = :04 y = p x 0 + = :50849 x = q y x + = :006 y = p x + = :50949 x = q y x + = :04 y = p x + = :50898 x 4 = q y x + = :0 y 4 = p x + = :5095 x 5 = q y 4 x 4+ = :0 y 5 = p x 4 + = :509 x 6 = q y 5 x 5+ = :0 y 6 = p x 5 + = :5098 x = q y x + = :006 y = p x + = :50949 x = q y x + = :04 y = p x + = :50898 x 4 = q y x + = :0 y 4 = p x + = :5095 x 5 = q y 4 x 4+ = :0 y 5 = p x 4 + = :509 x 6 = q y 5 x 5+ = :0 y 6 = p x 5 + = :5098 x = q y 6 x 6+ = :00 y = p x 6 + = :5094 x 8 = q y x + = :09 y 8 = p x + = :5096 x 9 = q y 8 x 8+ = :09 y 9 = p x 8 + = :5096

14 Entonces las aproximaciones a las raices del sistema no lineal son: x ' :09 y ' :5096. Reemplazandolas aproximaciones x ' ; 09 y y ' ; 5096 en el sistema no lineal, resulta x + y = (; 09) + (:5096) = :0000 ' x + x y = (; 09) + :09 (:5096) = 0:99999 ' Nota: Las aproximaciones sucesivas se iteran hasta que los resultados preferentemente se vuelvan a repetir, caso contrario proseguimos las iteraciones hasta obtener el resultado con la exactitud deseado. Método de Newton. Sean x 0 y y 0 las raices aproximadas del sistema no lineal F (x; y) = 0 () G(x; y) = 0. Donde F y G son funciones continuamente diferenciables. Hacemos: x = x n + h n y = y n + k n () Sustituyendo en el sistema no lineal (), tenemos F (x n + h n ; y n + k n ) = 0 G(x n + h n ; y n + k n ) = 0 () Aplicamos la serie de Taylor al sistema (), es decir a F y G pero solamente tomando los primeros términos del desarrollo y obtenemos. F (x n ; y n ) + h n F x (x n ; y n ) + K n F y (x n ; y n ) = 0 G(x n ; y n ) + h n G x (x n ; y n ) + K n G y (x n ; y n ) = 0 (4) Resolvemos el sistema (4) para las incognitas h n y k n. Primero, terminemos el Jacobiano del sistema (4), esto es J(x n ; y n ) = F x(x n ; y n ) F y (x n ; y n ) G x (x n ; y n ) G y (x n ; y n ). Ahora calculamos las incognitas h n y k n : h n = J(x n;y n) F (x n; y n ) F y (x n ; y n ) G(x n ; y n ) G y (x n ; y n ) k n = J(x n;y n) F x(x n ; y n ) F (x n ; y n ) G x (x n ; y n ) G(x n ; y n ). Por tanto, sustituyendo los valores de h n y k n en (), obtenemos la fórmula de recurrencia para las aproximaciones sucesivas de las raíces del sistema no lineal (). x n+ = x n J(x n;y n) F (x n; y n ) F y (x n ; y n ) G(x n ; y n ) G y (x n ; y n ) y n+ = y n J(x n;y n) F x(x n ; y n ) F (x n ; y n ) G x (x n ; y n ) G(x n ; y n ), n = 0; ; ; ::: 4

15 Ejemplo Resolver el sistema no lineal x + y x = x y + x = 4 a partir de las aproximaciones iniciales x 0 = ; y y 0 = ; con una exactitud de tres decimales. Solución Primero evaluamos los valores de x 0 = ; y y = ; en las funciones: F (x 0 ; y 0 ) = x + y x = 0 G(x 0 ; y 0 ) = x y + x 4 = 0 de donde resulta F (x 0 ; y 0 ) = 0; 85 G(x 0 ; y 0 ) = ; 8 Ahora, calculamos el jacobino J(x n ; y n ) = F x(x n ; y n ) F y (x n ; y n ) G x (x n ; y n ) G y (x n ; y n ) = x n y n x n + y n para n = 0; ; ; ::: Evaluamos los valores de x 0 = ; y y 0 = ; en el jacobiano: J(x 0 ; y 0 ) = x 0 y 0 x 0 + y 0 = :4 : 5; 4 : = :48 :88 J(x 0 ; y 0 ) = 9:6., Ahora, calculamos los valores de h 0 y k 0 : h 0 = 0; 85 : 9:6 :8 : = 5;896 9:6 ( ; 8 4; 06) = 9;6 = 0:05 k 0 = :4 0:85 9:6 5:4 :8 = :6 9:6 (6: 4:59) = 9:6 = 0:084. Luego, la primera y aproximación es: x = : 0:05 = :895, y = : + 0:084 = :84. Volvemos al paso inicial, reemplazar x y y en las funciones iniciales F (x ; y ) = x + y x = 0 G(x ; y ) = x y + x 4 = 0 de esto resulta: F (x ; y ) = 0:098, G(x ; y ) = 0:084. Ahora calculamos el jacobino para x y y : J(x ; y ) = x(x ; y ) F y (x ; y ) G x (x ; y ) G y (x ; y ) J(x ; y ) = x y x + y = :9 :68 4:9 :68 = 6:60 :4 J(x ; y ) = ; 949. Ahora, calculamos los valores de h y k : h = 0:098 :68 ;949 0:084 :68 = 0:4 ;949 = 0; 04, 5

16 k = ; 9 0:098 ;949 4:9 0:084 = 0:5 :949 = 0; 0. Luego, la segunda aproximación es: x = :895 0:04 = :8 y = :84 0:0 = : Seguidamente, calculamos el valor de las funciones para x y y : F (x ; y ) = x + y x = 0 G(x ; y ) = x y + x 4 = 0 de esto resulta: F (x ; y ) = 0:00, G(x ; y ) = 0. Calculamos el jacobino para x y y : J(x ; y ) = :4 :4 4:4 ; 4 = 6:4 :06 J(x ; y ) = ; 58 Ahora, calculamos los valores de h y k : h = 0:00 :4 ;58 0:000 :4 = 0:00 :58 = 0. k = :4 0:00 ;58 4: = 0:005 :58 = 0. Luego, la tercera y ultima aproximación es: x = :8 y = :. Por tanto, las raices del sistema no lineal dado son x = :8 y y = :, con una exactitud de tres decimales. 6