Sistemas lineales de ecuaciones
|
|
- María Nieves Fernández Correa
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Sistemas lineales de ecuaciones Conceptos previos a) Sistemas de ecuaciones lineales. b) Solución de un sistema. c) Sistemas triangulares. Resolución de sistemas Métodos directos a) Método de eliminación de Gauss b) Método de Gauss-Jordan Métodos iterativos a) Método de Jacobi b) Método de Gauss- Seidel Definiciones Ecuación lineal Una ecuación lineal en las variables,,,x n es toda expresión del tipo a 1 a 2 a n x n b con a 1,a 2,,a n,b números reales conocidos. Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de m ecuaciones y n variables es a 12 a 1n x n b 1 a 21 a 2n x n b 2 a m1 a m2 a mn x n b m con a ij R, b i R i 1,,m; j 1,,n El sistema anterior puede expresarse matricialmente sin más que considerar
2 a 12 a 1n b 1 A a 21 a 2n, x y b b 2 a m1 a m2 a mn x n b m con lo que las m ecuaciones del sistema quedarían expresadas de la forma Ax b. AlamatrizA se le denomina matriz del sistema, x vector de variables o incógnitas y b vector de términos independientes. Un vector s de la forma s 1 s s 2 es una solución de la ecuación a 1 a 2 a n x n b si al s n sustituir por s 1, por s 2, x 3 por s 3,...,x n por s n la igualdad planteada es cierta, esto es, a 1 s 1 a 2 s 2 a n s n b. De la misma manera, un vector s es solución de un sistema a 1,1 a 1,2 a 1,n x n b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n x n b 2 a m,1 a m,2 a m,n x n b m si la sustituir cada x i por s i planteadas son verdaderas. con i 1,,n, todas y cada una de las m igualdades Cómo resolvemos un sistema, cómo determinamos s la solución (o una de las soluciones) del sistema? Obsérvese que si el sistema propuesto es de tipo triangular, esto es, a 1,1 a 1,2 a 1,n x n 1 a 1,n x n b 1 a 2,2 a 2,n 1 x n 1 a 2,n x n b 2 a n 1,n 1 x n 1 a n 1,n x n b n 1 a n,n x n b n De la última ecuación podremos despejar la variable x n (siempre que 0),
3 x n b n a n,n una vez determinada s n x n 1 b n a n,n, se sustituye en la ecuación anterior y sólo queda despejar a n 1,n 1 x n 1 a n 1,n s n b n 1 a n 1,n 1 x n 1 b n 1 a n 1,n s n y nuevamente tenemos que imponer que a n 1,n 1 0 para poder despejar la variable x n 1 b n 1 a n 1,n s n a n 1,n 1 y así, sucesivamente, iríamos conociendo todos y cada uno de los elementos de s. Como vemos, este método de resolución de sistemas, partiendo de sistemas triangulares es sencillo. Este va a ser nuestro objetivo a la hora de resolver un sistema: trabajar con sistemas triangulares. Para ello haremos uso de las siguientes propiedades elementales: Propiedad 1: Si s es solución de una ecuación e i entonces también es solución de ke i con k R. Propiedad 2: Si s es solución de las ecuaciones e i y e j entonces también es solución de e i e j. Método eliminación de Gauss Es el método más importante de entre los métodos directos de resolución de sistemas lineales. La idea que se sigue en este método es la eliminación sistemática, haciendo uso de las anteriores propiedades, de las variables desde la hasta la x n 1 en determinadas ecuaciones del sistema de partida hasta llegar a una sistema triangular. Consideremos el sistema cuadrado, esto es n n a 1,1 a 1,2 a 1,n x n b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n x n b 2 a n,1 a n,2 a n,n x n b n Supongamos que la matriz del sistema A a ij es no singular, esto es, deta 0, entonces el sistema Ax b tiene una única solución.
4 Paso 1: Si a 1,1 0 entonces elimino la variable desde la segunda ecuación hasta la n-ésimadelaforma: Para cada i 2,,n resto a la i-ésima ecuación la primera multiplicada por m i1 a i,1 a 1,1. El resultado es el sistema a 1 1,1 a 1 1,2 a 1 1,n x n 1 a 1 1,n x n a 2,2 a 3,2 a 2,n 1 x n 1 a 2,n x n a 3,n 1 x n 1 a 3,n x n b 1 1 b 2 b 3 a n 1,2 a n,2 a n 1,n 1 x n 1 a n,n 1 x n 1 a n 1,n x n an,n x n b n 1 bn donde a 1 1,j a 1,j con j 1,,n y b 1 1 b 1. Paso 2: Si a 2,2 0 entonces elimino la variable desde la tercera ecuación hasta la n-ésimadelaforma: Para cada i 3,,n resto a la i-ésima ecuación la segunda multiplicada por m i2 a i,2 a 1,1. Aparecerá un sistema equivalente al anterior con coeficientes a 3 i,j a i,j m i,2 a 2,j y b i 3 b i m i,2 b 2 con j 3,,n de la forma a 1 1,1 a 1 1,2 a 1 1,3 x 3 a 1 1,n x n 1 a 1 1,n x n a 2,2 a 2,3 x 3 a 3 3,3 x 3 a 2,n 1 x n 1 a 2,n x n 3 a 3,n 1 x n 1 a 3 3,n x n 3 a n 1,2 x 3 a 3 n,2 x 3 3 a n 1,n 1 x n 1 3 a n,n 1 x n 1 3 a n 1,n x n an,n 3 x n b 1 1 b 2 b b n 1 bn 3 Paso 3: Si a 3 3,3 0 elimino la variable x 3 desde la cuarta ecuación a la n-ésima con las operaciones oportunas del mismo tipo de las descritas. De manera sucesiva vamos eliminando las varibles x 4 desde la quinta ecuación a la última, con x 5,,x n 1 hasta obtener un sistema de la forma:
5 a 1 1,1 a 1 1,2 a 1 1,3, x 3 a 2,2 a 2,3 x 3 a 3 3,3 x 3 1 a 1,n 1 x n 1 a 1 1,n x n a 2,n 1 x n 1 a 2,n x n 3 a 3,n 1 x n 1 a 3 3,n x n n 1 a n 1,n 1 x n 1 a n 1 n 1,n x n b 1 1 b 2 b 3 3 n 1 b n 1 an,n n x n bn n Ya estamos en condiciones de encontrar la solución. El siguiente resultado nos garantiza bajo qué condiciones será posible aplicar al sistema Ax b el método de eliminación gaussiana. Teorema Sea A una matriz n n cuyas submatrices menores principales de orden k 1,,n son invertibles ( esto es, todos tienen determinante distinto de cero, en particular la matriz A), entonces el método de eliminación gaussiana es posible completarlo para el sistema Ax b sin encontrar ningún divisor nulo. a 12 a 1n Si A a 21 a 2n a n1 a n2 sus matrices menos principales son a 12 a 13 A 1, A 2 a 12 a 21, A 3 a 21 a 23, y en general, a 31 a 32 a 33 A k a 12 a 1k a 21 a 2k a k1 a k2 a kk k 4,...,n con A n A. Nota: El proceso de eliminación gaussiana también se puede aplicar a un sistema m n siguiendo las mismas etapas anteriormente indicadas sólo que al final tendremos un sistema
6 reducido del tipo a 1 1,1 a 1 1,2 a 1 1,3, x 3 a 1 1,m x m a 2,2 a 2,3 x 3 a 2,m x m a 3 3,3 x 3 a 3 3,m x m 1 a 1,m1 x m1 a 1 1,n x n a 2,m1 x m1 a 2,n x n 3 a 3,m1 x m1 a 3 3,n x n am,m m x m m a m,m1 x m1 am,n m x n b 1 1 b 2 b 3 3 bn m para que resulte un sistema triangular como en el caso descrito más arriba, pasamos al segundo miembro todos los sumandos correspondientes a las variables x m1,,x n y procedemos a resolver el sistema triangular resultante. La solución vendrá expresada en términos de las x m1,,x n. Habrá una familia de soluciones dependiendo de m n parámetros. Método de eliminación de Gauss-Jordan La idea que se sigue en este método es la eliminación gaussiana haciendo uso de las anteriores propiedades, de las variables desde la hasta la x n en determinadas ecuaciones del sistema de partida hasta llegar a una sistema diagonal Consideremos el sistema cuadrado, esto es n n a 1,1 a 1,2 a 1,n x n b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n x n b 2 a n,1 a n,2 a n,n x n b n Supongamos que la matriz del sistema A a i,j es no singular, esto es, deta 0, entonces el sistema Ax b tiene una única solución. Paso 1: Si a 1,1 0 entonces elimino la variable desde la segunda ecuación hasta la n-ésimadelaforma: Para cada i 2,,n resto a la i-ésima ecuación la primera multiplicada por m i,1 a i,1 a 1,1. El resultado es el sistema
7 a 1,1 a 1,2 a 1,n x n 1 a 1,n x n a 2,2 a 3,2 a 2,n 1 x n 1 a 2,n x n a 3,n 1 x n 1 a 3,n x n b 1 b 2 b 3 a n 1,2 a n,2 a n 1,n 1 x n 1 a n,n 1 x n 1 a n 1,n x n an,n x n b n 1 bn donde a 1,j a 1,j con j 1,,n y b 1 b 1. Paso 2: Si a 2,2 0 entonces elimino la variable en la primera ecuación y desde tercera ecuación hasta la n-ésima de la forma: Para cada i 1,3,,n resto a la i-ésima ecuación la segunda multiplicada por m i2 a i,2 a 1,1. Aparecerá un sistema equivalente al anterior con coeficientes a 3 i,j a i,j m i,2 a 2,j y b i 3 b i m i,2 b 2 con j 1,3,,n de la forma a 3 1,1 a 3 1,3 x 3 a 3 1,n x n 1 a 3 1,n x n a 2,2 a 2,3 x 3 a 3 3,3 x 3 a 2,n 1 x n 1 a 2,n x n 3 a 3,n 1 x n 1 a 3 3,n x n 3 a n 1,2 x 3 a 3 n,2 x 3 3 a n 1,n 1 x n 1 3 a n,n 1 x n 1 3 a n 1,n x n an,n 3 x n b 1 3 b 2 b b n 1 bn 3 Paso 3: Si a 3 3,3 0 elimino la variable x 3, en la primera, segunda y desde la cuarta ecuación a la n-ésima con las operaciones oportunas del mismo tipo de las descritas. De manera sucesiva vamos eliminando las varibles x 4 desde en todas las ecuaciones salvo la cuarta,e igual proceso seguimos con las restantes x 5,,x n hasta obtener un sistemadelaforma:
8 a n 1,1 a n 2,2 a n 3,3 x 3 n a n 1,n 1 x n 1 an,n n x n b 1 n b 2 n b 3 n n b n 1 bn n Ya estamos en condiciones de encontrar la solución, sin más que despejar de cada ecuación la variable correspondiente. Para garantizar que podremos resolver el sistema por medio del método de Gauss-Jordan, es necesario el mismo resultado que en el caso de Gauss. Métodos iterativos Dado un sistema de cuaciones lineales Ax b, un método iterativo para la resolución de dicho sistema, es un procedimiento que genera una sucesión,,x k, de soluciones aproximadas a partir de una x 0 inicial dada, y tal que, en las condiciones adecuadas, dichas sucesión de aproximaciones tiende a la solución exacta cuando k. Los métodos iterativos que se estudiarán son los de Jacobi y Gauss-Seidel. Método de Jacobi Dado una sistema lineal de ecuaciones a 12 a 1n x n b 1 a 21 a 2n x n b 2, con deta 0 a n1 a n2 x n b n pasaremos a describir cómo se formaría la relación que me permite construir la sucesión de aproximaciones a la solución. Más adelante veremos qué condiciones habrá que exigir para garantizar la convergencia. Paso 1: Se despeja de la primera ecuación. ( Si 0, entonces es posible intercambiar esa ecuación con otra k tal que el a k1 0)
9 1 b 1 a 12 a 1n x n Paso 2: Se despeja de la segunda ecuación. ( Si 0, entonces es posible intercambiar esa ecuación con otra l tal que el a l2 0) 1 b 2 a 21 a 23 x 3 a 2n x n Paso j: Se despeja x j de la j-ésima ecuación. ( Si a jj 0, entonces es posible intercambiar esa ecuación con otra k tal que el a k2 0) x j 1 a jj b j a j,1 a j,j 1 x j 1 a j,j1 x j1 a j,n x n Paso n: Se despeja x n de la n-ésima ecuación. Si a n,n 0 x n 1 b n a n1 1 x n 1 Una vez hemos despejada cada una de las n variables en una de la n ecuaciones formamos el siguiente método x k1 1 1 a11 x k1 2 1 a22 b 1 a 1,2 k a 1,n xn k b 2 a 21 k a 2,3 x 3 k a 2,n xn k x k1 j 1 ajj b j a j,1 x k 1 a j,j 1 x k j 1 a j,j1 x k j1 a,jn xn k xn k1 1 ann b n a n1 x k k 1 1 x n 1 Podemos escribirlo en forma matricial k1 k1 xn k1 b 1 b 2 b n 0 a 12 a 1n a 21 0 a n1 a n1 a n2 0 k k xn k que escribiremos abreviadamente x k1 c J M J x k el vector c J ylamatrizm J son el vector y la matriz del método de Jacobi. Si se toma una solución aproximada inicial x 0 arbitraria, es frecuente escoger todos los x i 0 0, podemos calcular el vector, una vez conocido, podemos calcular x yasí
10 sucesivamente. Es frecuente recoger toda esa información elaborando una tabla k k k xn k xn 1 xn xn 3 Método de Gauss-Seidel Dado una sistema lineal de ecuaciones a 12 a 1n x n b 1 a 21 a 2n x n b 2, con deta 0 a n1 a n2 x n b n Como hemos visto en el método de Jacobi para obtener k1, se utilizan k,x 3 k,,xn k, pero resulta que ya conocemos k1 por qué no utilizar esta aproximación más avanzada de en vez de la k-ésima?, igualmente cuando procedamos a calcular una x j k1 tambien trataremos de manejar las aproximaciones k1 que ya tengamos calculadas. Paso 1: Se despeja de la primera ecuación. ( Si 0, entonces es posible intercambiar esa ecuación con otra k tal que el a k1 0, está garantizado por ser deta 0) 1 b 1 a 12 a 1n x n k1 1 b 1 a 12 k a 1n xn k Paso 2: Se despeja de la segunda ecuación. ( Si 0, entonces es posible intercambiar esa ecuación con otra l tal que el a l2 0) 1 b 2 a 21 a 23 x 3 a 2n x n Paso j: Se despeja x j de la j-ésima ecuación. ( Si a jj 0, entonces es posible intercambiar esa ecuación con otra k tal que el a k2 0)
11 x j 1 a jj b j a j1 a jj 1 x j 1 a jj1 x j1 a jn x n Paso n: Se despeja x n de la n-ésima ecuación. Si 0 x n 1 b n a n1 1 x n 1 Una vez hemos despejada cada una de las n variables en una de la n ecuaciones formamos el siguiente método x k1 1 1 a11 x k1 2 1 a22 b 1 a 12 k a 1n xn k b 2 a 21 k a 23 x 3 k a 2n xn k x k1 j 1 ajj b j a j1 x k 1 a jj 1 x k j 1 a jj1 x k j1 a jn xn k xn k1 1 ann b n a n1 x k k 1 1 x n 1 Podemos escribirlo en forma matricial k1 k1 xn k1 b 1 b 2 b n 0 a 12 a 1n a 21 0 a n1 a n1 a n2 0 k k xn k que escribiremos abreviadamente x k1 c J M J x k el vector c J ylamatrizm J son el vector y la matriz del método de Jacobi. Si se toma una solución aproximada inicial x 0 arbitraria, es frecuente escoger todos los x i 0 0, podemos calcular el vector, una vez conocido, podemos calcular x yasí sucesivamente. Es frecuente recoger toda esa información elaborando una tabla k k k 1 3 xn k xn 1 xn xn 3
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales ALBERTO VIGNERON TENORIO Dpto. de Matemáticas Universidad de Cádiz Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 1 1.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Definiciones..........
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una
Más detallesTema 5: Sistemas de ecuaciones lineales.
TEORÍA DE ÁLGEBRA: Tema 5 DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales 1 Definiciones generales Definición 11 Una ecuación lineal con n incognitas es una expresión del tipo a 1
Más detallesMétodo de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas. (Parte II)
Método de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas (Parte II) Métodos numéricos para sistemas lineales Solución numérica de EDPs requiere resolver sistemas de ecuaciones lineales
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detallesMatriz sobre K = R o C de dimensión m n
2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0
Más detallesTEMA 4: Sistemas de ecuaciones lineales II
TEM 4: Sistemas de ecuaciones lineales II ) Teorema de Rouché-Frobenius. ) Sistemas de Cramer: regla de Cramer. 3) Sistemas homogeneos. 4) Eliminación de parámetros. 5) Métodos de factorización. 5) Métodos
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Más detallesMatrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Problemas para examen Antes de resolver un problema en el caso general, se recomienda considerar casos particulares (por ejemplo, n = 4 y n = 50). En el caso
Más detallesTema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES
Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos
Más detalles1. Sistemas de ecuaciones lineales
Departamento de Matemática Aplicada CÁLCULO COMPUTACIONAL. Licenciatura en Química (Curso 25-6) Sistemas de ecuaciones lineales Práctica 2 En esta práctica vamos a ver cómo se pueden resolver sistemas
Más detallesTema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales 1. Introducción Los sistemas de ecuaciones resuelven problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana que tiene que ver con las Ciencias Sociales. Nos
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Generalidades Definición [Sistema de ecuaciones lineales] Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de m igualdades
Más detallesEjemplo 1. Ejemplo introductorio
. -Jordan. Ejemplo 1. Ejemplo introductorio. -Jordan Dos especies de insectos se crían juntas en un recipiente de laboratorio. Todos los días se les proporcionan dos tipos de alimento A y B. 1 individuo
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x
Más detallesDeterminante de una matriz
25 Matemáticas I : Preliminares Tema 3 Determinante de una matriz 31 Determinante de una matriz cuadrada Definición 67- Sea A una matriz cuadrada de orden n Llamaremos producto elemental en A al producto
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Más detallesDefinición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:
Más detalles3- Sistemas de Ecuaciones Lineales
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 3- Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. Introducción Consideremos el siguiente sistema, en él tenemos k ecuaciones y n incógnitas. Los coeficientes a ij son números reales
Más detallesEsta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )
Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a
Más detallesAlgebra Lineal XXVI: La Regla de Cramer.
Algebra Lineal XXVI: La Regla de Cramer José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: jrico@salamancaugtomx
Más detallesTema 2.- Formas Cuadráticas.
Álgebra. 004 005. Ingenieros Industriales. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema.- Formas Cuadráticas. Definición y representación matricial. Clasificación de las formas
Más detallesSistem as de ecuaciones lineales
Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a
Más detallesEcuaciones matriciales AX = B y XA = B. Cálculo de la matriz inversa
Ecuaciones matriciales AX = B y XA = B Cálculo de la matriz inversa Objetivos Aprender a resolver ecuaciones matriciales de la forma AX = B y XA = B Aprender a calcular la matriz inversa con la eliminación
Más detallesMATRICES DETERMINANTES
MATRICES Y DETERMINANTES INTRODUCCIÓN, MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de
Más detallesTema 2. Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales Estructura del tema. Definiciones básicas Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales Clasificación de los sistemas según el número de soluciones. Teorema
Más detallesMatrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales.
UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Resúmenes Curso 2007-2008 Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. Una matriz A de orden m n es una colección de m
Más detallesSistemas de Ecuaciones. Lineales I
Sistemas de Ecuaciones Lineales I Preliminares: Expresión matricial. Dificultades numéricas. 521230-1 - DIM Universidad de Concepción Expresión matricial Todo sistema de ecuaciones lineales puede escribirse
Más detallesMENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES
MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES 1. Introducción. 2. Determinante de una matriz de 3 x 3. 3. Menores y cofactores. 4. Determinante de una matriz de n x n. 5. Matriz triangular. 6. Determinante de una
Más detallesTema 1: Otros tipos de ecuaciones. En este tema trataremos otras ecuaciones distintas a las de primer y segundo grado.
Tema 1: Otros tipos de ecuaciones En este tema trataremos otras ecuaciones distintas a las de primer y segundo grado. Ecuaciones polinómicas Caso general: son las formadas por un polinomio igualado a cero.
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES Dos ecuaciones lineales con dos
de SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Dos m con n Sergio Stive Solano 1 Febrero de 2015 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com de SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Dos m con n Sergio Stive
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SOCIALES CAPÍTULO 2 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesTema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales
Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales Eva Ascarza-Mondragón Helio Catalán-Mogorrón Manuel Vega-Gordillo Índice 1 Definición 3 2 Solución de un sistema de ecuaciones lineales 4 21 Tipos de sistemas ecuaciones
Más detallesMat r i z in v e r s a
Unidad 2 Método de GaUss Mat r i z in v e r s a M U lt i pli cat i va Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Representará un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas mediante una matriz
Más detallesTema 1: Matrices y Determinantes
Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesTema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
Tema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Sistemas Lineales pueden ser de No lineales Gráficamente Ecuaciones se clasifican se resuelven Algebraicamente Compatible determinado Compatible indeterminado
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesSistema de Ecuaciones Lineales Matrices y Determinantes (3ª Parte)
Sistema de Ecuaciones Lineales Matrices y Determinantes (ª Parte) Definición: Sistemas Equivalentes Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si y solo si tienen el mismo conjunto solución Teorema fundamental
Más detallesResumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 1 Matrices Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K R) consiste en una colección de números (o escalares) del cuerpo
Más detallesDeterminantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5
DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno
Más detallesUnidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.
Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 1 Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. 1.- Factorización de polinomios. M. C. D y m.c.m de polinomios. Un número a es raíz de un polinomio es 0.
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene cantidades desconocidas llamadas variables
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Este tema resulta fundamental en la mayoría de las disciplinas, ya que son muchos los problemas científicos y de la vida cotidiana que requieren resolver simultáneamente
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 74 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:
Más detallesTEMA 6. Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas
TEMA 6 Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas 1. Ecuación de Primer grado con dos incógnitas Vamos a intentar resolver el siguiente problema: En una bolsa hay bolas azules y rojas,
Más detallesBLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.
BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES JUNIO 06/07. a) Calcula el rango de la matriz A según los valores del parámetro a 3 a A = 4 6 8 3 6 9 b)
Más detallesMétodo de Sustitución
Método de Sustitución El nombre de este método nos indica qué es lo que vamos a hacer: para resolver el S.E.L. de dos ecuaciones con dos incógnitas vamos a «despejar» una de las incógnitas de una de las
Más detallesEcuaciones de 2º grado
Ecuaciones de 2º grado Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax 2 + bx +c = 0 con a 0. Resolución de ecuaciones de segundo grado Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos
Más detallesEcuaciones de 1er Grado 2. Incógnitas. Ing. Gerardo Sarmiento Díaz de León
Ecuaciones de 1er Grado 2 Incógnitas Ing. Gerardo Sarmiento Díaz de León 2009 Teoría sobre ecuaciones de primer grado con 2 icognitas solución por los 3 metodos CETis 63 Ameca, Jalisco Algebra Área matemáticas
Más detallesUnidad 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS
Unidad 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS 1.1.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ecuación lineal Las ecuaciones siguientes son lineales: 2x 3 = 0; 5x + 4y = 20; 3x + 2y + 6z = 6; 5x 3y + z 5t =
Más detallesAlgebra Lineal Tarea No 22: Valores y vectores propios Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)
Algebra Lineal Tarea No : Valores y vectores propios a algunos problemas de la tarea (al 9 de junio de 04. Para la matriz A A Indique cuáles vectores son vectores propios: ( ( ( v, v, v 3 3 Recordemos
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 1 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesTema 3 Resolución de Sistemas deecuaciones Lineales
Tema 3 Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales E.T.S.I. Informática Indice 1 Introducción 2 Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios
Más detallesDesarrollo de las condiciones de optimalidad y factibilidad. El problema lineal general se puede plantear como sigue:
Método simplex modificado Los pasos iterativos del método simplex modificado o revisado son exactamente a los que seguimos con la tabla. La principal diferencia esá en que en este método se usa el algebra
Más detallesTema 3 Álgebra Matemáticas I 1º Bachillerato. 1
Tema 3 Álgebra Matemáticas I 1º Bachillerato. 1 TEMA 3 ÁLGEBRA 3.1 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS LA DIVISIBILIDAD EN LOS POLINOMIOS Un polinomio P(x) es divisible por otro polinomio Q(x) cuando el cociente
Más detallesMatrices escalonadas y escalonadas reducidas
Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Objetivos. Estudiar las definiciones formales de matrices escalonadas y escalonadas reducidas. Comprender qué importancia tienen estas matrices para resolver
Más detalles!MATRICES INVERTIBLES
Tema 4.- MATRICES INVERTIBLES!MATRICES INVERTIBLES!TÉCNICAS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR 1 Hemos hablado anteriormente de la matriz cuadrada unidad de orden n (I n ).. Es posible encontrar
Más detallesVectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos
Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I Virginia Mazzone Contenidos Vectores y Matrices Bases y Ortonormailizaciòn Norma de Vectores Ecuaciones Lineales Algenraicas Ejercicios Vectores y Matrices Los
Más detallesMatemáticas Aplicadas a los Negocios
LICENCIATURA EN NEGOCIOS INTERNACIONALES Matemáticas Aplicadas a los Negocios Unidad 4. Aplicación de Matrices OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD Al finalizar esta unidad, el estudiante será capaz de:
Más detallesSistemas lineales con parámetros
4 Sistemas lineales con parámetros. Teorema de Rouché Piensa y calcula Dado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones: 3 0 y = 0 z + y 3z = 0 y = Aplica la teoría. Escribe los siguientes
Más detallesLección 1. Algoritmos y conceptos básicos.
Página 1 de 8 Lección 1. Algoritmos y conceptos básicos. Objetivos. La primera lección del curs está dedicada a repasar los conceptos y algoritmos del álgebra lineal, básicos para el estudio de la geometría
Más detallesTema 1. Álgebra lineal. Matrices
1 Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 0.1 Introducción Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran número de situaciones. Son conocidos los métodos de resolución de los mismos cuando tienen dos
Más detallesApéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales
Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.
Más detallesDos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales
Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley
Más detallesDERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 2 El procedimiento mediante el cuál se obtiene la derivada de una función se conoce como derivación. Llamaremos funciones elementales a las funciones polinómicas,
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
6 Sistemas de ecuaciones lineales 61 Sistemas de ecuaciones lineales Se llama ecuación lineal en n incógnitas sobre R a una expresión de la forma a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b con los a i en R para
Más detallesMAT web:
Clase No. 7: MAT 251 Matrices definidas positivas Matrices simétricas Dr. Alonso Ramírez Manzanares Depto. de Matemáticas Univ. de Guanajuato e-mail: alram@ cimat.mx web: http://www.cimat.mx/ alram/met_num/
Más detallesTEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
TEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.- POLINOMIOS Recordemos que un monomio es una expresión algebraica (combinación de letras y números) en la que las únicas operaciones que aparecen entre las
Más detallesTema 3: El Método Simplex. Algoritmo de las Dos Fases.
Tema 3: El Método Simplex Algoritmo de las Dos Fases 31 Motivación Gráfica del método Simplex 32 El método Simplex 33 El método Simplex en Formato Tabla 34 Casos especiales en la aplicación del algoritmo
Más detallesSe llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria
T.3: MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Determinantes de segundo orden Se llama determinante de a: 3.2 Determinantes de tercer orden Se llama determinante de a: Ejercicio 1: Halla los determinantes de las siguientes
Más detallesRAICES DE ECUACIONES Y SISTEMA DE ECUACIONES
RAICES DE ECUACIONES Y SISTEMA DE ECUACIONES Justo Rojas T. Laboratorio de Simulación Computacional de Materiales Facultad de Ciencias Físicas Universidad Nacional Mayor de San Marcos Abril 24, 2012 Curso
Más detallesMatemáticas. D e t e r m i n a n t e s
Matemáticas D e t e r m i n a n t e s El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución
Más detalles1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
1 1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 11 SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN Un sistema de ecuaciones diferenciales del tipo dx 1 dt a 11 tx 1 + a 1n tx n + f 1 t dx n dt a n1 tx 1 + a nn tx n + f n t
Más detalles2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores).
Bloque 3. ECUACIONES Y SISTEMAS (En el libro Temas 4 y 5, páginas 63 y 81) 1. Ecuaciones: Definiciones. Reglas de equivalencia. 2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores).
Más detallesTEMA 3: La Matriz Inversa y Las Ecuaciones Matriciales
MATEMÁTICAS 2º Bach. BLOQUE : ALGEBRA José Ramón Padrón TEMA 3: La Matriz Inversa y Las Ecuaciones Matriciales Dándole vueltas a las matrices: La matriz inversa INTRODUCCIÓN Observa los precios de tres
Más detallesECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Las ecuaciones polinómicas son aquellas equivalentes a una ecuación cuyo primer
Más detallesEl método simplex 1. 1 Forma estándar y cambios en el modelo. 2 Definiciones. 3 Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex.
El método simplex Forma estándar y cambios en el modelo. Definiciones. Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex. Definiciones y notación. Teoremas. Solución factible básica inicial.
Más detallesMatrices, Determinantes y Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 1 Matrices, Determinantes y Sistemas de ecuaciones lineales 1.1. Matrices Definición: Una MATRIZ es un conjunto de números reales dispuestos en forma de rectángulo, que usualmente se delimitan por
Más detallesEstos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.
TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesMatrices equivalentes. El método de Gauss
Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.
Sistemas de Ecuaciones Lineales Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales 2
Más detallesSistema de ecuaciones algebraicas. Eliminación de Gauss.
Sistema de ecuaciones algebraicas. Eliminación de Gauss. Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j.a.otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com
Más detallesTemario de Matemáticas
Temario de Matemáticas BLOQUE I: ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA 1 o Grado en Biología Alma Luisa Albujer Brotons Índice general 1. Matrices 1 1.1. Conceptos básicos y ejemplos...............................
Más detallesLección 5.1: Matrices y determinantes. Primeros conceptos. Objetivos de esta lección
Matemáticas Tema 5: Conceptos básicos sobre matrices y vectores Objetivos Lección 5.: y determinantes Philippe Bechouche Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Granada 3 4 phbe@ugr.es 5 Qué
Más detallesMétodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales
Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Problemas para examen Si en algún problema se pide calcular el número de flops (operaciones aritméticas con punto flotante), entonces en el
Más detalles5 Métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales
94 5 Métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales La resolución de sistemas de ecuaciones lineales también puede hacerse con fórmulas iterativas que permiten acercarse a la respuesta
Más detallesDeterminantes. Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A).
Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno a 11 = a 11 5 = 5 Determinante
Más detalles3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de Ecuaciones Lineales 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Sistemas de Ecuaciones en General. 2.- Sistemas Equivalentes. 3.- Sistemas de
Más detallesMATRICES. M(n) ó M nxn A =
MTRICES Definición de matriz. Una matriz de orden m n es un conjunto de m n elementos pertenecientes a un conjunto, que para nosotros tendrá estructura de cuerpo conmutativo y lo denotaremos por K, dispuestos
Más detallesInversas de las matrices triangulares superiores
Inversas de las matrices triangulares superiores Ejercicios Objetivos. Demostrar que la inversa a una matriz triangular superior también es triangular superior. Requisitos. Algoritmo de inversión de una
Más detallesUNIDAD 10: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
UNIDAD 10: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. 10.1 Estudio elemental de la ecuación de segundo grado. Expresión general. 10.2 Resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas. 10.3 Planteamiento
Más detallesA1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.
A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas
Más detalles2º) El límite de la función f(x)=x, tanto en - como en + : Veamos como ejemplo el límite de la función polinómica f(x)=3x 2-8 en + :
LÍMITES LECCIÓN 6 Índice: Cálculo de ites en el infinito. Epresión indeterminada -. Epresión indeterminada /. Epresión indeterminada 0. Epresión indeterminada ±. Límites de sucesiones. Cálculo de ites
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS. Sistemas de ecuaciones lineales DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas,,,, n es un conjunto de m igualdades
Más detallesDefinición de la matriz inversa
Definición de la matriz inversa Objetivos Aprender la definición de la matriz inversa Requisitos Multiplicación de matrices, habilidades básicas de resolver sistemas de ecuaciones Ejemplo El número real
Más detallesTema 2: Polinomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Tema 2: Polinomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Polinomios Ecuaciones Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado Ecuaciones polinómicas de grado superior Ecuaciones racionales Ecuaciones
Más detalles