Diferenciación numérica: Sistemas de ecuaciones lineales ordinarias Método de disparo Método predictor-corrector

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1 Clase No. 23: Diferenciación numérica: Sistemas de ecuaciones lineales ordinarias Método de disparo Método predictor-corrector MAT 251 Dr. Alonso Ramírez Manzanares Depto. de Matemáticas Univ. de Guanajuato cimat.mx web: alram/met_num/ Dr. Joaquín Peña Acevedo CIMAT A.C. cimat.mx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

2 Sistema de EDOs (I) Sean y i (x) : R R para i = 1, 2,..., n. Queremos resolver el PVI Si y 1 y 2 = f 1 (x, y 1, y 2,..., y n ) = f 2 (x, y 1, y 2,..., y n ). y = f n n (x, y 1, y 2,..., y n ) y i (a) = α i, i = 1, 2,..., n. y 1 y y 1 2 y α 1 f 1 Y =, Y 2 α 2 f 2 =., α =, F =...,. y n y α n f n n Entonces el sistema se puede reescribir el PVI como Y = F(x, Y), Y(a) = α. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

3 Sistema de EDOs (II) Para resolverlo, podemos extender cualquiera de los métodos de solución vistos previamente. Por ejemplo, podemos usar un método basado en series de Taylor de orden m, Y(x + h) = Y(x) + hy (x) + h2 2 Y (x) hm m! Y(m) (x). un método tipo Runge-Kutta. Por ejemplo, el de cuarto orden: donde Y k+1 = Y k + h 6 (K 1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 ) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

4 Sistema de EDOs (III) K 1 = F(x, Y) K 2 = F(x + h/2, Y + hk 1 /2) K 3 = F(x + h/2, Y + hk 2 /2) K 4 = F(x + h, Y + hk 3 ) Ejemplo. Resolver y 1 y 2 = y 1 y 2 + 2x x 2 x 3 = y 1 + y 2 4x 2 + x 3 La solución del problema es y 1 (0) = 1 y 2 (0) = 0 y 1 (x) = x 2 + e x cos x, y 2 (x) = x 3 + e x sin x. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

5 Sistema de EDOs (IV) Resolviendo en [0, 2] con n = 50 se obtiene lo siguiente: c(dmin, dmax) y 1 y c(a, b) Solución y 1 (2) y 2 (2) Euler RK Analítica Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

6 Sistema de EDOs (V) Diferencias entre la solución analítica y la solución numérica c(dmin, dmax) Diferencias en y1 Diferencias en y2 c(dmin, dmax) 2e 07 0e+00 2e 07 4e 07 6e 07 Diferencias en y1 Diferencias en y c(a, b) Euler explícito c(a, b) Runge-Kutta de cuarto orden Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

7 Ecuaciones de orden superior (I) Para resolver la ecuación podemos introducir las variables y = f (x, y, y ) y 1 = y y 2 = y Entonces y 1 = y 2 y 2 = f (x, y 1, y 2 ) Para resolver la ecuación necesitamos una condición inicial y 1 (a) = α y 2 (a) = β = y(a) = α 1 y (a) = α 2 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

8 Ecuaciones de orden superior (II) En general, para resolver el PVI y (n) = f (x, y, y,..., y (n 1) ) y(a) = α 1 y (a) = α 2. y (n 1) (a) = α n Hacemos y 1 = y, y 2 = y,..., y n = y (n 1) y obtenemos el sistema de ODEs: y 1 = y 2 y 2 y n 1 y n = y 3. = y n = f (x, y 1, y 2,..., y n ) y i (a) = α i i = 1, 2,..., n Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

9 Ejemplo (I) Consideremos el PVI y = y, y(0) = 1, y (0) = 0, para x [0, 40]. La solución del problema es y(x) = cos x. Reescribimos el problema como un sistema de ecuaciones ordinarias: y = y 1 2, y = y 2 1, y 1 (0) = 1, y 2 (0) = 0, Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

10 Ejemplo (II) n = 400, h = 0.1 Euler explícito c(dmin, dmax) Solucion analitica Solucion numerica c(a, b) RK4 c(dmin, 1.4) Solucion analitica Solucion numerica Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27 c(a, b)

11 Ejemplo (III) Para usar el método de Euler implícito, tenemos que y 1,k+1 = y 1,k + hf 1 (x k+1, y 1,k+1, y 2,k+1 ) = y 1,k + hy 2,k+1 y 2,k+1 = y 2,k + hf 2 (x k+1, y 1,k+1, y 2,k+1 ) = y 2,k hy 1,k+1 Entonces, para cada k = 1,..., n tenemos que resolver un sistema lineal 2 2: 1 h y1,k+1 y1,k = 1 h y 2,k+1 y 2,k Usando la discretización con n = 400 (h = 0.1) obtenemos lo siguiente Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

12 Ejemplo (IV) c(dmin, 1.4) Solucion analitica Solucion numerica c(a, b) Resultado obtenido con Euler implícito Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

13 Problema de valores en la frontera (I) En el intervalo [a, b] queremos resolver el problema de valores en la frontera: y = f (x, y, y ) y(a) = α y(b) = β El problema lo podríamos resolver con los métodos vistos anteriormente si tuvieramos y (a). Este problema es más complicado que un PVI si queremos resolverlo usando un método explícito. Una estrategia para resolverlo de esta forma es tratar de adivinar el valor de y (a) y esperar a que cuando calculemos y(b) coincida con β. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

14 Problema de valores en la frontera (II) c(min(yk[, 1]), max(yk[, 1])) y(b) = 44.0 y(b) = 19.0 y(b) = 6.0 y(b) = c(a, b + 1.5) Ejemplo: y = 9.8, y(0) = 1.5, y(5) = 6. Si y(b) = β, tratamos con otro valor para y (a). Un procedimiento que hace esto de forma sistematica es el método de disparo. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

15 Método de disparo (I) Tenemos que dar un valor a y (a), digamos y (a) = z. Al resolver la ecuación tendremos que el valor de la solución en x = b dependerá de z, y por eso lo denotamos como ϕ(z). Dado y (a) = z, el método de disparo combina cualquier método que resuelve un PVI con algún método de cálculo de ceros de funciones. La idea es la siguiente. Resolvemos dos PVIs: y = f (x, y(x), y (x)) y(a) = α y (a) = z i para dos valores z 1 y z 2 que elegimos de forma arbitraria. Con esto, obtenemos dos soluciones numéricas en las que en un caso tenemos que y(b) = ϕ(z 1 ) y en el otro y(b) = ϕ(z 2 ). Si suponemos que ϕ(z) es una función lineal, entonces podemos determinar un cero de ϕ(z) β de la siguiente manera. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

16 Método de disparo (II) c( 1, 6) β φ(z 2 ) φ(z 1 ) φ(z) z 1 z 2 z 3 z z 3 z β ϕ(z c( 2, 11) 2 ) = z 2 z 1 ϕ(z 2 ) ϕ(z 1 ) z 2 z 1 z 3 = z 2 + [β ϕ(z 2 )] ϕ(z 2 ) ϕ(z 1 ) Si al resolver el PVI con y (a) = z 3 se tiene que y(b) = β, entonces repetimos la estimación de la derivada en x = a: Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

17 Método de disparo (III) z i z i 1 z i+1 = z i + [β ϕ(z i )] ϕ(z i ) ϕ(z i 1 ) hasta que ϕ(z i+1 ) β < ε dado. Ejemplo. y = 3 2 y2, y(0) = 4, y(1) = 1. i z i ϕ(z i ) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

18 Un refinamiento Se puede mejorar la forma de interpolar los valores. Una forma es usar calcular el polinómio cúbico p(z) que pasa por los puntos (z i 3, ϕ(z i 3 )), (z i 2, ϕ(z i 2 )), (z i 1, ϕ(z i 1 )), (z i, ϕ(z i )) y definimos z i+1 como la raíz de p(z) β = 0. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

19 Un refinamiento Se puede mejorar la forma de interpolar los valores. Una forma es usar calcular el polinómio cúbico p(z) que pasa por los puntos (z i 3, ϕ(z i 3 )), (z i 2, ϕ(z i 2 )), (z i 1, ϕ(z i 1 )), (z i, ϕ(z i )) y definimos z i+1 como la raíz de p(z) β = 0. Para no tener que resolver la ecuación cúbica, otra forma es calcular el polinomio cúbico q( ) que pasa por los puntos y entonces calculamos z i+1 = q(β). ( ϕ(z j ), z j ) j = i 3, i 2, i 2, i. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

20 Métodos multipaso (I) Tenemos el problema y = f (x, y), x [a, b], con y(a) = α. Hemos visto métodos de solución de un paso: para calcular y i+1 sólo necesitamos conocer y i. Para calcular y i+1 un método multipaso, necesitamos conocer y i, y i 1,..., y i s con s 1. Ejemplo de un método dos pasos. Tenemos que y k+1 = y k + xk+1 x k f (s, y(s)) ds Para aproximar la integral, podemos reemplazar el integrando por un polinomio de interpolación. Por ejemplo, podemos construir el polinomio de grado 1 que interpola los puntos Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

21 Métodos multipaso (II) f k = f (x k, y k ) f (x k, y(x k )) f k 1 = f (x k 1, y k 1 ) f (x k 1, y(x k 1 )) Así, Entonces P 1 (s) = f k + f k f k 1 (s x k ) h y k+1 y k = xk+1 x k f (s, y(s)) ds xk+1 x k = f k s + f k f k 1 x k+1 (s x k ) 2 2h x k P 1 (s) ds = f k h + f k f k 1 h 2 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

22 Métodos multipaso (III) y k+1 y k = h 2 (3f k f k 1 ) Este método es explícito y pertenece a la familia de métodos Adams-Bashforth. Método explícito de Adams-Bashforth de 2 pasos y 0 = α, y 1 = α 1, Este método tiene un error O(h 3 ). y k+1 = y k + h 2 [3f (x k, y k ) f (x k 1, y k 1 )] Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

23 Métodos multipaso (IV) Observaciones: Supongamos que tenemos un método de s pasos. Hay que tomar en cuenta que no podemos usar el método multipaso para calcular y 1, y 2,..., y s. Así el primer valor que podemos calcular con este método es y s+1. Tenemos que buscar una forma de obtener los primeros s valores. Una alternativa es usar un método explícito para calcular y 1, y 2,..., y s. Es importante que el método que elijamos para realizar cálculos los primeros valores sea del mismo orden que el método multipaso. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

24 Métodos multipaso (V) Tenemos métodos explícitos, como los siguientes: Método explícito de Adams-Bashforth de 3 pasos y 0 = α, y 1 = α 1, y 2 = α 2, y i+1 = y i + h 12 [23f (x i, y i ) 16f (x i 1, y i 1 ) + 5f (x i 2, y i 2 )] Este método tiene un error O(h 4 ). Método explícito de Adams-Bashforth de 4 pasos y 0 = α, y 1 = α 1, y 2 = α 2, y 3 = α 3, y i+1 = y i + h 24 [55f (x i, y i ) 59f (x i 1, y i 1 ) + 37f (x i 2, y i 2 ) 9f (x i 3, y i 3 )] Este método tiene un error O(h 5 ). Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

25 Métodos multipaso (VI) También hay métodos implícitos. Método implícito de Adams-Moulton de 2 pasos y 0 = α, y 1 = α 1, y i+1 = y i + h 12 [5f (x i+1, y i+1 ) + 8f (x i, y i ) f (x i 1, y i 1 )] Este método tiene un error O(h 4 ). Método implícito de Adams-Moulton de 3 pasos y 0 = α, y 1 = α 1, y 2 = α 2, y i+1 = y i + h 24 [9f (x i+1, y i+1 ) + 19f (x i, y i ) 5f (x i 1, y i 1 ) + f (x i 2, y i 2 )] Este método tiene un error O(h 5 ). Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

26 Métodos multipaso (VII) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

27 Métodos predictor-corrector (I) Es usual combinar los métodos explícitos y los implícitos, y el resultado es un método predictor-corrector: Se usa un método explícito para predecir el valor de una aproximación, y se aplica un método implícito para corregir esa predicción. Por ejemplo, para obtener un método de cuarto orden predictor-corrector podemos proceder de la siguiente manera: Calculamos los valores y 1, y 2, y 3 usando el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Predecimos el valor ŷ 4 usando el método explícito de Adams-Bashforth de cuatro pasos: ŷ 4 = y 3 + h 24 [55f (x 3, y 3 ) 59f (x 2, y 2 ) + 37f (x 1, y 1 ) 9f (x 0, y 0 )] Calculamos y 4 usando el método implícito de Adams-Moulton de tres pasos. y 4 = y 3 + h 24 [9f (x 4, ŷ 4 ) + 19f (x 3, y 3 ) 5f (x 2, y 2 ) + f (x 1, y 1 )] Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27

28 Métodos predictor-corrector (II) Continuamos de esta forma para calcular los valores restantes. Ejemplo. y = y t 2 + 1, t [0, 2], y(0) = 0.5. x i y(x i ) y i y(x i ) y i Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 27