Ecuaciones Diferenciales Odi Ordinariasi. Métodos Numéricos y

Transcripción

1 Ecuaciones Diferenciales Odi Ordinariasi Métodos Numéricos Simulación. ió Segundo de Grado en Física.

2 Métodos explícitos de un solo paso En la clase anterior estudiamos distintas versiones de métodos de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales i del tipo: d dx = f ( x, ; k) Todas las variantes del método de Runge-Kutta se clasifican como métodos explícitos de un solo paso. Explícitos, porque sólo requieren evaluaciones de la función f(x,) en puntos cuos valores de x e son conocidos De un solo paso, porque para evaluar + =(x + ) sólo necesitamos conocer x e. Todos los restantes valores que necesitemos para encontrar x +, + los determinamos a partir de x e.

3 Métodos multipaso Supongamos que estamos resolviendo la ecuación diferencial ordinaria: d dx = f ( x, ; k ) Y que conocemos los puntos (x 0, 0 ) (x, ),,(x, ): Si usamos un método de Runge-Kutta de orden N, para pasar del punto (x, ) al (x +, + ) al menos tengo que acer N evaluaciones de la función f(x,). Una estrategia alternativa puede ser usar los puntos (x -N, -N ), (x -N+, -N+ ),,(x, ) Cuando se sigue esta estrategia, se dice que se usa un método multipaso.

4 Eemplo: método de Adams-Basfort de 3 er orden (I) Supongo conocidos los puntos: (x 0, 0 ), (x, ), (x 2, 2 ) del problema de la desintegración radiactiva: 0 Puntos conocidos Solución de: d = dx 2 xo x x2

5 Eemplo: método de Adams-Basfort de 3 er orden (II) Estimamos la derivada de la solución entre x 2 el x 3 a partir de las derivadas en los puntos que conocemos. f = f = 0 f f ( x0, 0) ( x, ) 23 f2 6 f + 5 f0 f p = 2 f = f x, ) 2 ( 2 2

6 Eemplo: método de Adams-Basfort de 3 er orden (III) Avanzamos la solución un paso usando nuestra estimación de la derivada entre x 2 x = 2 f p 2 3 x2 x3

7 Método de Adams-Balfort de 3er orden: implementación en Matlab. Aparte de x e almacenamos los valores de la derivada f(x,). Necesitamos usar un método de un solo paso asta conocer tres puntos de la solución. Aquí usamos valores conocidos de Aquí usamos valores conocidos de la derivada f(x,).

8 Adams-Basfort: eemplo El método de Adams-Basfort de tercer orden es un método multipaso explícito.

9 Ventaas de los métodos multipaso. Es fácil aumentar el orden del método: sólo a que considerar más puntos previos. Con esta estrategia se puede: Crear métodos de orden mu alto. Se usan cuando se requiere muca precisión en la solución. Crear métodos de orden variable, considerando más o menos puntos previos según nos convenga. Si están programados de forma que se almacenen los valores previos de f(x,), requieren menos evaluaciones de f(x,) que los métodos de un solo paso. Esto los ace más eficientes (aorro de tiempo) que los Esto los ace más eficientes (aorro de tiempo) que los métodos de un solo paso cuando la solución no tiene variaciones bruscas f(x,) es complicada de evaluar.

10 Métodos implícitos Se llaman métodos implícitos aquellos en los que a que acer evaluaciones de la función f(x,) en puntos en los que no conocemos el valor de. Por eemplo, en el método de Euler explícito, acemos: x = x + + ( ) f f x, () (2) (3) = = + f + En cambio, en el método de Euler implícito, acemos: x = x + f ( x ) = f +, + () (2) (3) + = + f + Como en el paso (2) no conocemos +, el paso (3) implica resolver una ecuación algebraica no lineal.

11 Método de Euler implícito (I) Buscamos un punto que cumpla: = + f ( x, ) 0 + ( 0? Solución de: d = dx? f ( x, ) =? x0 x

12 Método de Euler implícito (II) El punto (x, ) que aceptamos es aquel para el f(x, ) es la pendiente de la recta que lo conecta con el punto (x 0, 0 ) 0 = 0 d dx = x0 x

13 Método de Euler implícito: resultados NOTA: el método de Euler implícito es un método de primer orden, como su equivalente explícito.

14 Método de Euler implícito: implementación en Matlab. Ecuación de la que se obtiene () a partir de (-) Uso la función fsolve de la Optimization Toolbox de Matlab para resolver la ecuación algebraica no lineal g(s)=0. Solución de g(s)=0. Valor cercano a la solución de g(s)=0

15 Métodos implícitos de orden superior. Existen métodos implícitos de orden superior a. Por eemplo, el método del trapecio o método de Crank-Nicolson: 2 [ f ( x, ) f ( x, )] + = relación implícita El método del trapecio es un algoritmo implícito de un solo paso de orden 2. Conforme aumenta el orden del método aumenta el número de evaluaciones de la función f(x,). Por este motivo, no se suelen usar métodos implícitos de orden mu alto.

16 Ventaas de los métodos implícitos Los métodos implícitos son superiores a los métodos explícitos para aquellos problemas que se dicen rígidos. Cuando entre los términos de la solución de una EDO, al menos uno depende del tiempo mu rápidamente el resto lentamente, se dice que el problema es rígido. En los métodos explícitos, la estabilidad de la solución numérica depende del término que cambia con el tiempo con maor rapidez. En los métodos explícitos, el paso lo controla el término que varía más rápidamente con el tiempo. Si sólo nos interesa el término que varía lentamente con el tiempo, esto nos puede obligar a acer mucos pasos. Los métodos implícitos no tienen esta limitación.

17 Eemplo de problema rígido con solución analítica. Consideremos la ecuación diferencial ordinaria: d dx = a + bx ( 0) = o Solución ( x ) = analítica: b o e a + b x a b a ax + 2 e 2 Término transitorio. Este término varía rápidamente con el tiempo si a>. Término estacionario. Este término varía lentamente con el tiempo. Si intentamos resolver este problema por el método de Euler explícito, el paso debe ser menor que 2/a para que el método sea estable. Si a es grande sólo nos interesa conocer la parte estacionaria de la solución, esto nos impone un paso proibitivamente pequeño.

18 Comparativa: método de Euler implícito explícito. El método de Euler implícito permite un tamaño de paso El método de Euler implícito permite un tamaño de paso más grande que el método de Euler explícito.

19 Métodos implícitos multipaso Al igual que para los métodos explícitos, también existen métodos implícitos multipaso. Eemplo: Método de Adams-Moulton de cuarto orden. 24 [ 9 f ( x, ) + 9 f ( x, ) 5 f ( x, ) f ( x, )] + = relación implícita Su fundamento es el mismo que el de los métodos multipaso explícitos pero involucran también la derivada en el punto final del paso.

20 Métodos predictor-corrector corrector Estos métodos combinan un método explícito un método implícito. Por eemplo, método de Adams-Basfort-Moulton. () Etapa predictora: Método de Adams-Basfort (explícito). = [ 23 f ( x, ) 6 f ( x, ) 5 f ( x, ) ] + + (2) Etapa correctora: Método de Adams-Moulton (implícito). 24 [ 9 f ( x, ) + 9 f ( x, ) 5 f ( x, ) f ( x, )] + = De esta forma no tenemos que resolver una ecuación algebraica no lineal conservamos el orden de la etapa correctora, pero el método se ace explícito perdemos las ventaas de los algoritmos implícitos.

21 Métodos predictor-corrector corrector en Matlab [x,]=ode3(odefun,xspan,0,options) ode[orden del método][orden en el que se evalúa el error] La función ode3 de Matlab usa un algoritmo predictor-corrector combinado con un control de paso variable un mecanismo para que el orden del método sea variable. El orden del método varía entre 3 dependiendo de la precisión requerida. Su uso se recomienda en aquellos problemas que requieran muca precisión en la solución en los que la derivada de la función incógnita it varíe suavemente.

22 Algoritmos para problemas rígidos Métodos implícitos i multipaso. li [x,]=ode5s(odefun,xspan,0,options) Es un método multipaso implícito de paso variable orden variable entre 5. Métodos implícitos de un solo paso. [x,]=ode23s(odefun,xspan,0,options) [x,]=ode23t(odefun,xspan,0,options) [x,]=ode23tb(odefun,xspan,0,options)

23 Bibliografía del Tema. Numerical Recipes, ttp:// A. Quarterioni, F. Salieri, Cálculo científico con Matlab Octave (capítulo 7), Springer-Verlag g (2006), ISBN Cleve Moler. Numerical computing wit Matlab. ttp:// Abramowitz and Stegun. Handbook of matematical functions. ttp:// and W.E. Boce, R.C DiPrima. Elementar differential equations and boundar value problems. Wile and sons (200, 9ª edición), ISBN