Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos

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Miguel Ángel Martin Hernández
hace 6 años
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1 Licenciatura en Electrónica Computación: Métodos Numéricos METODO DE EULER Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones dierenciales ordinarias (EDO), esto es, cuando la unción involucra solo una variable independiente: d ( x, ) El método se basa de orma general en la pendiente estimada de la unción para extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor: O bien, Nuevo valor valor anterior + pendiente x tamaño de paso i + φh () De esta manera, la ormula (), se aplica paso a paso para encontrar un valor en el uturo así trazar la traectoria de la solución. La igura, muestra el procedimiento aplicado con la ecuación (). Figura. Predicción de un nuevo valor en la solución. El método de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en x i. φ ( x ),

2 Licenciatura en Electrónica Computación: Métodos Numéricos ( x i, i ), es la ecuación dierencial evaluada en x i i. Sustituendo esta estimación de la pendiente en la ecuación (), se tiene: i + i + ( xi, i )h () La ecuación (), se le conoce como el método de Euler. En esta ormula se predice un nuevo valor de por medio de la pendiente que es igual a la primera derivada en el valor original de x, este nuevo valor habrá de extrapolarse en orma lineal sobre el tamaño de paso h. Ejercicio. Use el método de Euler para integrar numéricamente la siguiente ecuación dierencial: d 3 x + x 0x Desde x 0 hasta x 4, con un tamaño de paso h 0.5. Con la condición inicial de que cuando x 0 entonces. Obtenga la solución exacta integrando analíticamente compare los resultados con los obtenidos por el método de Euler. Tabular los resultados de Euler, la solución real el error relativo porcentual. Ejemplo: Aplicando la ecuación (), para encontrar la primera aproximación: x 0 La pendiente es: + ( x, )h Sustituendo en la ormula de Euler (0,) -(0) 3 +(0) -0(0) (0.5) 5.5

3 Licenciatura en Electrónica Computación: Métodos Numéricos METODO DE HEUN Es un método que mejora la estimación de Euler, al estimar la pendiente con dos derivadas para el intervalo h evaluado, una en el punto inicia la otra en el punto inal. Este procedimiento se ilustra en la igura. Figura. Corrección de la pendiente con el método de Heun al usar dos derivadas. En a) predictor b) corrector. En el método de Euler la pendiente al inicio de un intervalo es: i ( x ), i i La cual se usa para extrapolar linealmente a i + i + ( xi, i )h (a) En el método de Heun la es una predicción intermedia conocida como ecuación predictor. Esta permite la estimación de la pendiente al inal del intervalo (ver igura a): ( x ),

4 Licenciatura en Electrónica Computación: Métodos Numéricos Las dos pendientes calculadas, al inicio inal del intervalo se pueden combinar para obtener una pendiente promedio (ver igura b) para el intervalo: + ( x, ) ( x, ) i i + Esta pendiente promedio se utiliza después para extrapolar linealmente desde i hasta usando el método de Euler, que se conoce ahora como ecuación corrector: ( xi, i ) + ( x, ) h i + (b) Las ecuaciones (a) (b), constituen el método de Heun. La ecuación (b) posee en ambos lados del signo igual a, por lo que se puede aplicar de orma iterativa ella misma, varias veces en cada intervalo. De esta manera en cada intervalo se podrá mejorar repetidamente una estimación de. Ejercicio. Use el método de Heun para integrar numéricamente la siguiente ecuación dierencial: d 4e. 8 0 x 0.5 Desde x 0 hasta x 4, con un tamaño de paso h. Con la condición inicial de que cuando x 0 entonces. Obtenga la solución exacta integrando analíticamente compare los resultados con los obtenidos por el método de Heun. Tabular los resultados de la solución real, Heun para una iteración para quince iteraciones en cada intervalo el error relativo porcentual. Solución analítica de la ecuación dierencial: x 4e (3) Condiciones iniciales: x 0, La ecuación dierencial en (3) es de la orma: + a g( x) (4)

5 Licenciatura en Electrónica Computación: Métodos Numéricos La solución probada para la ecuación dierencial (4) es: ax ce (5) En (5), c es arbitraria, esto es, la solución representa una ininidad de soluciones de acuerdo al valor de c. Comparando (5) con (3), se encuentra que en (5) a 0.5. Se reordena la ecuación (3) de acuerdo a, después se multiplica el resultado por el término 0. de la solución (5) para simpliicar el primer miembro: e 5 x e 0.8x e 0.8x + 0.5e 4e e (6) El primer miembro de la ecuación (6), es la derivada de la unción derivada en (6): 0. x ( e ) 4e e d 8 e 0. 5x, sustituendo esta (7) Separando de (7) los términos de, x para integrar actorizando despues, se tiene: 0.5 x.3 x 0.5 x 4 e e + ce (8) Integrando (8): 4.3x e e + ce.3 Factorizando: 4 0.8x (9) e + ce.3 Aplicando las condiciones iniciales a (9), x 0,, para evaluar c, se tiene, que 4 c, sustituendo este valor en (9) actorizando:.3 x x x (0) ( e e ) + e.3 La ecuación (0) es la solución analítica a la ecuación dierencial (3) con condiciones iniciales x 0,. Método de Heun.

6 Licenciatura en Electrónica Computación: Métodos Numéricos Se calcula la pendiente en el punto inicial del primer intervalo: x 0 0, 0 (0,) 4e 0.8(0) -0.5() 3 Con la ecuación (a), se obtiene una estimación de + 3() 5 Para mejorar el estimado para, se predice la pendiente en el punto inal del primer intervalo: (,5) 4e 0.8() -0.5(5) Se calcula el valor de la pendiente promedio en el intervalo de x 0 hasta x : Con la ecuación (b), se obtiene una estimación mejorada de en x x () El valor anterior es el resultado de Heun sin iterar la ecuación (b). El resultado anterior se puede mejorar si se itera la ecuación (b), utilizando para esto obtenido: ( ) 0.8() 3 + 4e () Note que el %Er disminue al compararse con la solución exacta. El resultado anterior se puede mejorar si se itera de nuevo la ecuación (b), utilizando para esto obtenido: ( 6.758) 0.8() 3 + 4e () Continuar hasta 5 iteraciones hacerlo en cada intervalo a evaluar.

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