Optimización. Búsqueda en una Dimensión ITESM. Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 1/19. Dr. E Uresti

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1 Optimización Búsqueda en una Dimensión Dr. E Uresti ITESM Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 1/19

2 Algunos de los métodos numéricos de búsqueda de óptimos de una función en varias variables se basan en métodos de búsqueda de óptimos en una variable. Por ejemplo, el método de ascenso más rápido elige un punto dado y determina la dirección de máximo crecimiento en tal punto. Esta dirección es la del gradiente de la función en dicho punto. Así, y partiendo del punto y siguiendo esta dirección, avanza para localizar el óptimo en dicha dirección. Imaginese avanzando en línea recta y tomando en cuenta sólo la evaluación de la función para determinar el punto en la línea con la mayor evaluación. Una vez alcanzado este punto, se determina la dirección de máximo crecimiento en tal punto y se repite el proceso de búsqueda. Por su valor práctico, los métodos de búsqueda en una dimensión son dignos de revisar. B y Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 2/19

3 Previo a revisar los métodos, es importante saber si el óptimo que buscamos existe y que no habrá más de uno. Una función que efectivamente tiene un sólo óptimo recibe un nombre especial: Definición Una función es unimodal si sólo tiene un óptimo (relativo o absoluto). En caso que tenga varios óptimos se dice multimodal. B y Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 3/19

4 Unimodal Multimodal B y Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 4/19

5 Método de la Sección Dorada La estrategia de este método se basa en tres puntos iniciales: dos considerados los extremos de un intervalo (x 1 y x 2 ) y el tercero (x 3 ) entre los dos primeros de tal suerte que relación entre la distancia de este punto interno al extremo x 2 (x 2 x 3 ) y la distancia entre los extremos (x 2 x 1 ) es siempre una constante: B y x 2 x 3 x 2 x 1 = = τ = Note que el punto x 3 divide al segmento [x 1 : x 2 ] en dos partes: la parte [x 1 : x 3 ] es más pequeña que la parte [x 3 : x 2 ]: el segmento [x 3 : x 2 ] es el % de [x 1 : x 2 ], mientras que [x 1 : x 3 ] tiene una longitud que es el %. x 1 x 3 x 2 Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 5/19

6 El método itera generando un siguiente punto x 4 en [x 3 : x 2 ] (la parte más amplia) de manera que se cumple: x 4 x 1 x 2 x 1 = τ B y Note que las fórmulas convenientes para el cálculo de x 3 y x 4 son: x 4 = (1 τ)x 1 +τ x 2. y x 3 = τ x 1 +(1 τ)x 2. Y la razón es porque en estas fórmulas no se requiere que x 1 < x 2. x 1 x 3 x 4 x 2 Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 6/19

7 Observemos las siguientes razones: x 4 x 1 x 2 x 1 = ((1 τ)x 1+τ x 2 ) x 1 x 2 x 1 = τ x 2 τ x 1 x 2 x 1 = τ B y x 2 x 3 x 2 x 1 = x 2 (τ x 1 +(1 τ)x 2 ) x 2 x 1 = τ x 2 τ x 1 x 2 x 1 = τ x 3 x 1 x 4 x 1 = (τ x 1+(1 τ)x 2 ) x 1 (1 τ)x 1 +τ x 2 x 1 = (1 τ)(x 2 x 1 ) τ (x 2 x 1 ) = 1 τ τ = τ x 2 x 4 x 2 x 3 = x 2 ((1 τ)x 1 +τ x 2 ) x 2 τ x 1 (1 τ)x 2 = (1 τ)(x 2 x 1 ) τ (x 2 x 1 ) = 1 τ τ = τ Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 7/19

8 I 1 I 4 I 5 I 2 I 3 τ = I 3 I 1 = I 4 I 1 = I 2 I 4 = I 5 I 3 = I 6 1 τ = I 2 I 1 = I 5 I 1 = I 6 I 4 = I 6 I 3 = x 3 x 1 x 4 x 2 Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 8/19

9 Dependiendo de la función a maximizar, el algoritmo escoge tres puntos de los cuatro disponibles de manera que la situación se repite en las proporciones de los intervalos. En general, si I i es la longitud del intervalo en la iteración i se cumple que: B y I n = τ n 1 I 1 Por tanto, conociendo el intervalo inicial (I 1 ) y sabiendo a qué precisión se desea estimar el punto (I n ), es fácil estimar el total de iteraciones requeridas para que este método se aproxime al valor requerido: n = 1+ ln(i n) ln(i 1 ) ln(τ) Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 9/19

10 Ubicación del Intervalo El método de la sección dorada requiere de la ubicación de los tres primeros puntos x 1, x 2 y x 3 como se describen anteriormente. Cuando el método se aplica a la determinación de un máximo de una función f(x), los puntos deben satisfacer: B y f(x 1 ) < f(x 3 ) y f(x 3 ) f(x 2 ). Es decir, la función sube y cae. Al procedimiento para encontrar tales puntos recibe el nombre de Ubicación del Intervalo de Trabajo (). x 1 x 3 x 2 Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 10/19

11 La estrategia inicia a partir de un punto x 1 y teniendo un incremento de x inicial s. Se genera un siguiente punto x 3 = x 1 +s. Si f(x 1 ) f(x 3 ) habrá que buscar hacia atrás cambiando intercambiando los puntos y el signo del incremento. Si f(x 1 ) < f(x 3 ), el incremento se agranda en la proporción τ por medio de la fórmula s = s/τ. B y f(x 1 ) < f(x 3 ) f(x 1 ) f(x 3 ) x 1 x 3 x 3 = x 1 x 1 = x 3 s = s Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 11/19

12 Un siguiente punto se genera hacia adelante x 2 = x 3 +s. Si f(x 3 ) f(x 2 ) los tres puntos buscados están determinados. Si f(x 3 ) < f(x 2 ), entonces el procedimiento se repite tomando x 1 = x 3, x 2 = x 3 y s = s/τ. Observe que el intervalo de bracketing va creciendo en la proporción 1/τ ( 1.618). B y f(x 3 ) f(x 2 ) f(x 3 ) < f(x 2 ) τ s s τ s s s/τ x 1 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 12/19

13 Crecimiento del intervalo de f(x 1 ) < f(x 3 ) f(x 3 ) f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 3 ) f(x 2 ) (1+ 1 τ )s s 1 τ s x 1 x 3 x 2 Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 13/19

14 Algoritmo Basado en la Sección Dorada [1.] Inicie con un punto x 1 y un incremento s; tome f 1 f(x 1 ). [2.] Tome x 3 x 1 +s y f 3 f(x 3 ). [3.] Si (f 1 > f 3 ), intercambie (x 1,f 1 ) y (x 3,f 3 ) y tome s s. [4.] Tome s s/τ, x 2 x 3 +s, y f 2 f(x 2 ). [5.] Si (f 3 > f 2 ), vaya a [7.] [6.] Tome (x 1,f 1 ) (x 3,f 3 ) y (x 3,f 3 ) (x 2,f 2 ) y vaya a [4.] [7.] Tome x 4 (1 τ)x 1 +τ x 2 y f 4 f(x 4 ). [8.] Si (f 3 f 4 ), tome (x 2,f 2 ) (x 1,f 1 ) y (x 1,f 1 ) (x 4,f 4 ); vaya a [10.] [9.] Tome (x 1,f 1 ) (x 3,f 3 ) y (x 3,f 3 ) (x 4,f 4 ); [10.] SiCriterio de paro = OK, termine; caso contrario vaya a [7.] B y Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 14/19

15 Casos en la comparación de f 4 vs f 3 I 1 I 4 I 5 I 2 I 3 I 1 I 4 I 5 I 2 I 3 x 1 x 3 x 4 x 2 x 1 x 3 x 4 x 2 x 1 x 3 x 2 x 2 x 3 x 1 Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 15/19

16 Aplique el algoritmo anterior para encontrar el máximo de la función f(x) = x 2 1 partiendo de x 1 = 1 y con un primer intervalo de s = 0.5. B y Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 16/19

17 Aplique el algoritmo anterior para encontrar el máximo de la función f(x) = x 2 1 partiendo de x 1 = 1 y con un primer intervalo de s = 0.5. B y Determinación de la dirección de avance x 1 f(x 1 ) s x 3 = x 1 + s f(x 3 ) f(x 1 ) < f(x 3 )? sí Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 16/19

18 Aplique el algoritmo anterior para encontrar el máximo de la función f(x) = x 2 1 partiendo de x 1 = 1 y con un primer intervalo de s = 0.5. B y Determinación de la dirección de avance x 1 f(x 1 ) s x 3 = x 1 + s f(x 3 ) f(x 1 ) < f(x 3 )? sí Ubicación x 1 f(x 1 ) s x 3 f(x 3 ) s = s/τ x 2 = x 3 + s f(x 2 ) f 2 f no sí Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 16/19

19 Aplique el algoritmo anterior para encontrar el máximo de la función f(x) = x 2 1 partiendo de x 1 = 1 y con un primer intervalo de s = 0.5. B y Determinación de la dirección de avance x 1 f(x 1 ) s x 3 = x 1 + s f(x 3 ) f(x 1 ) < f(x 3 )? sí Ubicación x 1 f(x 1 ) s x 3 f(x 3 ) s = s/τ x 2 = x 3 + s f(x 2 ) f 2 f no sí Refinamiento s x 1 f(x 1 ) x 3 f(x 3 ) x 2 f(x 2 ) x 4 = (1 τ)x 1 + τ x 2 f(x 4 ) Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 16/19

20 Encuentre el punto óptimo (máximo) por el método de Mayor Ascenso combinado con el método de la sección dorada a las funciones: f(x,y,z) = 3x 2 2xy 6x 3y 2 2y z 2 B y Partiendo de P(2,2,1) y tomando s = 1 en cada aplicación de la sección dorada. Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 17/19

21 Encuentre el punto óptimo (máximo) por el método de Mayor Ascenso combinado con el método de la sección dorada a las funciones: f(x,y,z) = 3x 2 2xy 6x 3y 2 2y z 2 B y Partiendo de P(2,2,1) y tomando s = 1 en cada aplicación de la sección dorada. Solución La dirección de máximo crecimiento es la del gradiente: f =< 6x 2y 6, 2x 6y 2, 2z > Así f(p) =< 22, 18, 2 >; por tanto, la dirección unitaria de máximo crecimiento es: v =< , , >. De donde, la función f(x,y,z) restringida a P +t v queda: g(t) = f(x = P 1 +tv 1,y = P 2 +tv 2,z = P 3 +tv 3 ) = t t 2 Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 17/19

22 Apliquemos ahora el método de la sección dorada a partiendo de t = 0 y con s = 1. g(t) = t t 2 B y Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 18/19

23 1. Use el método de la sección dorada para determinar con una tolerancia de 0.05 la solución óptima de : Max x 2 +2x Sujeto a 3 x 5 B y 2. Use el método de la sección dorada para determinar con una tolerancia de 0.05 la solución óptima de : Max x e x Sujeto a 1 x 3 3. Encuentre el punto máximo por el método de Mayor Ascenso combinado con el método de la sección dorada a las funciones: a) f(x,y) = (x 3) 2 (y 1) 2 partiendo de P(2,2) y tomando s = 1 en cada aplicación de la sección dorada. b) f(x,y) = 3x 2 2xy 6x 3y 2 2y 3 partiendo de P(2,2) y tomando s = 1 en cada aplicación de la sección dorada. Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 19/19