Primer Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema A) 1

Transcripción

1 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas Primer Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema A) 1 Instrucciones: Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. Escriba con bolígrafo negro. No desprenda las hojas. Durante el examen no puede hablar con compañeros, no puede usar calculadora, celular, apuntes, cuadernos, textos ni aparatos electrónicos. Escriba todo su análisis si desea recibir el máximo puntaje. Buena suerte. Tiempo: 120 minutos. Question Points Score Total: 50 Chequee su sección en la tabla Nombre: Código: Firma: Sección Profesor 01 José Ricardo Arteaga B. 06 César Galindo M. 11 Mikhail Malakhaltsev 16 Carlos Segovia 21 Ramiro de la Vega 26 Ramiro de la Vega Bogotá, Septiembre 15, 2012 Mi sección 1 El juramento del uniandino dice: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad

2 Código: Tema A Pág. 2 de No hay créditos parciales. Las cinco partes no están relacionadas. Llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), según sea el caso. Justificación corta. (a) (2 points) Existe una función f(x,y) tal que f x (x,y) = x+4y, f y (x,y) = 3x y. (b) (2 points) El dominio de f(x,y) = 1 x y es (,1].... (c) (2 points) Si f(x,y) = 4 x 2 y 2, entonces el vector (2,2) es perpendicular a la curva de nivel 2 de f(x,y) en el punto (1,1).... (d) (2 points) Sea f(x,y) una función suave tal que f x (1,1) = 2, f y (1,1) = 3 y sea r(t) = (t,t 2 ) una parametrización de una parábola. Entonces la derivada de la función compuesta g(t) = (f r)(t) = f( r(t)) en t = 1 es igual a (e) (2 points) Sea f(x,y) = 4 x 2 y 2. Entonces la dirección en que la función f crece lo más rápido posible en el punto (1,1) es (2,1).... Solution: (a) F f xy f yx y por el teorema de Clairault debe suceder que f xy = f yx. (b) F El dominio es {(x,y) x+y 1} (c) V (2,2) = f(1,1) y el punto (1,1) pertenece a la curva de nivel x 2 +y 2 = 2. (d) F g (1) = f(1,1) r (1) = 4. (e) F f(1,1) = ( 2, 2). Pautas de corrección: No hay créditos parciales. Para cada ítem: 1. Respuesta correcta Justificación correcta...1 Problema 1 continúa en la página siguiente...

3 Prob. 1 cont... Código: Tema A Pág. 3 de 15

4 Código: Tema A Pág. 4 de (10 points) Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. Encuentre la ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de intersección del paraboloide z = x 2 +y 2 con el elipsoide 4x 2 +y 2 +z 2 = 9 en el punto P( 1,1,2). Resp. Solution: La recta tangente buscada es la intersección de los planos tangentes a las superficies. El vector dirección de la curva tangente vive en los dos planos tangentes y por tanto es normal a los vectores normales de las superficies. Sean f(x,y,z) = x 2 + y 2 z y g(x,y,z) = 4x 2 + y 2 + z 2, entonces los gradientes representan vectores normales a la superficies definidas por las ecuaciones f(x,y,z) = 0 y g(x,y,z) = 9, respectivamente. Dado que f( 1,1,2) = ( 2,2, 1) y g( 1,1,2) = ( 8,2,4), el vector v = (10,16,12) = f( 1,1,2) g( 1,1,2) es un vector que tiene la misma dirección que la recta tangente a la curva intersección de las dos superficies. Ahora que tenemos el vector dirección v = (10,16,12) y el punto P( 1,1,2) las ecuaciones paramétricas de la recta pedida son x = 1+10t,y = 1+16t,z = 2+12t. Respuesta: x = 1+10t,y = 1+16t,z = 2+12t. Pautas de corrección: 1. Por cada vector normal en el punto P correcto Producto cruz correcto Conoce la ecuación de una recta y la usa para encontrar la respuesta correcta.4 Problema 2 continúa en la página siguiente...

6 Código: Tema A Pág. 6 de Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. Sea C la elipse que se obtiene al intersectarse la superficie elipsoidal x2 el plano x = 3. (a) (4 points) Escriba una parametrización para C. + y2 + z = 1 con (b) (3 points) Calcule la curvatura máxima de C y encuentre los puntos en la elipse donde se obtiene dicha curvatura 2. (c) (3 points) Calcule la curvatura mínima de C y encuentre los puntos en la elipse donde se obtiene dicha curvatura. Solution: Resp. (a) Resp. (b) Resp. (c) (a) Una posible parametrización es r(t) = (3,4cost,5sint) con 0 t < 2π. Respuesta: r(t) = (3,4cost,5sint). (b) Usando esta parametrización, tenemos que r (t) = (0, 4sint,5cost) y r (t) = (0, 4cost, 5sint). Entonces la curvatura viene dada por: κ(t) = r (t) r (t) = 20 ( 16cos 2 t+25sin 2 t ) 3/2 r (t) 3 Para encontar los puntos críticos calculamos su derivada, κ (t) = 3 2 (20)( 16cos 2 t+25sin 2 t ) 5/2 (18sintcost) = 3 2 (20)( 16cos 2 t+25sin 2 t ) 5/2 (9sin2t) (2) Los puntos críticos de esta función ocurren cuando sin2t = 0. Por lo tanto los 20 puntos están en t = 0,π/2,π,3π/2. La curvatura máxima es = 5 16 y se alcanza en los puntos (3,0,±5). Ocurre en dos puntos de la curva. Respuesta: κ max = 5 en (3,0,±5) κ(t) = r (t) r (t) r (t) 3 (1) Problema 3 continúa en la página siguiente...

7 Prob. 3 cont... Código: Tema A Pág. 7 de (c) La curvatura mínima es = 4 y se alcanza en los puntos (3,±4,0). Ocurre 25 en dos puntos de la curva. Respuesta: κ min = 4 en (3,±4,0). 25 Pautas de corrección: 1. Encuentra una parametrización cualquiera de C Encuentra el valor de la curvatura máxima...1 Encuentra un punto donde la curvatura es máxima...1 Encuentra el otro punto donde la curvatura es máxima Encuentra el valor de la curvatura mínima...1 Encuentra un punto donde la curvatura es mínima... 1 Encuentra el otro punto donde la curvatura es mínima No obtiene los resultados correctos. Si no encuentra los valores de la curvatura ni máximo ni mínimo pero tiene la curvatura correcta expresada en términos de t, es decir tiene bien el resultado de (1) No obtiene alguna parametrización correcta, pero el análisis y resultados están sin errores puede obtener máximo Análisis geométrico. Si los puntos(son 4 puntos, dos donde hay curvatura máxima y dos donde hay curvatura mínima) son encontrados de forma geométrica usando el gráfico y la intuición, por cada punto bien encontrado...1 Problema 3 continúa en la página siguiente...

9 Código: Tema A Pág. 9 de Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. La superficie de una laguna se puede representar por una región D del plano xy (x e y medidos en decámetros) tal que la profundidad de la laguna (medida en piés) en el punto (x,y) está dada por la expresión 300 3x 2 y 2. Yolanda está en el punto P(1, 2). (a) (2 points) En qué puntos la laguna tiene profundidad máxima y cuál es esta profundidad? (b) (2 points) En qué dirección debería nadar Yolanda de tal manera que la profundidad decrezca lo más rápido posible? (c) (2 points) En qué dirección debería nadar Yolanda de tal manera que la profundidad permanezca constante? (d) (4 points) Si Xavier se encuentra parado en la orilla en el punto (2,5) a qué tasa cambia la profundidad si Yolanda nada en la dirección donde está Xavier? Resp. (a) Resp. (b) Resp. (c) Resp. (d) Solution: Sea f(x,y) = 300 3x 2 y 2. (a) La profundidad máxima es 300 piés y se encuentra en todos los puntos de los ejes coordenados (x = 0, y = 0). Respuesta: f max = 300 en (x,0) y (0,y) (ejes coordenados). (b) La dirección es f(1, 2) = ( 6xy 2, 6x 2 y) (1, 2) = (24, 12) la cual es la misma dirección (2, 1). Respuesta: (2, 1). (c) Una dirección es (1, 2). Respuesta: (1, 2). (d) Sean P(1, 2) y Q(2,5), entonces ( PQ 1 PQ = (1,7) y u = OP =, 50 lo tanto, ( ) 1 7 D u f(1, 2) = f(1, 2) u = ( 24,12), ). Por = ( 2,1) (1,7) = Problema 4 continúa en la página siguiente...

10 Prob. 4 cont... Código: Tema A Pág. 10 de 15 Respuesta: Pautas de corrección: (a) Si respondió los dos ejes... 2 Si respondió que el origen es el único punto...1 (b) Gradiente en el punto correcto...1 Dirección correcta (menos el gradiente)... 2 Dirección contraria (gradiente)...1 (c) Cualquier dirección correcta (múltiplo de (1,2))...2 (d) Vector PQ...1 Vector unitario u... 1 Conoce la fórmula y la sabe aplicar...2 Problema 4 continúa en la página siguiente...

12 Código: Tema A Pág. 12 de (10 points) Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. Lafigura1muestralosgráficosdecincofuncionesf(x,y)ylascurvasdeniveldelasmismas funciones pero no necesariamente tienen algún orden. Complete la tabla 2 con las letras mayúsculas (superficies) y números romanos (curvas de nivel) correspondientes. f(x, y) f(x,y) = x (1/9)x 3 (1/2)y 2 f(x,y) = y sinx f(x,y) = e (x2 +(1/4)y 2 ) f(x,y) = 3 x 2 y 2 f(x,y) = 2 x y Tabla 1: Tabla para problema 5 Gráfico Curvas de nivel Problema 5 continúa en la página siguiente...

13 Prob. 5 cont... Código: Tema A Pág. 13 de 15 A B C D E I II III IV V Figura 1: Problema 5 Solution: Problema 5 continúa en la página siguiente...

14 Prob. 5 cont... Código: Tema A Pág. 14 de 15 f(x, y) Gráfico Curvas de nivel f(x,y) = x (1/9)x 3 (1/2)y 2 D V f(x,y) = y sinx B III f(x,y) = e (x2 +(1/4)y 2 ) A I f(x,y) = 3 x 2 y 2 C II f(x,y) = 2 x y E IV Pautas de corrección: Tabla 2: Tabla para problema 1 (a) Por cada renglón bien lleno, es decir las dos letras colocadas al frente de la fórmula correspondiente...2 (b) Por cada apareamiento correcto (letra del gráfico con letra de las curvas de nivel) pero colocado en el renglón incorrecto...1 Problema 5 continúa en la página siguiente...