Método de la secante

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1 1.5em 0pt Método de la secante Azcatl Gabriela Huitzil Santamaría Natalia Benemerita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias Física Matemáticas 21/05/2018 zcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

2 Índice 1 Introducción 2 Ejemplo 3 Algoritmo 4 Comparación 5 Referencias Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

3 Introducción Introducción Un problema potencial en la implementación del método de Newton-Raphson es la evaluación de la derivada. Por lo que el método de la secante se basa en el método de Newton pero evitando el calculo de derivadas x n+1 = x n f (x n) f (x n ) (1) Se reemplaza f (x n ) con una aproximación. Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

4 Introducción Por definición f (x) = ĺım h 0 f (x + h) f (x) h Así para h muy pequeña f (x) f (x + h) f (x) h En particular si x = x n y h = x n x n 1 tenemos f (x n ) f (x n 1) f (x n ) x n 1 x n (2) Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

5 Introducción Al sustituir (2) en (1) obtenemos la regla de iteración para el método x n+1 = x n x n 1 x n f (x n 1 ) f (x n ) f (x n) Observe que el método requiere de dos valores iniciales de x. Sin embargo, debido a que no se necesita que f (x) cambie de signo entre los valores dados, este método no se clasifica como un método cerrado. Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

6 Introducción Representación gráfica Figura: Método de la secante Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

7 Ejemplo Ejemplo 1 Planteamiento del problema: En base al polinomio x 3 + 2x x 20 y con estimaciones iniciales x 0 = 0 y x 1 = 1 calcule la raíz Solución: r 1,36881 Primera iteración: x 0 = 0 f (x 0 ) = 20 x 1 = 1 f (x 1 ) = 7 x 2 = 1 7(0 1) ( 20) ( 7) = 1,538 Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

8 Ejemplo Segunda iteración Tercera iteración x 1 = 1 f (x 1 ) = 7 x 2 = 1,538 f (x 2 ) = 3,7489 x 3 = 1,538 3,7489(1 1,538) ( 7) (3,7489) = 1,3503 x 2 = 1,538 f (x 2 ) = 3,7489 x 3 = 1,3503 f (x 3 ) = 0,3881 x 4 = 1,3503 0,3881(1,538 1,3503) (3,7489) (0,3881) = 1,3679 Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

9 Ejemplo Cuarta iteración x 3 = 1,3503 f (x 3 ) = 0,3881 x 4 = 1,3679 f (x 4 ) = 0,0187 x 5 = 1,3679 0,0187(1,3503 1,3679) (0,3881) (0,0187 = 1,36881 f( )= Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

10 Ejemplo Ejemplo 2 Planteamiento del problema: Con el método de la secante calcule la raíz de f(x)=e x x. Comience con los valores iniciales x 1 = 0 y x 0 = 1,0. Solución:Recuerde que la raíz real es Primera iteración x 1 = 0 f (x 1 ) = 1,00000 x 0 = 1 f (x 0 ) = 0,63212 x 1 = 1 1,63212(0 1) 1 ( 0,63212) = 0,61270 ε 1 = 8,0 % Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

11 Ejemplo Segunda iteración x 0 = 1 f (x 0 ) = 0,63212 x 1 = 0,61270 f (x 1 ) = 0,07081 (Note que ambas aproximaciones se encuentran del mismo lado de la raíz) x 2 = 0, ,07081(1 0,61270) 0,63212 (0,07081) = 0,56384 ε 1 = 0,58 % Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

12 Ejemplo Tercera iteración x 1 = 0,61270 f (x 1 ) = 0,07081 x 2 = 0,56384 f (x 2 ) = 0,00518 x 3 = 0, ,00518(0, ,56384) 0,07081 ( 0,00518) = 0,56717 ε 1 = 0,0048 % Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

13 Algoritmo Algoritmo 1 Método de la secante Entrada:aproximaciones p 0, p 1 ;tolerancia TOL; MAXITE. Salida: Solución aprox. o mensaje. q 0 = f (p 0 ) q 1 = f (p 1 ) para i = 2 hasta MAXITE hacer p = p 1 q 1(p 1 p 0 ) q 1 q 0 si p p 0 < TOL entonces SALIDA p PARAR fin si p 0 = p 1 q 0 = q 1 p 1 = p q 1 = f (p) fin para SALIDA p 1 en MAXITE iteraciones Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

14 Algoritmo Error de truncamiento Error de truncamiento, por serie de Taylor - McLarin f (x + h) = f (x) + hf (x) + h2 f (ξ) 2 f (x) = f (x + h) f (x) h hf (ξ) 2 Así el término de error es hf (ξ) 2 Sí f (x) = 0 el error será h2 f (γ) 6 Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

15 Comparación Comparación de métodos Bisección 1 Confiable pero lento. 2 Útil como aproximación inicial de para otros métodos. 3 No tiene en cuenta valores numéricos sólo el signo. 4 Su convergencia es muy lenta. Secante 1 Se puede aplicar cuando la derivada es muy difícil de calcular. 2 Es el segundo método que converge rápido, después de Newton. 3 No se puede asegurar que la primera aproximación sea lo suficientemente cercana a la raíz ni cuando es múliple. A pesar de que sea un método divergente cuando converge, lo hace más rápido que el de la falsa posición Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

16 Comparación Newton-Rhapson 1 Es el más conocido y eficiente para el calculo de raices de polinomios. 2 Es el método que converge más rápido. 3 Proporciona precisión en los resultados. 4 El método se usa para problemas académicos y de la vida real 5 Converge lentamente dependiendo de la función 6 Se debe especificar el punto de inicio y f debe ser derivable. Falsa Posición 1 Inferior al de la secante debido a que un extremo permanece fijo para mantener la raíz dentro del intervalo. 2 Ventaja de prevenir la divergencia. 3 Desventaja en relación a la velocidad de su convergencia. 4 La diferencia finita estimada da una aproximación es menos exacta que la derivada Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

17 Comparación Figura: Comparación Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

18 Comparación Ejercicio Encontrar una raíz con TOL: de x 3 5x + 3 = 0 en el intervalo [-3,3] Encontrar una raíz x 10 1 = 0 en el intervalo [0,1.3] Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19

19 Referencias Referencias I Burden, R. y Douglas J.(2011) Análisis Numéricos. México:MATH. Chapra, S. y Canale, R.(2007) Métodos Numéricos para ingenieros. México:McGrawHill Cheney W. y Kincaid D.(2011) Métodos Numéricos y computación. México:CENGAGE:Learning. Azcatl Gabriela, Huitzil Santamaría Natalia (FCFM) Método de la secante 21/05/ / 19