MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Transcripción

1 Consiste en elegir un punto inicial cualquiera Po como aproximación de la raíz. Una buena aproximación inicial es aquella para la cual resulta válida la desigualdad: (Po) f (Po) > 0 Es importante tener en cuenta a f (Po) porque si vale cero tendremos un punto de inflexión en la función y no habrá convergencia. 1

2 f(x) f(x 1 ) Consiste en elegir un punto inicial cualquiera ( ojo!) Po como aproximación de la raíz y obtener el valor de la función por ese punto. Trazar una recta tangente a la función por ese punto. x 1 x 2 x 2

3 f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) Consiste en elegir un punto inicial cualquiera Po como aproximación de la raíz. Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta tangente a la función por ese punto. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (x r, 0) constituye una segunda aproximación de la raíz. x 1 x 2 x 3

4 Consiste en elegir un punto inicial cualquiera Po como aproximación de la raíz. Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta tangente a la función por ese punto. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (x r, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz. El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección x n coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz. 4

5 f(x) f(x 1 ) MÉTODO DE NEWTON RAPHSON A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo. El método de Newton-Raphson implica el generar la sucesión {Pn} definida por: f(x 2 ) f( p ) p n = p n-1 - n-1 f ( p n-1 ), n 1 x 1 x 2 x 5

6 Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia. Si en las proximidades de la raíz existe un punto de inflexión, las iteraciones divergen progresivamente de la raíz. 6

7 ======================================================================= Para encontrar una solución de f(x) = 0 dada una aproximación inicial p Entradas: Aproximación inicial Po, tolerancia TOL, número máximo de iteraciones N Salida: Solución aproximada p ó mensaje de fracaso Paso 1: tomar i = 1. (La variable i es la contadora de iteraciones). Paso 2: Mientras (i<=n) seguir pasos 3 a 6: o Paso 3: Tomar p = po - ( f(po) / f (po) ) //Para calcular la nueva raíz Paso 4: si (error relativo < TOL) entonces mostrar p y PARAR Paso 5: tomar i = i + 1 Paso 6: tomar po = p //redefinición de po Paso 7: SALIDA. El método ha fracasado después de N iteraciones y PARAR ======================================================================= 7

8 Algunas consideraciones: Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez mucho mayor a la de los otros métodos, por lo cual es uno de los preferidos También observe que en el caso de que f '(Po) = 0, el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje x en ningún punto. 8

9 Ejemplo 1. Aproximar la raíz de f(x) = e - ln (x) Hasta que el error relativo porcentual sea menor al 1% Considerar una aproximación inicial en el que se garantice (Po) f (Po) > 0 Aprovechando valores conocidos, po = 1 (del método anterior) f (x) = e -x 2 + ( 1 / x ) -1 2 f (1) = e + ( 1 / (1) ) = (1/e) + 1 = 1, (1) 1, > 0 De modo que la aproximación inicial es útil -x 9

10 f(x) = e f(1) = (1/e) - ln (1) f(1) = 0, MÉTODO DE NEWTON RAPHSON - ln (x) p = po - ( f(po) / f (po) ) p = 1 - ( / ) = f (x) = -e-x - ( 1 / x ) f (1) = - (1/e) - (1) f (1) = Erp = ( ) / = 21.19% Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso Dado que p no sirvió, se reasigna como po. 10

11 p = ( / ) = Erp = ( ) / = 3.06% Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso Dado que p no sirvió, se reasigna como po p = ( / ) = Erp = ( ) / = % objetivo logrado! FIN DEL DOCUMENTO 11