x 0 = aproximación inicial x n = g(x n 1 ) n 1 (3.6)

Transcripción

1 3.2 Problema equivalente. Iteración funcional. La mayoría de los métodos conocidos construyen aproximaciones ( x n r ) sucesivas escribiendo la ecuación inicial en una forma equivalente adecuada: x = g(x) (3.5) Por ejemplo, la ecuación x 2 x 3 = 0 se puede escribir en las formas equivalentes siguientes: x = g 1 (x) = x 2 3 x = g 2 (x) = x + 3 x x = g 3 (x) = x + 3 (para la raíz positiva) x = g 4 (x) = x x 1 Desde esta forma de escribir la ecuación inicial, es sencillo describir una técnica iterativa para generar los valores o aproximaciones; a saber: x 0 = aproximación inicial x n = g(x n 1 ) n 1 (3.6) Así, el problema a estudiar se reduce a ver si g tiene o no puntos fijos y si es único o no. Más aún, será convergente el método descrito por (3.6)? Teorema 3.1 (Teorema del Punto Fijo) Sea g:[a,b] [a,b] verificando 1 : Entonces, g(x) g(y) L x y x,y [a,b] con 0 L < 1 (3.7) Existe una única raíz real de la ecuación x = g(x) (punto fijo de g) en [ a,b]. El método (3.6) genera aproximaciones que convergen al punto fijo de g(x); es decir, lim x n = r = g(r) n 1 Una función que satisface la condición (3.7) (con cte. L cualquiera 0) se llama Lipschitziana. Además, el teorema es válido si sustituimos (3.7) por: g (x) L <1 x ] a,b[ (para funciones derivables) 2

2 Ejemplo 3.2 Vemos un ejemplo de iteración de punto fijo para la ecuación: e x + x 3 = 0. A continuación, tabulamos las aproximaciones generadas por tres funciones de iteración distintas, observándose tanto la convergencia o no como la velocidad de convergencia. Met.1 Met.2 Met Tabla 1: Valores obtenidos para las funciones de iteración respectivas: g 1 (x) = 3 e x ; g 2 (x) = ln 3 x ( ); g 3 (x) = xe x e x + 3 e x +1 3

3 3.3 Interpretación Geométrica de un Método iterativo. En la figura 1 podemos apreciar cómo se obtienen las iteraciones de un método de ( ) la forma: x n = g x n 1 x 1 x 0 Figura 1: Iteraciones convergentes al punto fijo. x 1 x 0 Figura 2: Iteraciones no convergentes al punto fijo. Podemos ver, sin embargo que las iteraciones en la Figura 2 se separan del punto de corte entre y = g(x) e y = x. 4

4 3.4 Error y orden de Convergencia. En esta sección tratamos de obtener una cota teórica del error cometido en un método iterativo verificando alguna de las condiciones de convergencia anteriormente tratadas; así como el estudio de la rapidez con que un método aproxima la raíz buscada (ésta se medirá con el Orden de Convergencia ). Si e n = x n r es el error cometido en la n-ésima aproximación del método de iteración x n = g(x n 1 ) donde g cumple: g(x) g(y) L x y con 0 L < 1, entonces: Ln e n 1 L x 1 x 0 Si bien la cota obtenida tiene interés teórico, no es menos cierto que tiene poca utilidad en la práctica debido a la dificultad que existe en la obtención de la cte. L. De aquí que parezca interesante conocer el comportamiento del error cometido en un paso respecto al paso anterior; es decir, la velocidad de convergencia del método. Así, si suponemos que g C 1 y satisface las condiciones de convergencia, al menos local, tendríamos: x n r = g x n 1 ( ) g(r) = ( ) g (ξ n ) x n 1 r es decir, para n suficientemente grande se puede dar por válida la aproximación de errores consecutivos siguiente es decir, si 0 < g (r) <1 se tendrá: e n g (r) e n 1 lim n y, en este caso se dice que el método es lineal o de orden 1. e n = g (r) (3.8) e n 1 Si g C 2 con g (r) = 0, y g (r) 0, entonces por un razonamiento similar se puede escribir: e n 1 2 g (r) e 2 n 1 5

5 por lo que, en esta situación, se dice que la convergencia del método (al menos localmente) es cuadrática o de orden 2. Orden de convergencia de un método Definición 3.1 Se dice que un método converge con orden p 1, si satisface la igualdad: lim n e n p = K 0 (0 < K <1, si p =1) e n 1 Con este concepto puede compararse la velocidad de convergencia entre diversos métodos para la resolución de una ecuación f (x) = 0. Además, volviendo al caso de un método de iteración de punto fijo, si g C p con g (r) = 0 = orden p. = g p-1) (r) y g p) (r) 0, entonces el método basado en g(x) es de Observación 1 1. El orden de convergencia, en general, no siempre es un número entero (por ejemplo, el método de la secante 2 tiene orden p 1.62); 2. El significado intuitivo del orden de convergencia de un método se entiende en los términos siguientes: Si un método es lineal se ganará una cifra de precisión cada cierto número fijo de iteraciones; Si un método es cuadrático se duplicarán las cifras de precisión cada cierto número fijo de iteraciones; 3. La rapidez de convergencia de un método es tanto mayor cuanto mayor es el orden de convergencia y para métodos de igual orden de convergencia será más rápido el de cte K menor. 2 El método de la secante calcula aproximaciones a la raíz como sigue: x 0 = a, x 1 = b x n = x n 1 f x n 1 f x n 1 ( )( x n 1 x n 2 ) ( ) f ( x n 2 ) n = 2,3, 6

6 Ejemplo 3 Volviendo a la ecuación de la sección 3.2 con las funciones de iteración dadas allí podemos apreciar la rapidez de convergencia en la tabla de iteraciones siguiente: n Método 1 Método 2 Método 3 Método Puede apreciarse que el método 1 (para g 1 (x)) no converge y los demás sí. Además, la convergencia más rápida es la del método 4 (para g 4 (x) ), a continuación el método 3 (para g 3 (x)) y por último el método 2 (para g 2 (x)). Esto puede comprobarse con el análisis de las respectivas derivadas de las funciones de iteración usadas. 7

7 3.5 Método de Newton-Raphson 3. Sea la ecuación f (x) = 0, suponemos que tal función satisface las condiciones siguientes: 1. f (a)* f (b) < 0 ; 2. La función es continua en el intervalo [ a,b] y derivable en el abierto; 3. f (x) 0 en el abierto ] a,b[ ; 4. La función no cambia su concavidad. Entonces: La ecuación admite una única raíz real en el intervalo; El método iterativo: x 0 = aprox. inicial x n = x n 1 f (x n 1 ) f ( x n 1 ) n 1 converge a la raíz para toda aproximación inicial,x 0, con la condición 4 : f (x 0 ) f (x 0 ) > 0 (vea la Figura 3 ). x 0 Figura 3 Zona apropiada para la elección de la aproximación inicial x 0 Ejemplo 3.4 El método de Newton-Raphson aplicado a la ecuación (3.3) suponiendo que N = P 0 10, t 1 = 3, y P 1 = 2P 0, produce las aproximaciones siguientes: 3 Este método también se conoce con el nombre de método de la tangente, pues cada aproximación x n es el resultado de calcular el corte, de la tangente a la curva y = f (x) en el eje OY. ( x n 1, f ( x n 1 )), con 4 Bajo alguna condición algo más fuerte para f(x), la convergencia también se produce partiendo de una aproximación inicial arbitraria en el intervalo [a,b]. 8

8 n Aproximación Es decir, un valor aproximado de k es: Las condiciones impuestas son bastante restrictivas y, en ocasiones, no se satisfacen en un intervalo [a,b] demasiado grande en cuyo caso hay que considerar un intervalo más pequeño (conteniendo la raíz) para asegurar la convergencia del método 5. Por otro lado, también influye en la convergencia del método es la posible multiplicidad 6 de la raíz de forma que la rapidez de convergencia pasa a ser de orden 1 (lineal) mientras que el orden es 2 cuando se trata de raíces simples. Se puede recuperar el orden de convergencia cuadrático cuando la raíz es múltiple? La respuesta es sí pero corrigiendo o modificando la ecuación inicial; a saber, si transformamos la ecuación f (x) = 0 en la ecuación: entonces: µ(x) = 0 donde µ(x) = f (x) f (x) Si r es una raíz múltiple de f (x) = 0, será raíz simple de µ(x) = 0 ; El método de N-R para la nueva ecuación convergerá a la raíz para una aproximación inicial adecuada; La rapidez de convergencia es cuadrática (orden=2). En el ejercicio 3 de la relación se puede comprobar lo dicho anteriormente. Además, en el ejercicio 4 se sugiere una modificación del método N-R diferente que corrige la rapidez de convergencia pero no es muy útil en la práctica pues requiere el conocimiento previo de la multiplicidad concreta (m) de la raíz. 5 Una condición de convergencia local es que f ( r) 0 siendo r ] a,b[ raíz de f (x) = 0 6 Una raíz real, r, de f (x) = 0 tiene multiplicidad m si f (r) = 0 = = f m 1) (r), f m ) (r) 0 (para funciones suficientemente derivables). 9