METODOS NUMERICOS CATEDRA 0 5. Ingeniería Civil ING.CRISTIANCASTROP. Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Transcripción

1 ING.CRISTIANCASTROP. CATEDRA 0 5 Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil Departamento académico de ingeniería de minas y civil METODOS NUMERICOS Ingeniería Civil

2 ING.CRISTIANCASTROP. Capitulo V Ecuaciones Algebraicas No Lineales: Temas Especiales

3 Búsqueda de Varias Raíces de Ecuaciones No Lineales Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

4 BÚSQUEDA DE VARIAS RAÍCES

5 ECUACIONES CON VARIAS RAÍCES Las ecuaciones tienen una o varias raíces y es menester localizar cada una de ellas. La posible eistencia de raíces múltiples complica el problema. En la vecindad de la raíz, tanto la función como su derivada se acercan a cero. Las ecuaciones con un número par de raíces múltiples son tangentes al eje y no lo cruzan. Las ecuaciones con un número impar de raíces múltiples cruzan al eje en un punto de infleión. En caso de raíces múltiples, al no haber cambio de signo, los métodos cerrados no son confiables.

6 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL La búsqueda consiste en empezar en un etremo del intervalo de interés y evaluar la función con pequeños incrementos a lo largo del intervalo. Si la longitud del incremento no es lo suficientemente pequeña, algunas raíces pueden pasar inadvertidas. f() raíces 3 raíces raíces

7 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL El método de búsqueda incremental se utiliza para identificar todas las raíces de una ecuación, considerando: La manera como se presenta físicamente el fenómeno. El número de raíces reales y/o complejas que se espera tenga la ecuación, especialmente cuando se trata de polinomios. Es conveniente utilizar tamaños de incremento acordes con el fenómeno analizado y el número esperado de raíces. Ante la sospecha de que la ecuación algebraica o trascendente tenga más raíces de las encontradas con cierto tamaño de incremento, se recomienda: Obtener las tangentes en los etremos de cada incremento para identificar cambios de signo y, en su caso, analizar el subintervalo de incremento más minuciosamente. Reducir a la mitad el tamaño de los incrementos. Se ha de tener especial cuidado al hacer el bosquejo de una gráfica, cuando no se dispone de dispositivos que grafiquen de manera confiable porque el trazado a base de incrementos, puede ser sumamente engañoso.

8 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL f() 10senX 3cos X Trazado con incrementos de 0.50, parece que hay solo raíces -.5

9 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL f() 10senX 3cos X f() f'() raíces revisar Trazado con incrementos de 0.50, parece que hay solo raíces Necesario revisar en subintervalo de incremento más

10 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL f() 10senX 3cos X - Trazado con incrementos de 0.0, parece que hay solo raíces -.5

11 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL f() 10senX 3cos X f() f'() raíces revisar Trazado con incrementos de 0.0, parece que hay solo raíces Necesario revisar en 6 subintervalos de incremento más

12 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL f() 10senX 3cos X - Trazado con incrementos de 0.10, parece que hay solo 4 raíces -.5

13 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL f() 10senX 3cos X f() f'() raíces revisar f() f'() raíces revisar Trazado con incrementos de 0.10, parece que hay solo 4 raíces Necesario revisar en 6 subintervalos de incremento más

14 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL f() 10senX 3cos X - Trazado con incrementos de 0.05, se ve que hay 6 raíces -.5

15 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL f() 10senX 3cos X 0.0 detalle

16 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO 1. Consiste en elegir un punto inicial cualquiera 1 como aproimación de la raíz.. Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto. 3. Establecer la función () = f()/f () y obtener el valor de la misma en el punto inicial. 4. Trazar una recta tangente a la función () por ese punto. 5. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (, 0), constituye una segunda aproimación de la raíz. 6. El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección n coincide prácticamente con el valor eacto de la raíz

17 f() MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO

18 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f() 1

19 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f ( 1 ) f () f () f() 1 f ( 1 ) f( 1 )

20 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO () () f() f'() 1 ( 1 )

21 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO () 1

22 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO Para deducir la fórmula de recurrencia: f() () f'() i1 i f '()f '() f()f "() [f '()] f()f "() '() [f '()] [f '()] ( i) '( ) i f()[f'()] i i i1 i i i i i f '( ) [f '( )] f( )f "( ) f( )f '( ) i i i1 i [f'()] i i i f()f"()

23 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO () i1 i ( i) '( ) i ( ) 1 f( )f '( ) i i i1 i i i i [f '( )] f( )f "( )

24 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f() 1

25 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON 6 5 f(x) = triple raíz

26 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f() = iteración X i f(x i ) f'(x i ) f"(x i ) X i '(X i ) e(%) e*(%) E E E E E E Recurrencia Función 1 = 1, = 1, 3 = 1

27 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON TRADICIONAL f() = iteración X i f(x i ) f'(x i ) e(%) e*(%) E E E E E E E E E E E E E E E E = 1 = 1 3 = E E E E

28 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON TRADICIONAL f() = iteración X i f(x i ) f'(x i ) e(%) e*(%) E E Recurrencia Función X 4 = 3

29 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f() = iteración X i f(x i ) f'(x i ) f"(x i ) X i '(X i ) e(%) e*(%) E E E E Recurrencia Función 4 = 3

30 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON El método de Newton Raphson tradicional, en la búsqueda de raíces múltiples, converge linealmente, en vez de hacerlo cuadráticamente, como sucede en la búsqueda de una raíz simple. El método de Newton Raphson modificado, en la búsqueda de raíces múltiples, converge cudráticamente, al igual que en la búsqueda de una raíz simple. La lentitud en la convergencia del método de Newton Raphson tradicional es un claro indicativo de la presencia de raíces múltiples. A mayor número de raíces múltiples, menor es la velocidad de convergencia del método tradicional.

31 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON El método de Newton Raphson es aplicable al caso de funciones con raíces complejas, a condición de que el punto inicial considerado como primera aproimación sea complejo. Haciendo cálculos manuales, se ha de tener cuidado de cumplir con este requisito. Si los cálculos se hacen a través de computadora, el lenguaje de programación ha de ser capaz de soportar el manejo de valores complejos, previa declaración de dimensionamiento. En Fortran, VB, C, PASCAL, MATLAB tal manejo está garantizado.

32 Raíces de Polinomios de Ecuaciones No Lineales Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

33 Definición Un polinomio de grado n es una epresión de la forma: Donde a n <> 0 P() = a n n + a n-1 n a 1 + a 0 Teorema (teorema fundamental del álgebra): Si P() es un polinomio de grado n >= 1, entonces P() = 0 tiene al menos una raíz (posiblemente compleja).

34 Corolario Si P() es un polinomio de grado n >= 1, entonces eisten constantes únicas 1,,... k, posiblemente complejas, y enteros positivos m 1, m,..., m k, tales que: y k i1 m i n n m 1 m m k P( ) a... 1 k

35 Método de Horner Sea P() = a n n + a n-1 n a 1 + a 0 Si b n = a n y b k = a k + b k+1 0 para k = n 1, n,..., 1, 0 Por tanto b 0 = P( 0 ). Más aún, si Q() = b n n 1 + b n-1 n b + b 1 Entonces P() = ( 0 ) Q() + b 0

36 Ejercicios Evaluar: P() = en 0 = P() = en 0 = 3 P() = en 0 = 1

37 Método de Horner en C double horner(double p[],int n, double ){ double y = p[0]; int i; for(i = 1; i<n; i++){ y = *y + p[i]; } return y; } double eval(double p[],int n, double ){ double s = 0; int i; for(i = 0; i<n; i++){ s = s + p[i]*pow(,n-i-1); } return s; }

38 Evaluación de la derivada Dado que: P() = ( 0 ) Q() + b 0 donde Q() = b n n 1 + b n-1 n b + b 1 Derivando P () = Q()+( 0 )Q () En = 0, P ( 0 ) = Q( 0 )

39 Evaluación de la derivada en C void hornerder(double p[],int n, double,double &y,double &z){ y = p[0]; z = p[0]; int i; for(i = 1; i<n-1; i++){ y = *y + p[i]; z = *z + y; } y = *y + p[n-1]; }

40 Método horner Entrada: grado n, a0, a1,..., an, 0 Salida: y =P(0), z = P (0) 1. y = an //calcule bn para P. z = an //calcule bn-1 para Q 3. Para j = n 1, n,..., 1 4. y = 0*y + aj 5. z = 0*z + y 6. y = 0*y + a0 7. regresar y, z

41 Método de Horner en Matlab function [y,z]=horner(,0) % es un vector con los coeficientes %de P() %regresa en y el polinomio y en z %la derivada evaluados en 0 [muda n] = size(); y = (1); %calcule bn para P. z = (1); %calcule bn-1 para Q for j = :n-1, y = 0*y + (j); z = 0*z + y; end y = 0*y + (n);

42 Método de Newton para polinomios Se puede aplicar el método de Newton para polinomios evaluando el polinomio y su derivada mediante el método de Horner. El esquema sería n n n n n n n Q P P P ' 1

43 Newton para polinomios en C double NewtonPol(double p[],int n,double 0,double ee, int ni){ int i=0; double f,df, = 0,error; while(i<ni){ hornerder(p,n,,f,df); = 0 - f/df; error = fabs((-0)/); if(error<=ee) return ; i++; 0 = ; } std::cout << "No solución en " << i << " pasos\n"; return ; }

44 Método de Müller Se aproima el siguiente valor utilizando una parábola en lugar de una recta como en el método de la secante. f() f() parábola Línea recta Raíz estimada Raíz estimada raíz

45 Método de Müller Utiliza tres aproimaciones: 0, 1,. Determina la siguiente aproimación 3 encontrando la intersección con el eje de la parábola definida por los puntos ( 0,f( 0 )), ( 1,f( 1 )), (,f( )). f 0 1 3

46 Método de Müller Se considera el polinomio P() = a( ) + b( ) + c Se puede encontrar a, b y c resolviendo f( 0 ) = a( 0 ) + b( 0 ) + c f( 1 ) = a( 1 ) + b( 1 ) + c f( ) = a( ) + b( ) + c

47 Método de Müller Se llega a ( ) f c ) ( ) ( ) ( ) ( f f f f b ) ( ) ( ) ( ) ( f f f f a

48 Método de Müller Los cálculos pueden simplificarse usando f c d ah b h h d d a h f f d h f f d h h

49 Método de Müller Para minimizar el error al resolver la cuadrática P() = 0, se calcula 3 con 3 b c signo( b) b 4ac El proceso se reinicia tomando ahora 1,, y 3.

50 Müller en MatLab function y = muller(p,0,1,,ee,ni) i = 3; while i<=ni h1 = 1-0; h = -1; [f0 muda] = horner(p,0); [f1 muda] = horner(p,1); [f muda] = horner(p,); d1 = (f1-f0)/h1; d = (f-f1)/h; a = (d-d1)/(h+h1); b = d+h*d1; c = f; D = sqrt(b*b-4.0*a*c); if(abs(b-d)<abs(b+d)) E = b+d; else E = b-d; end h = -.0*c/E; 3 = +h; if(abs(h)<ee) break; end 0 = 1; 1 = ; = 3; i=i+1; end y = 3;

51 Ejemplo P() = = = -0.5 = 0.0 i i P(i) ( )i ( )i ( )i ( )i ( )i ( )i ( )i ( )i ( )i ( )i ( )i ( )i

52 Ejemplo 0 =.5 1 =.0 =.3 i i P(i) ( )i ( )i ( )i ( )i ( )i ( )i 0 = = 1.0 = 1.5 i i P(i) ( )i ( )i ( )i ( )i ( )i ( )i ( )i ( )i

53 Actividad Encontrar las raíces reales y complejas del siguiente polinomio por el método de Müller en MatLab. P() =

54 Raíces de no lineales en Matlab fzero(fun, 0) encuentra la raíz de FUN cerca al punto 0. Ejemplos: FUN puede especificarse X = fzero(@sin,3) regresa pi. X = fzero(@sin,3,optimset('disp','iter')) regresa pi, usa la tolerancia por omisión y despliega información de las iteraciones. FUN puede ser una función en línea: X = fzero(inline('sin(3*)'),);

55 Polinomios con Matlab polyval(p, ) evalua el polinomio P en el punto. El polinomio se especifica como un vector donde P(1) es el coeficiente de la potencia más alta y P(length(P)) es el término independiente. polyder(p) obtiene la derivada delpolinomio P. con(a, B) multiplica el polinomio A por el polinomio B. [Q R] = deconv(a, B) divide los dos polinomios A y B y almacena el cociente en Q y el residuo en R. roots(p) encuentra todas las raices reales y complejas del polinomio P.

56 Método de Bairstow El enfoque de Bairstow es el de utilizar el Método de Newton para ajustar los coeficientes r y s en la cuadrática r + s hasta que sus raíces sean también raíces del polinomio que se quiere resolver. Con estos coeficientes se determina la cuadrática correspondiente que se utiliza para simplificar la epresión, eliminando estas raíces del conjunto buscado. El proceso se repite hasta que el polinomio se convierta en uno cuadrático o lineal, momento en que todas las raíces quedan determinadas.

57 La División Larga de un polinomio n P i0 a i i por r s resulta en un cociente de la forma Q n i0 i b i y un residuo b 1 ( r) + b 0 tal que P n i i r s b b1 r b0 i

58 Se utiliza la división sintética para obtener la división entre el factor cuadrático: b n = a n b n 1 = a n 1 + rb n b i = a i + rb i+1 + sb i+ (i = n,, 0) El método se reduce a determinar los valores de r y s que hacen que el factor cuadrático sea un divisor eacto. Se utiliza el método de Newton-Raphson. Se calculan incrementos r y s para acercarse a la solución. b r b r 1 0 b1 r s b r s 0 s b 1 s b 0 Las derivadas parciales se calculan por un proceso de división sintética similar al utilizado para calcular las b s.

59 c n = b n c n 1 = b n 1 + rc n c i = b i + rc i+1 + sc i+ (i = n,, 1) Donde: s b c r b c s b c r b c ,, Se resuelven las ecuaciones para r y s y se emplean para mejorar r y s.

60 Ejemplo Encontrar las raíces del siguiente polinomio en Ecel P( ) = Comience en r = -1 y s = -1

61 Hoja de Ecel de Bairstow Haga doble clic sobre la hoja para ver las fórmulas. Los valores en amarillo son los valores que se obtuvieron paso a paso. Los valores en naranja son los coeficientes del polinomio de grado n que hay que resolver aplicando el mismo método. Note que los coeficientes b 0 y b 1 son casi cero. Método de Bairstow n-> r s valores calculados 1 a-> # NUM! # NUM! Dr Ds b-> E E-07 7E-08 1E Error r Error s c-> E-05 E sistema b c,c E-07 7E-08 c1,c E-07 1E-08

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63 Muchas Gracias