Solución numérica de ecuaciones no lineales de una variable

Transcripción

1 Solución numérica de ecuaciones no lineales de una variable Procesos Numéricos Profesor: Gustavo Adolfo Restrepo Arboleda Por: Melissa Arcila Montoya Stefania Giraldo Jimenez Manuela Piedrahita Vasco Cristina Rodríguez Arrázola Ingeniería de Producción Universidad EAFIT Medellín Antioquia 2013

2 TABLA DE CONTENIDOS INTRODUCCIÓN OBJETIVOS TEOREMAS 1. Teorema del valor intermedio 2. Teorema de Rolle 3. Teorema del valor medio MÉTODOS 1. Método de búsquedas incrementales 2. Método de la bisección 3. Método del punto fijo 4. Método de Newton-Raphson 5. Método de la secante 6. Método de la regla falsa 7. Método de las raíces múltiples CONCLUSIÓN BIBLIOGRAFÍA Página

3 INTRODUCCIÓN Los procesos numéricos es una rama de las matemáticas que utiliza algoritmos a través de números para la simulación de procesos de la vida diaria. Dichos procesos van desde el cálculo de los valores de una función, hasta la programación de una herramienta de simulación como CREO Parametric o SolidWorks. La producción de este trabajo está enfocada a explicar los diversos métodos de solución de ecuaciones no lineales de una variable. Entre los métodos se encuentran el método de búsquedas incrementales, el método de la bisección, el método del punto fijo, el método de Newton-Raphson, el método de la secante, el método de la regla falsa, y el método de las raíces múltiples. Adicionalmente, se explicaran tres teoremas que son esenciales para enter y aplicar dichos métodos. Estos son: teorema del valor intermedio, teorema de Rolle, y teorema del valor medio. Es importante tener en cuenta lo siguiente: Sea f una función. Se dice que P es una raíz de la ecuación f(x) = 0 si f(p) = 0. También se dice que P es un cero (0) de f. OBJETIVOS Fortalecer lo aprido en clase por medio de la producción de este trabajo y de los códigos en el lenguaje de Octave. Proveer diversos métodos que faciliten la búsqueda de raíces. Servir de fuente de búsqueda a otros estudiantes que requieran la información suministrada.

4 TEOREMAS 1. Teorema del valor intermedio Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b], [ ], y sea k un número entre f(a) y f(b). Existe un c que pertenece a (a, b) tal que f(c) = k. Este teorema sirve para demostrar la existencia de raíces cuando f(a) y f(b) tienen signos contrarios. Este teorema también sirve para demostrar la existencia de una única raíz cuando se cumple la siguiente condición: F es diferenciable en (a, b) y f (x) no cambia de signo para todo x que pertenece a [a, b]; entonces existe un único x m en [a, b] que es raíz de la ecuación f(x) = 0. Ilustración 1 - Teorema del valor intermedio 2. Teorema de Rolle Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo (a,b). Si entonces existe un punto c (a,b) en donde la derivada es igual a 0 (f (c)=0). Este teorema sirve para demostrar la existencia de una única raíz en un

5 intervalo cerrado y por esta misma razón soluciones a ecuaciones de una variable. También se utiliza para demostrar el Teorema del Valor medioademás, el Teorema de Rolle se puede usar para deducir numerosas propiedades de las funciones, por ejemplo, la búsqueda de soluciones de una ecuación (equivalente a buscar los ceros de una función f(x)=0) Ilustración 2 - Teorema de Rolle 3. Teorema de valor medio Teorema de los incrementos finitos es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Se usa normalmente para demostrar otros teoremas. Si es una función continua en el intervalo [ ] y diferenciable en entonces existe al menos algún punto ƺ en el intervalo tal que:

6 Ilustración 3 - Teorema del valor medio

7 MÉTODOS 1. Método de Búsquedas Incrementales Este método se utiliza principalmente como una introducción al método de la bisección con el fin de encontrar un intervalo que contenga una raíz. Consiste en empezar en un extremo del intervalo de interés y evaluar la función con pequeños incrementos a los largo de dicho intervalo. Este método se basa en el teorema del valor intermedio, el cual se explicó anteriormente. Es importante tener en cuenta que si la longitud del incremento no es la adecuada (lo suficientemente pequeña), algunas raíces pueden pasar inadvertidas. Paso a paso: a) Se selecciona un valor arbitrario de salida (dentro del intervalo de interés), y un valor para los incrementos, donde. b) Se genera una sucesión de valores tal que. c) Cada vez que se genere un valor de, se halla el valor de. d) Se observan los signos de y de. e) Se suspe el proceso cuando se presente un cambio de signo en y o cuando se llegue a un límite de iteraciones sin encontrar dicho cambio. Ilustración 3 - Método de búsquedas incrementales

8 Ejemplo: Se hará uso de esta ecuación para ejemplificar todos los métodos. La gráfica es la siguiente: Vamos a buscar un intervalo de la siguiente ecuación, que contenga una raíz: f(x)= cos (x) cos (3.1*x) Valor inicial: Incremento: 0.1 Número de iteraciones: 100 El intervalo donde se encuentra la raíz es [ , ] Código en Octave: clear all clear clc

9 %En esta parte el usuario ingresa los datos iniciales que requiere el metodo ingresefuncion=input('ingrese la funcion: ', 's'); %el usuario ingresa la funcion que desea encontrarle la raiz x0=input('ingrese valor inicial: '); %se debe ingresar un valor de partida delta=input('ingrese incremento: '); %esto expresa el tamaño del intervalo que se desea encontrar iter=input('ingrese el numero de iteraciones: '); %se debe ingresar el numero de iteraciones deseadas funcion=inline(ingresefuncion); %aqui se transforma a funcion una cadena de caracteres para poder evaluar valores fx0=funcion(x0); %se evalua la funcion en el punto inicial if fx0==0 fprintf('la raiz esta en x0(%g)',x0); %si fx0 es igual a cero entonces que indique que x0 es la raiz else x1=x0+delta; %haga un incremento en x0 para obtener el primer intervalo i=1; %empieza el contador fx1=funcion(x1); %evalua la funcion en x1 while fx0*fx1>0 && i<iter %mientras no hay un cambio en la funcion o el contador sea menor al numero de iteraciones x0=x1; %x1 sera el valor inicial del intervalo fx0=fx1; %el valor inicial de la funcion sera el valor de la funcion en x1 x1=x0+delta; %realiza el incremento para el nuevo intervalo fx1=funcion(x1); %evalua la funcion el x1 tabla(i,1)=i; tabla(i,2)=x0; tabla(i,3)=x1; i=i+1; %incrementa el intervalo tabla if fx0==0 %si la funcion evaluada en x0 es 0 fprintf('la raiz esta en x0 (%g)',x0); %indicar que x0 es la raiz else if fx1==0 %si la funcion evaluada en x1 es 0 fprintf('la raiz esta en x1 (%g)',x1); %indicar que x1 es la raiz

10 else if fx0*fx1<0 %sino evalue si la raíz está contenida en ese intervalo fprintf('la raiz esta entre x0 : (%g) y x1 : (%g) \n',x0,x1); else fprintf('no fue encontrada la raiz'); %sino la raiz no fue encontrada en ese numero de iteraciones 2. Método de la Bisección Es un método de búsqueda de raíces en el cual, tenio un intervalo [a, b] que contenga la raíz, se divide en sub-intervalos, que a medida que se repite el proceso se hacen más pequeños y el resultado se aproxima cada vez más el valor de la raíz. Partio de una función continua y de dos valores iniciales es necesario que la función evaluada en dichos puntos tome signos opuestos, es decir: Luego se obtiene la primera aproximación a la raíz por medio de la siguiente fórmula: Al evaluar se deben tener en cuenta los siguientes casos: En dicho caso ya se habría encontrado la raíz, la cual sería Lo cual indicaría que la raíz se encuentra en dicho intervalo y se procede a buscar nuevamente el punto medio del intervalo hacio y dejando el mismo.

11 Indica que la raíz no se encuentra en este intervalo y por lo tanto hacemos y dejamos el mismo. Repetir el proceso hasta alcanzar el error deseado. Ejemplo: Ilustración 4 - Método de la Bisección Encontrar la raíz para la ecuación f(x)=cos (x) cos(3.1*x) Intervalo: [1,2] Tolerancia: Número de iteraciones: 1000

12 La raíz está en con un error de x10-7. Código en Octave clc clear clear all format long ingresefuncion = input('ingrese la funcion: ', 's'); %aqui el usuario debe ingresar la funcion para calcularle la raiz a = input('ingrese limite inferior del intervalo: '); %se debe ingresar el limite izquierdo del intervalo b = input('ingrese limite superior del intervalo: '); %se debe ingresar el limite derecho del intervalo tol = input('ingrese la tolerancia deseada: '); %se debe ingresar la tolerancia deseada por el usuario iter = input('ingrese el numero de iteraciones: '); %se debe ingresar el maximo numero de iteraciones a realizar funcion = inline(ingresefuncion); %aqui se convierte a funcion una serie de caracteres para poder evaluar valores fa = funcion(a); %aqui se evalua la funcion en a fb = funcion(b); %aqui se evalua la funcion en b tabla = 0; %x1 = -50:0.5:50; %y1 = funcion(x1); %plot(x1,y1) if fa==0 fprintf('la raiz es : %g \n',a); %si al evaluar la funcion en a da 0 entonces indica que la raiz es a

13 else if fb==0 fprintf('la raiz es : %g \n',b); %si al evaluar la funcion en b da 0 entonces indica que la raiz es b else if fa*fb<0 %si la funcion en a y b tiene cambio de signo entonces se utiliza este intervalo xm=(a+b)/2; %encuentra el valor medio del intervalo fxm=funcion(xm); %evalua la funcion en el punto medio encontrado i=1; %se inicia el contador error=tol+1; %se inicia el error tabla(i,1) = i; tabla(i,2) = xm; tabla(i,3) = fxm; tabla(i,4) = error; while error>tol && fxm~=0 && i<=iter %mientras el error sea mayor a la tolerancia, fxm diferente de 0 y la iteracion actual sea menor o igual a iter, evalue las siguientes condiciones if fa*fxm<0 %si la funcion evaluada en a y xm cambia de signo entonces hacer limite superior xm y evalue la funcion b=xm; %se iguala el punto b al punto medio fb=fxm; %como los puntos b y xm son iguales. las funciones son iguales else %sino esto quiere decir que la raiz se encuentra en el otro intervalo a=xm; %y se iguala a y xm fa=fxm; %como los puntos a y xm son iguales. las funciones son iguales xaux=xm; xm=(a+b)/2; %encuentra el valor medio del intervalo fxm=funcion(xm); %evalua la funcion en el punto medio encontrado error=abs(xm-xaux); %se compara el error con la tolerancia i=i+1; %incrementa el numero de iteraciones tabla(i,1) = i; %En la columna 1 se muestra el numero de iteraciones tabla(i,2) = xm; %En la columna 2 se muestra el punto medio o sea la raiz tabla(i,3) = fxm; %En la columna 3 se muestra la funcion

14 evaluada en la raiz absoluto tabla(i,4) = error; %En la columna 4 se muestra el error if fxm==0 fprintf('la raiz es : %g \n',xm); %si al evaluar la funcion en xm da 0 entonces indica que la raiz es xm else if error<tol %no se encontro la raiz pero se llego a una aproximacion a esta con un error menor a la tolerancia fprintf('la aproximacion a la raiz es : %g con un error de: %g \n ',xm,error); suficiente'); ingresadas tabla else fprintf('el numero de iteraciones ingresadas no fue else %no se encontro la raiz con el numero de iteraciones fprintf('el intervalo ingresado es indaecuado'); 3. Método del Punto Fijo También llamado método de aproximación sucesiva. Permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. Busca raíces de una función, siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia. El Método de Punto Fijo (también conocido como iteración de punto fijo), es otro método para hallar los ceros de Para resolver, se reordena en una forma equivalente:

15 es un punto fijo de g por cumplir la anterior relación. Los puntos fijos de son las intersecciones de la gráfica de con la recta. Ejemplos 1) La ecuación se puede transformar en. 2) La ecuación se puede transformar en. Teorema Supongamos que g es continua [a,b] g(x) [a,b] para toda x [a,b], entonces g tiene un punto fijo en [a,b]. Si además g (x) existe en (a, b) y existe una constante positiva K < 1 con g'(x) K, para todo x (a,b), entonces el punto fijo en [a,b] es único. Demostración Si g(a)=a o si g(b)=b, entonces g trá un punto fijo en un extremo del intervalo [a,b]. Si se supone que g(a) a y g(b) b entonces se debe tener que: g(a) > a y g(b) < b (porque g(x) [a,b] para todo x [a,b]) g(a) - a > 0 y g(b) - b < 0. Si se define t(x) = g(x) - x, t es continua en [a,b] y t(a) = g(a) - a > 0 t(b) = g(b) - b < 0 Por el teorema del valor intermedio existe un c (a,b) tal que t(c)=0, es decir g(c) c = 0, g(c) = c, luego c es un punto fijo de g. Si se supone además que g'(x) K <1 y que c 1 y c 2 son dos puntos fijos de g en [a,b] con c 1 c 2, por el teorema del valor medio, existe un número z entre c 1 y c 2 tal

16 que o g(c 2 ) g(c 1 ) = g (z) c 2 - c 1. Como c 1 y c 2 son puntos fijos de g, g(c 2 ) = c 2 y g(c 1 ) = c 1, entonces c 2 - c 1 = g(c 2 ) - g(c 1 ) = g(c 2 ) c 2 - c 1 k c 2 - c 1 < 1 c 2 - c 1 (porque g (x) k <1). Luego, c 2 - c 1 < c 2 - c 1, lo cual es una contradicción, por lo tanto el punto fijo de g en [a,b] es único. Ejemplo: Hallar la raíz para la ecuación f(x)=cos(x)-cos(3.1*x) Se observa que en el método de punto fijo al darle una tolerancia tan pequeña (0.1*10^-5) no puede encontrar una solución en 1000 iteraciones; esto se debe a que aunque es un

17 método que por lo general encuentra la raíz, no lo hace rápidamente. Al darle una mayor tolerancia (1), el método converge en pocas iteraciones pero con un error elevado ( ). Código en Octave: clc clear clear all format long inputfuncion = input('ingrese la funcion f(x) : ', 's'); %El usuario debe ingresar la función a la cual va a calcularle la raiz funcion = inline(inputfuncion); %Aqui se convierte la funcion en una serie de caracteres para poder evaluar valores inputfunciongx = input('ingrese la funcion g(x) : ', 's'); %El usuario debe ingresar la derivada de la funcion funciongx = inline(inputfunciongx); %Aqui se convierte la derivada en una serie de caracteres para poder evaluar valores x0=input ('Ingrese el primer valor a evaluar en la funcion : ');%Aqui se debe ingresar el valor inicial a evaluar tol=input ('Ingrese la tolerancia deseada : ');%Se pide ingresar la tolerancia iter=input ('Ingrese el número maximo de iteraciones permitidas : ');%Aqui se ingresa el numero e iteraciones permitidas fx=funcion(x0) %Aqui se evalua fx en x0 i=1; %Se inicia el contador de iteraciones error=tol+1; %Se le da un valor inicial error while fx~=0 && error>tol && i<iter %Mientras no se haya encontrado la raiz y el error sea mayor que la tolerancia y el contador menor que iter comenzara a iterar el metodo x1=funciongx(x0) %Evalua la funcion gx en x0 encontrando x1 fx=funcion(x1) %Evalua fx en x1 error=abs(x1-x0); %Calcula el error x0=x1; %Se repite la iteracion hacio x0=x1 i=i+1; %Incrementa el numero de iteraciones tabla(i,1)=i; %En la columna 1 se muestra el numero de iteraciones tabla(i,2)=x0; %En la columna 2 se muestra el valor de x0 tabla(i,3)=fx; %En la columna 3 se muestra el valor de fx tabla(i,4)=error; %En la columna 4 se muestra el error absoluto

18 disp(tabla); %Muestra la tabla if fx==0 %Si encontro la raiz muestra el valor de p donde esta la raiz fprintf('la raiz es : %g \n',x0); else if error<tol %No se encontro la raiz pero se llego a una aproximacion a esta con un error menor a la tolerancia fprintf('la aproximacion a la raiz es : %g con un error de: %g \n',x0,error); else %No se encontro la raiz con el numero de iteraciones ingresadas fprintf('el numero de iteraciones ingresadas no fue suficiente \n'); 4. Método de Newton-Raphson También conocido como el método de las tangentes, pues utiliza rectas tangentes para acercarse a la raíz. Es un método iterativo que permite aproximar la solución de una ecuación f(x)=0, partio de una estimación inicial. Es uno de los métodos más utilizados debido a su rapidez y efectividad. (P1,f(P1) P0 P P1 (P0,f(P0) Ilustración 5 - Método Newton-Raphson Nota: El método Newton-Rapson puede divergir en los siguientes casos: f (P0)=0 P

19 (P P P P Ilustración (P 6 - Caso 1 El método puede entrar en un ciclo infinito. Ilustración 7 - caso 2 P f (P)=0 Ilustración 8 - caso 3 f (Pn)=0 P P P Ilustración 9 caso 4 Teorema Sea (existe y y son continuas) si es tal que para y entonces el método de Newton dado por la iteración: Genera una sucesión tal que, para lo suficientemente cercano a.

20 Método Newton y Punto fijo Sean f y g dos funciones, g es una una función de punto fijo asociada a f, si solo si: Ejemplo: Hallar la raíz para la ecuación f(x)=cos(x)-cos(3.1*x) La raíz es: El error es: 6.88*10^-6 Este método encontró la raíz en 8 iteraciones. La raíz que encontró no es la más cercana al valor inicial ingresado ya que al realizar la primera iteración, la recta tangente al punto inicial (x 0 =1), el intercepto con el eje x esta en , lo cual al hace que en las siguientes iteraciones encuentre más rápidamente la raíz que está en X= Código en Octave: clc clear clear all

21 format long inputfuncion = input('ingrese la función a la que le quiere calcular la raiz: ', 's'); %El usuario debe ingresar la función a la cual va a calcularle la raiz funcion = inline(inputfuncion); %Aqui se convierte la funcion en una serie de caracteres para poder evaluar valores inputderivada = input('ingrese la derivada de la funcion', 's'); %Aqui el usuario ingresa la derivada de f(x) derivada = inline(inputderivada); %Aqui se convierte la derivada en una serie de caracteres para poder evaluar valores x0 = input('ingrese el valor inicial inicial: '); %Aqui se debe ingresar el valor inicial a evaluar tol = input('ingrese el valor de tolerancia deseada: '); %Se pide ingresar la tolerancia iter = input('ingrese el número máximo de iteraciones: '); %Ingresar numero maximo de iteraciones a realizar fx = funcion(x0); %Aqui se evalua fx en el punto inicial ingresado dx = derivada(x0); %Aqui se evalua dx en el punto inicial ingresado i=1; %Se inicia el contador de iteraciones error=tol+1; %Se le da un valor inicial error while fx~=0 && dx~=0 && error>tol && i<iter %Mientras no se haya encontrado la raiz y el error sea mayor que la tolerancia y el contador menor que iter comenzara a iterar el metodo x1=x0-(fx/dx); %Se halla el valor de x1 por medio de x0 fx=funcion(x1); %Evalua fx en x1 dx=derivada(x1); %Evalua dx en x1 error=abs(x1-x0); %Calcula el error x0=x1; %Se repite la iteracion hacio x0=x1

22 i=i+1; %Incrementa el numero de iteraciones tabla(i,1)=i; %En la columna 1 se muestra el numero de iteraciones tabla(i,2)=x0; %En la columna 2 se muestra tabla(i,3)=fx; %En la columna 3 se muestra tabla(i,4)=error; %En la columna 4 se muestra el error absoluto disp(tabla); %Muestra la tabla if fx==0 %Si encontro la raiz muestra el valor de x donde esta la raiz else fprintf('la raiz es : %g \n',x0); if error<tol %No se encontro la raiz pero se llego a una aproximacion a esta con un error menor a la tolerancia else fprintf('la aproximacion a la raiz es : %g con un error de: %g ',x0,error); if dx==0 fprintf('no se puede ejecutar el metodo porque p0 (%g) es una posible raiz multiple',x0) else %No se encontro la raiz con el numero de iteraciones ingresadas fprintf('el numero de iteraciones ingresadas no fue suficiente'); 5. Método de la Secante El método de la secante se define como una variante del Método de Newton. A

23 partir de la ecuación iterativa del método de Newton, se sustituye la derivada por una expresión próxima. El método de Newton está dado por: Y la derivada evaluada en está dada por: Al aproximar el valor del límite evaluado en, tenemos que: Al sustituir este valor en la ecuación que define la iteración del método de Newton, se obtiene el método de la secante: Paso a paso: a) Se seleccionan dos valores como punto de partida y (dentro del intervalo de interés), y se obtiene mediante la ecuación iterativa. b) Se genera una sucesión de valores que se espera converja a la raíz de la ecuación. c) Se suspe el proceso cuando se llegue al valor de la raíz o a la aproximación de ésta tomando en cuenta la precisión deseada.

24 Ilustración 10 - Método de la Secante Ejemplo: Encontrar la raíz de la ecuación f(x)=cos(x)-cos(3.1*x) Límite izquierdo del intervalo: 1 Límite derecho del intervalo: 2 Tolerancia: Número de iteraciones: 1000 La aproximación a la raíz es con un error de x Este método es bastante rápido puesto que encontró la aproximación a la raíz en seis (6) iteraciones. Además es bastante preciso ya que el error es del orden de 10 a la menos 10. Código en Octave: clc clear clear all format long

25 inputfuncion = input('ingrese la función : ', 's'); %Aqui el usuario debe ingresar la funcion para calcularle la raiz funcion = inline(inputfuncion);%aqui se convierte a funcion una serie de caracteres para poder evaluar valores x0 = input ('Ingrese el límite izquierdo del intervalo: '); %Aqui se debe ingresar la primera aproximacion para evaluar en f(x) x1 = input ('Ingrese el límite derecho del intervalo: '); %Aqui se debe ingresar la segunda aproximacion para evaluar en f(x) tol = input ('Ingrese la tolerancia deseada : '); %Se pide ingresar la tolerancia iter = input ('Ingrese el número de iteraciones máximas : '); %Ingresar el numero maximo de iteraciones a realizar fx0=funcion(x0); %Aqui se evalua x0 en la funcion if fx0==0 %Si encontro la raiz muestra el valor de x donde esta la raiz fprintf('la raiz es : %g \n',x0); else fx1=funcion(x1); %Se evalua la funcion en el punto x1 i=1; %Se inicia el contador de iteraciones error=tol+1; %Se le da un valor inicial error denominador=fx1-fx0; %Se calcula el denominador while error>tol && fx1~=0 && denominador~=0 && i<iter x2=x1-((fx1*(x1-x0))/denominador); %Se halla el valor de x2 error=abs(x2-x1); %Calcula el error x0=x1; %Se hace x0=x1 fx0=fx1; %Se hace fx0=fx1 x1=x2; %ss hace x1=x2 fx1=funcion(x1); %Se evalua la funcion en el punto x1 denominador=fx1-fx0; %Se calcula el denominador i=i+1; %Incrementa el numero de iteraciones tabla(i,1)=i; %En la columna 1 se muestra el numero de iteraciones tabla(i,2)=x1; %En la columna 2 se muestra tabla(i,3)=fx1; %En la columna 3 se muestra tabla(i,4)=error; %En la columna 4 se muestra el error absoluto disp(tabla); %Muestra la tabla if fx1==0 %Si encontro la raiz muestra el valor de x donde

26 esta la raiz fprintf('la raiz es : %g \n',x1); else if error<tol %No se encontro la raiz pero se llego a una aproximacion a esta con un error menor a la tolerancia fprintf('la aproximacion a la raiz es : %g con un error de: %g ',x1,error); else if denominador==0 %Si el denominador es 0 no se puede ejecutar el metodo fprintf('no se puede ejecutar el metodo porque x1 (%g) es una posible raiz multiple',x1); else %No se encontro la raiz con el numero de iteraciones ingresadas fprintf('el numero de iteraciones ingresadas no fue suficiente'); 6. Método de la Regla Falsa Es un método que conserva las características y condiciones del método de la bisección, su diferencia se encuentra al calcular los puntos para nuevos intervalos. Requiere dos puntos iniciales, se construye una recta secante a estos puntos y se evalúa donde cruza al eje x, de esta forma se aproximara más rápido a la raíz P2 P3 P P1 Ilustración 11 - Método de la Regla falsa

27 Paso a paso a) Se seleccionan dos valores arbitrarios P0 y P1 (dentro del intervalo de interés), se traza una recta secante a estos dos puntos. b) Se evalúa f(p0) f(p1)<0 para garantizar que tienen signos opuestos. c) Se observa el intercepto de la recta secante con el eje x, para hallar P2. d) Se evalúa f(p2): Si f(p2)=0 P2 es la raíz Si f(p1)f(p2)<0 se usa P1 y P2 para la siguiente iteración. Si f(p1)f(p2)>0 se usa P0 y P2 para la siguiente iteración. Ejemplo: Encontrar la raíz de f(x)=cos(x)-cos(3.1*x) Primer valor inicial: 1 Segundo valor inicial: 2 Tolerancia: Número de iteraciones: 1000 La aproximación a la raíz es con un error de x Código en Octave clc clear clear all format long ingresefuncion=input('ingrese la funcion: ', 's'); %Aqui el usuario debe ingresar la

28 funcion para calcularle la raiz x0=input('ingrese el primer valor inicial: '); %Se debe ingresar la primera aproximacion x1=input('ingrese el segundo valor inicial: '); %Se debe ingresar la segunda aproximacion tol=input('ingrese la tolerancia deseada: '); %Se debe ingresar la tolerancia deseada por el usuario iter=input('ingrese el numero de iteraciones: '); %Se debe ingresar el maximo numero de iteraciones a realizar funcion=inline(ingresefuncion); %Aqui se convierte la funcion en una serie de caracteres para poder evaluar valores fx0=funcion(x0); %Aqui se evalua la funcion en x0 fx1=funcion(x1); %Aqui se evalua la funcion en x1 if fx1==0 %Si al evaluar la funcion en x1 da 0 entonces indica que la raiz es x1 fprintf('la raiz es : %g \n',x1); else if fx0==0 fprintf('la raiz es : %g \n',x0); %Si al evaluar la funcion en x0 da 0 entonces indica que la raiz es x0 else if fx0*fx1<0 %Si la funcion en x0 y x1 tiene cambio de signo entonces se utiliza este intervalo x2= x0-((fx0*(x1-x0))/(fx1-fx0)); %Encuentra el valor del punto medio fx2=funcion(x2); %Evalua la funcion en el punto medio encontrado i=1; %Se inicia el contador error=tol+1; %Se inicia el error while error>tol && fx2~=0 && i<=iter %Mientras el error sea mayor a la tolerancia, fxm diferente de 0 y la iteracion actual sea menor o igual a iter, evalue las siguientes condiciones if fx0*fx2<0 %Si la funcion evaluada en a y xm cambia de signo entonces hacer limite superior xm y evalue la funcion x1=x2; %Se iguala x1 con x2 fx1=fx2; %Como las variables son iguales. Las respectivas funciones también lo seran else %Sino esto quiere decir que la raiz se

29 encuentra en el otro intervalo x0=x2; %Igualo x0 a x2 fx0=fx2; %Como las variables son iguales. Las respectivas funcions también lo seran xaux=x2; x2=x0-((fx0*(x1-x0))/(fx1-fx0)); %Encuentra el valor medio del intervalo fx2=funcion(x2); %Evalua la funcion en el punto medio encontrado error=abs(x2-xaux); %Se compara el error con la tolerancia i=i+1; %Incrementa el numero de iteraciones tabla(i,1)=i; %En la columna 1 se muestra el numero de iteraciones tabla(i,2)=x2; %En la columna 2 se muestra tabla(i,3)=fx2; %En la columna 3 se muestra tabla(i,4)=error; %En la columna 4 se muestra el error absoluto if fx2==0 fprintf('la raiz es : %g \n',x2); %Si al evaluar la funcion en xm da 0 entonces indica que la raiz es xm else if error<tol %N se encontro la raiz pero se llego a una aproximacion a esta con un error menor a la tolerancia fprintf('la aproximacion a la raiz es : %g con un error de: %g \n ',x2,error); else %El numero maximo de iteraciones que ingreso el usuario, no son suficientes para encontrar la raiz fprintf('el numero de iteraciones ingresadas no fue suficiente: \n '); else %Ls valores ingresados estan errados, vuelva a dar un nuevo intervalo fprintf('el intervalo ingresado es indaecuado: \n ');

30 disp(tabla); %Muestra la tabla 7. Método de las Raíces Múltiples Es conocido como el método de Newton-Raphson modificado. Una de las condiciones para garantizar la convergencia del método de Newton- Raphson es que, donde P es la raíz de la ecuación. Si al momento de ejecutar el método de Newton-Raphson se observa que se aproxima a 0 (cero), se nota que la rapidez de convergencia del método disminuye. Del mismo modo se entie que si en un valor de P se presenta simultáneamente que y que, entonces P es un valor crítico.x Se dice que P es una raíz de multiplicidad m de f si puede escribirse:, donde. Si, se llama raíz simple. El criterio de multiplicidad de una raíz se determina con el siguiente teorema: Sea [ ]. La función f tiene una raíz de multiplicidad m en P si y sólo si pero. Paso a paso: a) Elegir un punto inicial cualquiera x 1 como aproximación de la raíz. b) Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto. c) Establecer la función y obtener el valor de la misma en el punto inicial. d) Trazar una recta tangente a la función por ese punto. e) El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (x 2, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz. f) El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección x n coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

31 Se utiliza la siguiente ecuación para hallar el intercepto con el eje x: Ejemplo: Encontrar la raíz de la ecuación f(x)=cos(x)-cos(3.1*x) La raíz es: Error: *10^-13 Se puede observar que el método converge rápidamente y con gran precisión ya que encontró la raíz en 7 iteraciones. Código en Octave: clc clear clear all format long inputfuncion = input('ingrese la función : ', 's'); %El usuario debe ingresar la función

32 a la cual va a calcularle la raiz funcion = inline(inputfuncion); %Aqui se convierte la funcion en una serie de caracteres para poder evaluar valores inputderivada = input('ingrese la derivada : ', 's'); %Aqui el usuario ingresa la primera derivada de f(x) derivada = inline(inputderivada); %Aqui se convierte la primera derivada en una serie de caracteres para poder evaluar valores input2daderivada = input('ingrese la segunda derivada : ', 's'); %Aqui el usuario ingresa la segunda derivada de f(x) derivada2 = inline(input2daderivada); %Aqui se convierte la segunda derivada en una serie de caracteres para poder evaluar valores x0 = input('ingrese un valor aproximado a la raíz : '); %Aqui se debe ingresar el valor inicial a evaluar tol = input('ingrese la tolerancia permitida : '); %Se pide ingresar la tolerancia iter = input('ingrese el número de iteraciones máximas : ');%Ingresar numero maximo de iteraciones a realizar fx = funcion(x0); %Aqui se evalua fx en el punto inicial ingresado dx = derivada(x0); %Aqui se evalua la primera derivada en el punto x0 d2x = derivada2(x0); %Aqui se evalua la segunda derivada en el punto x0 denominador=(dx^2-(fx*d2x)); %Aqui se calcula el valor del denominador i=1; %Se inicia el contador de iteraciones error=tol+1; %Se le da un valor inicial error while fx~=0 && dx~=0 && error>tol && i<iter && denominador~=0 %Mientras no se haya encontrado la raiz y el error sea mayor que la tolerancia y el contador menor que iter comenzara a iterar el metodo

33 x1=x0-((fx*dx)/denominador); %Se halla el valor de x1 fx=funcion(x1); %Evalua fx en x1 dx=derivada(x1); %Evalua la primera derivada en x1 d2x=derivada2(x1); %Evalua la segunda derivada en x1 denominador=(dx^2-(fx*d2x)); %Se reevalua el denominador error=abs(x1-x0); %Calcula el error x0=x1; %Se repite la iteracion hacio x0=x1 i=i+1; %Incrementa el numero de iteraciones tabla(i,1)=i; %En la columna 1 se muestra el numero de iteraciones tabla(i,2)=x0; %En la columna 2 se muestra el valor de x1 tabla(i,3)=fx; %En la columna 3 se muestra el valor de fx1 tabla(i,4)=error; %En la columna 4 se muestra el error absoluto disp(tabla); %Muestra la tabla if fx==0 %Si encontro la raiz muestra el valor de x donde esta la raiz else fprintf('la raiz es : %g \n',x0); if error<tol %No se encontro la raiz pero se llego a una aproximacion a esta con un error menor a la tolerancia ',x0,error); fprintf('la aproximacion a la raiz es : %g con un error de: %g else metodo if denominador==0 %Si el denominador es 0 no se puede ejecutar el fprintf('no se puede ejecutar el metodo porque el

34 denominador (%g) es igual a ',denominador) ingresadas else %No se encontro la raiz con el numero de iteraciones fprintf('el numero de iteraciones ingresadas no fue suficiente');

35 CONCLUSIONES El método de Newton-Raphson es el que tiene más precisión al encontrar las raíces, además converge más rápido que otros métodos como bisección, regla falsa y punto fijo. Sin embargo el método de la secante también presenta alto rapidez de convergencia, pues encuentra la raíz en pocas iteraciones. Para garantizar la convergencia de los métodos es necesario que la función sea continua al menos en el intervalo a evaluar. Sin embargo bajo ciertas condiciones especiales, los métodos como el de Newton, punto fijo, secante y raíces múltiples pueden llegar a divergir, en tales casos resultan más efectivos los métodos de búsquedas incrementales y bisección, ya que aunque requieran de más iteraciones siempre convergen. Para el método de búsquedas incrementales, no es estrictamente necesario que al evaluar la función en los extremos del intervalo, exista un cambio de signo. Para realizar las demostraciones de los métodos es necesario tener conceptos claros sobre algunos teoremas (Teorema de valor intermedio, teorema del valor medio y el teorema de rolle).

36 BIBLIOGRAFÍA Capitulo 5: Ceros de Funciones. (s.f.). Recuperado el 12 de Septiembre de 2013, de ndicecap5.html Mario Cesca, M. C. (2012). Procesos Industriales. Recuperado el 12 de Septiembre de 2013, de Métodos Numéricos: 12.pdf Métodos Numéricos. (s.f.). Recuperado el 12 de Septiembre de 2013, de Resolución de Ecuaciones no Lineales. (s.f.). Recuperado el 12 de Septiembre de 2013, de o.pdf Romero, L. N. (s.f.). SlideShare. Recuperado el 12 de Septiembre de 2013, de MéTodo De IteracióN De Punto Fijo: Zabala, F. J. (2010). Métodos Numéricos. Medellín: Fondo Editorial Universidad EAFIT.