APROXIMACIÓN NUMÉRICA Y ERRORES

Transcripción

1 Análisis numérico

2 APROXIMACIÓN NUMÉRICA Y ERRORES

3 Antecedentes En 1947 se crea en la universidad de California el INSITITUTO DE ANÁLISIS NUMÉRICO. El análisis numérico es la rama de las matemáticas, cuyos limites no son del todo precisos, que se encarga de diseñar algoritmos para que a través de números y reglas matemáticas simples lograr simular procesos matemáticos complejos aplicados a procesos del mundo real. Algoritmo es un procedimiento que mediante un número finito de pasos que pueden efectuarse de manera lógica nos pueden llevar a una solución aproximada de un problema. Existe una gran variedad de algoritmos (métodos numéricos) desarrollados desde la antigüedad para encontrar soluciones satisfactorias a modelos matemáticos que pueden representar una gran variedad de sistemas físicos. ANÁLISIS NUMÉRICO Mezcla de matemáticas y ciencias de la computación Matemática crear algoritmo (métodos numéricos) Computación desarrollo de software

4 Análisis Numérico La ciencia que nos permite obtener resultados de problemas representados en forma matemática utilizando procedimientos aritméticos. A la definición anterior hay quien agrega que es un arte, ya que se trata de seleccionar el mejor método para resolver un problema.

5 Ejemplo 1: Resolver el problema de encontrar la raíz cuadrada de un número positivo. Se puede resolver de: a) Método tradicional b) Tabulación c) Utilizar la forma d) Utilizar un método numérico de aproximaciones. X 12 B 2 B 2A 4AC

6 En el mundo real los datos con que se trabaja son inexactos, se basan en medidas y por lo tanto son aproximaciones. Exactitud. se puede definir como que tan cerca estamos del valor real, se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa. Precisión. Cifras significativas que se toman en un resultado o para realizar cálculos. Cifras significativas. Sirven para designar la confiabilidad de un valor numérico. Certeza más un estimado Se puede hablar entonces de cifras significativas y cifras decimales significativas. El total de cifras significativas es independiente del punto decimal. Representación Numérica Punto fijo Punto flotante

7 Los errores que se presentan son de tres tipos: Medición del error. Valor exacto valor aproximado error La forma de medir el error es error absoluto valor exacto valor aproximado error error absoluto relativo valor real e a e r V n 1 e V V a n 1 n

8 EJERCICIOS

9 1) Calcule los errores absoluto y relativo sí p se representa por p considere 5 dígitos con redondeo en las operaciones. a) p=π p = 22/7 b) p=e p = c) p=10 π p =

10 2) Los siguientes números provienen de un computador decimal con una mantisa normalizada de 4 dígitos: a = x 10-3 ; b = x 10 1 ; c = x 10 4 realizar las siguientes operaciones e indicar el error en el resultado, suponiendo redondeo. a) a + b + c ; b) (c) (a) / b ; c) (c) / (b)

11 3) Calcular el error absoluto y relativo, a) por truncamiento y b) por redondeo, de la fracción 24 7, considerando como verdadero el resultado aproximado a seis cifras decimales igual a Considere que si se trunca a dos decimales, es decir 3.42, su expresión como fracción racional equivalente es , y si se redondea a dos decimales, es decir 3.43, su expresión como fracción racional equivalente es

12 4) Dada la función f ( x) cos( x) 1 2 x 2! 4 x 4! 6 x 6! 8 x 8! 3 a) para x calcule el valor exacto b) considerando el polinomio dado, obtenga el valor para x tome redondeo a cinco cifras 3 decimales. c)encuentre el error absoluto y relativo entre a y b.

13 5) Sea f x = 6x 2 3x , valúe f x para x = usando 4 cifras decimales. a) Calcule el valor exacto (con todos los dígitos de la calculadora). b) Aplicando redondeo, calcule el valor de f x, el error absoluto y el c) error relativo exactos. c) Aplicando truncamiento calcule el valor de f x, el error absoluto y el d) error relativo exactos.

14 Análisis del error En un resultado numérico se toma en cuenta la propagación del error, ya que en cualquier cómputo hecho a mano o con un dispositivo de cálculo estará presente el error. Algunas recomendaciones para minimizar el error. 1. En las operaciones de suma y/o resta, se trabaja primero con los más pequeños. 2. Evitar la resta de 2 cantidades aproximadamente iguales. 3. Minimizar el número de operaciones aritméticas.

15 Métodos iterativos En general, los métodos iterativos se clasifican en métodos de aproximaciones sucesivas y métodos de paso a paso. Los métodos que parten de una aproximación inicial a la solución x de un problema mediante la aplicación reiterada de una o varias fórmulas de recurrencia proporcionan aproximaciones x 1, x2, x3..., x n a la solución x, se denominan métodos de aproximaciones sucesivas.

16 Por otra parte, los métodos denominados de paso a paso son aquellos que parten de un valor inicial y se basan también en la aplicación de una fórmula de recurrencia; pero, a diferencia de los métodos de aproximaciones sucesivas, se utilizan para obtener aproximaciones a la solución de una sucesión de números, en lugar de un solo valor. Los métodos iterativos no siempre proporcionan aproximaciones aceptables y, en muchos casos, el error que se obtiene al aplicarlos aumenta a medida que se incrementa el número de iteraciones. Dos de las principales causas del aumento del error se explican con los conceptos de convergencia y estabilidad.

17 Convergencia. Se dice que existe convergencia al aplicar un método numérico por aproximaciones sucesivas, cuando al obtener las diferentes aproximaciones tanto el error absoluto como el relativo tienden a ser menor que una tolerancia predeterminada. En caso contrario el método diverge. Estabilidad. Se dice que existe estabilidad de un método numérico, cuando la variación tiende a ser menor entre dos aproximaciones.

18 APROXIMACIÓN DE FUNCIONES POR MEDIO DE POLINOMIOS LA SERIE DE TAYLOR Una manera de aproximar funciones por su(s) polinomios es la Serie de Taylor. TEOREMA DE TAYLOR Dada una función f(x) que acepta n derivadas en un intervalo contínuo [a,b] que existe la enésima mas un derivada f n+1 y un valor x 0 en [a,b] entonces f x = P n x + R n (x) En donde P n (x)=f x 0 + f x 0 x x 0 + f (x 0)(x x 0 ) 2 y R n x = fn+1 (ξ )(x x 0 ) n+1 n+1! 2! + + fn (x 0 )(x x 0 ) n n!

19 Se dice que el P n (x) es el polinomio de Taylor de grado enésimo para la función alrededor de x 0 y R n se llama término del residuo o error de truncamiento asociado al polinomio de grado n. El valor de ξ en R n depende del valor x donde se evalúa el polinomio, la determinación de ξ no es fácil y el polinomio de Taylor solo asegura que existe y su valor se encuentra entre x y x 0. Una variante de Taylor se tiene cuando x 0 = 0 y Taylor se convierte en McLaurin. Ejemplo 1. Utilice la serie de Taylor para valuar la para la función f x = x utilizando un polinomio de tercer grado.

20 TAREA 1 1) Sumar las siguientes cantidades: a) en orden ascendente b) en orden descendente x 10 0 i) al hacer las sumas parciales redondear x 10 1 utilizando aritmética de 4 dígitos x x 10 3 ii) con la suma exacta con al menos x dígitos calcule el e a y el e r 2) El número e con cinco cifras decimales correctas es , calcule el error absoluto y relativo en que se incurre al tomar n=4 en la expresión: Cuánto debe valer n para asegurar el valor con las cinco cifras decimales correctas?

21 3) Calcule el valor de la resistencia equivalente, con su error, si se conectan en paralelo las resistencias R 1 = 12 ± 1.3 ohms y R 2 = 15 ± 1.7 ohms, si sabe que la resistencia equivalente se obtiene como: R eq = R 1 R 2 R 1 + R 2 ohms.

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23 5) Represente las siguientes cantidades, 1) ) ) ) a) con 3 cifras significativas b) con 3 cifras decimales significativas c) normalizado a una mantisa de 4 dígitos