Aproximaciones y Errores de Redondeo: Cómo me puedo aproximar a entender el error

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1 Aproximaciones y Errores de Redondeo: Cómo me puedo aproximar a entender el error Oscar Javier García-Cabrejo 1 Análisis Numérico 22 de febrero de 2008 Son los Errores importantes? 1

2 1. Problema de motivación Un problema simple 1.1. Planteamiento del Problema Planteamiento del Problema Problema Determinar la velocidad del paracaídista en cualquier momento de la caída teniendo en cuenta la acción de la fuerza de la gravedad y de la fricción del aire. Modelo matemático 1 La acción de las fuerzas y sus reacciones pueden ser descritas mediante la 2 Ley de Newton: F = ma (1) 1.2. Modelo Matemático Modelo Matemático Modelo matemático 2 La Fuerza hacia abajo se le asigna una signo positivo (+) y está dada por: F D = mg (2) La resistencia del aire se puede asumir que depende linealmente de la velocidad: donde c es el coeficiente de resistencia o arrastre kg/s F U = cv (3) 2

3 Modelo Matemático Modelo matemático 3 La fuerza resultante está dada por: y la cual se puede expresar: dv dt F = F D F U (4) = mg cv m = g c m v (5) Modelo Matemático Problema Resuelva la anterior ecuación diferencial, y determine que información adicional requiere para hacerlo de forma satisfactoria. Modelo Matemático Modelo matemático 4 Despejando v se tiene: v(t) = gm c (1 exp ( c/m)t) (6) 1.3. Solución Análitica Solución Analítica Al reemplazar los valores de los parámetros se tiene: v(t) = 9,8(68,1) (1 exp ( (12,5/68,1)t)) 12,5 = 53,39(1 exp ( 0,18355t)) (7) Solución Analítica Calcule la velocidad del paracaidista para los siguientes tiempos: 3

4 t(s) Vel(m/s) Solución Analítica Calculando la velocidad para diferentes tiempos: 1.4. Solución Numérica t(s) Vel(m/s) Solución Numérica Debemos recurrir a una solución numérica en los siguientes casos: El valor del coeficiente de arrastre no es constante durante todo el movimiento La integral con respecto al tiempo no tiene solución analítica Solución Numérica Problema Cómo se puede resolver la ecuación: dv dt = gm c ( ( c ) 1 exp t m) de forma numérica? Compare el resultado obtenido con la solución analítica, y comente. 4 (8)

5 Solución Numérica La diferencia finita para calcular la velocidad está dada por: donde: dv dt = v t = v(t i+1) v(t i ) t i+1 t i (9) v y t son diferencias en la velocidad y en el tiempo respectivamente calculadas sobre intervalos finitos. v(t i ) es la velocidad en el tiempo inicial t i y v(t i+1 ) es la velocidad en el tiempo final considerado. Solución Numérica Al reemplazar la diferencia finita (ecuación 9) en la ecuación de la velocidad (ec. 6) v(t i+1 ) v(t i ) t i+1 t i = g c m v(t i) (10) Reordenando y despejando v(t i+1 ) se tiene: [ v(t i+1 ) = v(t i ) + g c ] m v(t i) (t i+1 t i ) (11) Validación - Solución Analítica Solución Numérica t(s) Vel(m/s) Vel(m/s) Validación 5

6 - Solución Analítica Solución Numérica t(s) Vel(m/s) Vel(m/s) Validación + Post-Procesamiento 2. Errores 2.1. Error de Truncamiento Error de Truncamiento Definición 1. Los errores de truncamiento son aquellos que se originan de emplear una aproximación en lugar de una representación exacta en las ecuaciones/valores que describen el problema de interés. (Dependen del método). Ejemplo 2. cos x = 1 x2 2 + x

7 2.2. Error de Redondeo Error de Redondeo Definición 3. Los errores de redondeo se presentan por la incapacidad de representar el valor verdadero de un número en un computador (número aproximado número real, Dependen del equipo) Ejemplo 4. π = 3,1416 exp (1) = 2, Precisión y Exactitud Precisión y Exactitud Definición 5. Exactitud - Que tan cercanos están los valores calculados o medidos con el valor real. Precisión - Que tan cercanos se encuentran o concuerdan los valores medidos o calculados entre si mismos. Precisión y Exactitud Precisión y Exactitud 2.4. Error Numérico Error Numérico Definición 6. El error numérico se define como la diferencia entre el valor verdadero y la aproximación obtenida por el método numérico: error verdadero = valor verdadero valor aproximado = x real x (12) 7

8 Error Relativo Definición 7. El error relativo se define como la relación entre el error verdadero y el valor verdadero: Error Relativo 2 Error Relativo = Error verdadero Valor Verdadero = x real x (13) x real Definición 8. Ya que el valor verdadero muchas veces no se conoce, el error relativo se redefine en términos de la mejor aproximación que se tenga al mismo, es decir, el valor aproximado: Error: Ejemplo error aproximado Error Relativo = valor aproximado = x (14) t x t 1 x t Problema 9. Determine el error verdadero y el error relativo en los siguientes Elemento Longitud Medida Longitud Real casos: Puente 9999 cm cm Remache 9 cm 10 cm 8

9 Error: Ejemplo Solución 1 Para determinar el error verdadero se aplica la ecuación 12: Puente: E v = = 1 cm Remache: E v = 10 9 = 1 cm Solución 2 El error relativo en este caso se puede determinar con la ecuación 13: Puente: E rel = 1/10000 = = 0,01 % Remache: E rel = 1/10 = 0,1 = 10 % 2.5. Cifras Significativas Cifras Significativas Definición 10. Las cifras significativas en un número son aquellas que se pueden utilizar de forma confiable en un cálculo, más una. Implicaciones Existen dos implicaciones importantes: Métodos Numéricos dan respuestas aproximadas y confiabilidad de las mismas (cifras significativas) Error de redondeo: números solo se pueden representar con un número determinado de cifras significativas dada por la precisión de la máquina. Cifras Significativas: Ejemplo Ejemplo 11. Número Cifras Significativas ,4,5 4, , ,

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