2. Representación de números 1
|
|
- Rosa Palma de la Cruz
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 2. Representación de números 1 Julio C. Carrillo E. Escuela de Matemáticas, UIS
2 2. Representación de números 2 1. Representación de punto flotante normalizada La notación científica es un tipo de representación de números reales la cual es particularmente para representar y operar numéricamente, en particular, con aquellos de tales números que son demasiado pequeños o demasiado grandes. Como veremos, este tipo de problema también se presentan cuando en una computadora se tratan de representar y manipular números reales, pero con una dificultad adicional: toda calculadora o computadora solo trabaja con números finitos, más no infinitos. Una variación de la notación científica da la solución a este problema.
3 2. Representación de números 3 Sea β la base a ser utilizada por una computadora para representar número reales. Entonces todo número real no nulo x puede ser representado en la forma de punto flotante normalizada (notación científica normalizada) como: x = σ (0.a 1 a 2 a t a t+1 ) β β e donde σ = ±, a 1 0 y e es un entero. Los números a 1,a 2,... son dígitos tales que 0 a i < β. Por ejemplo, en base 10, 37,21829 = 0, ,00227 = 0, ,11059 = 0, En esta representación, el exponente e es un número entero que no necesariamente se considera que tiene representación en la base β.
4 2. Representación de números 4 Por ejemplo, en base 2, 3 16 = 0, = 0, Debe aclararse que en la representación de punto flotante normalizada en una base β dada, los números reales pueden tener una representación decimal finita, infinita periódica o infinita no periódica. Aún más, también puede suceder que números reales que tienen representación finita en una base pueden tener representación infinita en otra base. Por ejemplo, 1 10 = (0,1) 10 = (0, ) 2. = (0, ) 8 Como una calculadora o computadora tiene únicamente capacidad de representar y almacenar cantidades finitas, este tipo de máquinas únicamente operan con números que se puedan representar con un número finito de dígitos. Los números reales que son representados
5 2. Representación de números 5 en un computador son llamados números de máquina. Como todo número usado en cálculos numéricos por el sistema de una computadora debe ser conforme al formato de los números en tal sistema, este número debe tener una expansión finita. Es importante destacar que la mayoría de números reales no pueden ser representados exactamente en un computador. El sistema numérico utilizado por un computador no es un continuo pero si es un conjunto discreto. A fin de ejemplificar la anteriormente mencionado, consideremos todos los números de punto flotante que se pueden representar de la forma x = ±(0.b 1 b 2 b 3 ) 2 2 ±k donde b 1,b 2,b 3 y k son dígitos binarios. En este caso existen dos elecciones para el signo ±, dos opciones para b 1, dos opciones para b 2, dos opciones para b 3 y tres opciones para el exponente: ±1,0. En total, existen = 48 diferentes números que tienen esta
6 2. Representación de números 6 forma. Los números de este sistema son dados así:
7 2. Representación de números 7 El menor y el mayor número, no negativos, que se pueden representar en este sistema son, respectivamente, 0, = , = 7 4 (menores mantisa y exponente) (mayores mantisa y exponente) Los números positivos de este sistema en este rango es un conjunto discreto el cual es dado en la siguiente figura. Si en el proceso de un cálculo numérico, el resultado es un número x de la forma ±q e, donde e está fuera del rango permitido, entonces se dice que un desbordamiento o un subdesbordamiento ha ocurrido o que x esta fuera del rango del computador. Generalmente el desbordamiento resulta en un error fatal para, y la ejecución normal del programa se para. Un subdesbordamiento se resuelve fácilmente al hacer x igual a cero.
8 2. Representación de números 8 En en un computador con un sistema de números de punto flotante como el considerado anteriormente, cualquier número no nulo más cercano a 0 que a 1 16 puede producir subdesbordamiento a cero y cualquier número fuera del rango 1,75 = 7 4 y 1,75 = 7 4 puede desbordar la máquina a infinito. En efecto, al utilizar la forma de punto flotante normalizada encontramos que estos números (excepto el cero) tienen la forma x = ±(0,1b 2 b 3 ) 2 2 ±k. Los números de máquina no negativos se encuentran representados en la siguiente figura, y se encuentran en el rango 1 4 y 7 4. En efecto, el menor numero de máquina positivo es(0,100) 2 1 = Por ejemplo, 16 = 0, escrito en forma de punto flotante normalizada es 3 16 = 0, en donde 2 = e k = 0,±1.
9 2. Representación de números 9 2. Representación de punto flotante En representación de punto flotante, un número es representado internamente por un bit con signo (interpretado como mas o menos), un exponente entero exacto e, llamado característica, y una mantisa de la forma 1.f = 1+f. Juntas representan el número ( 1) s β e E (1.f) 2 (1) donde s = 0 corresponde a + y s = 1 a, 2 es la base de la representación (algunas veces la base es 8 o 16), y E es el sesgo del exponente (para la representación adecuada de números con magnitud pequeña), una constante entera fija para cualquier máquina y representación dada. Como ejemplo, ver la siguiente tabla.
10 2. Representación de números 10 Tipo #s #e #f w E p Media Simple Doble Extendida #s: bits del signo, #e: número de bits del exponente, #f: número de bits de la mantisa, E = 2 #e 1 1, w: número total de bits o longitud de la palabra, p = #f + 1: bits de precisión. Cuadro 1: Formatos binarios del estándar IEEE
11 2. Representación de números 11 Por ejemplo, el valor deeen la representación de un número de punto flotante en doble precisión debe cumplir con la condición 0 < e < ( ) 2 = = Para poder representar números muy pequeños se considera el sesgo a como ( ) 2 = = 1023 Así, el exponente de los números en esta representación cumplen con la condición que 1022 e De igual modo, la mantisa de cada número no negativo debe cumplir la desiguadad b 1 (1.f) 2 (1, ) 2 = a 10 es el número de dígitos que se usan en el exponente, el primero de ellos se usa para el signo. b Como 1 + r + + r n = rn+1 1, entonces r 1 n = 2 n+1 1 y n = 1 2 n.
12 2. Representación de números 12 dado que f incluye 52 bits. Como , = 0, , entonces en cálculos corrientes 15 dígitos decimales significativos pueden ser obtenidos con doble precisión. El mayor número de máquina de doble precisión que se puede obtener es ( ) , El número de máquina más pequeño de doble precisión es , Ejemplo 1. Determine la representación en número de máquina de simple precisión del número deciamal 52, Solución. La part entera en binario es(52) 10 = (11010) 2, y la parte decimal es (0,234375) 10 = (0, ) 2. Entonces (52,234375) 10 = ( , ) 2 = (1, ) es la representación en la forma de punto flotante en base 2, y (0, ) 2 es la mantisa almacenada. Ahora el exponente es
13 2. Representación de números 13 (5) 10, y como e 127 = 5, entonces (e) 10 = (132) 10 = ( ) 2 es el exponente almacenado. Por lo tanto, la representación buscada es ( 52,23437) 10 = [ ] 2 Ejemplo 2. Determine el número decimal que corresponde al número de máquina ( ) 2. Solución. Este número involucra 32 bits, por la cual corresponde a la representación de un número real x en simple precisión: 1 dígito binario para el signo, 7 para el exponente y 23 para la mantisa. Una
14 2. Representación de números 14 idea de esta distribución es, ( ) 2. El exponente almacenado es ( ) 2 = ( ) 10 = (130) 10 y el exponente de x es e E = = 12. La mantisa es positiva y representa el número x = (1, ) = ( ) 2 = = 7112.
15 2. Representación de números Errores de computador en la representación de números Revisemos de nuevo el problema que ocurre en la representación en el computador de un número real dado x. Utilicemos un computador que utiliza números de máquina de 32 bits (precisión simple: #s = 1, #e = 8, #f = 23). Si x = o x = , estos exponentes exceden por desbordamiento y subdesbordamiento, resp., y el error relativo que se obtiene al reemplazar a x por el número de máquina más cercano axsería muy grande. Tal número está fuera del rango de números de máquina de 32 bits de longitud: en este caso el exponente e debe representar un número entre (2 7 1) = 127 y 128. A modo de discusión, consideremos un número real cualquiera x en forma punto de punto flotante en precisión simple de la forma x = q 2 e ( 1 2 q < 1, 126 e 127)
16 2. Representación de números 16 El proceso de reemplazar a x por su número de máquina más cercano es llamado redondeo de corrección, y el error involucrado es llamado error de redondeo el cual deseamos saber que tan grande es. Supongamos que x es representado en la forma binaria normalizada, x = (0,1b 2 b 3 b 24 b 25 ) 2 2 e. Un número de máquina cercano a x puede ser obtenido mediante redondeo por defecto o redondeo por exceso. En el primer caso simplemente resulta que no se consideran los dígitos b 24 b 25, puesto que sólo se pueden almacenar 23 dígitos en la mantisa. Este número de máquina es x = (0,1b 2 b 3 b 24 ) 2 2 e, el cual evidentemente se encuentra a la izquierda de x. Otro número de máquina, x +, esta a la derecha de x y es obtenido por redondeo por exceso. Este número es obtenido al sumar una unidad a b 24 en
17 2. Representación de números 17 la expresión de x. Así, x + = (0,1b 2 b 3 b 24 ) ) 2 e, pues(0,0 01) 2 = El número más cercano de estos dos números a x es el número de máquina elegido para representar a x. Definición 1. Si x es una aproximación de x, el error absoluto en esta aproximación es x x y el error relativo es x x, si x 0. x Si x esta más cercano a x, entonces x x 1 2 x + x = 2 25+e
18 2. Representación de números 18 En este caso, el error relativo es acotado de la forma x x x 2 25+e (0,1b 2 b 3 b 24 ) e 1 2 = 2 24 = u donde u es la unidad de redondeo para un computador con simple precisión con aritmética de punto flotante. Como el epsilon de la máquina se define como ε = 2 23 entonces u = 1 2 ε. Además, u = k, donde k es el número de dígitos binarios usados en la mantisa, incluyendo el bit oculto (k = 24 en simple precisión y k = 53 en doble precisión). De otro lado, si x está mas cercano a x + que a x, entonces x x x + x y de manera similar a como ya se hizo anteriormente se demuestra que el error relativo no es más grande que 2 24 = k. Así que en el caso del error por redondeo al número más cercano, el error relativo es acotado por u. Observe que cuando todos los dígitos o bits
19 2. Representación de números 19 son descartados, el proceso es llamado recorte. Si un palabra de computador de 32 bits se designa para números recortados, la cota de error relativo puede ser dos veces mas grande que la anterior, o 2u = 2 23 = ε. 4. Notación de números de máquina y análisis regresivo del error Veamos ahora el error que se produce cuando se realizan operaciones aritméticas con números de máquina. Por simplicidad, supongamos que estamos trabajando con números de máquina de cinco lugares decimales y que los vamos a sumar. Dos números de este tipo pueden ser x = 0, , y = 0,
20 2. Representación de números 20 Suponiendo que el computador realiza operaciones aritméticas en un área que es el doble de la longitud de los números, es decir, que el computador tiene un acumulador de diez lugares. La mayoría de computadores realizan operaciones aritméticas en un área del doble de la longitud de la palabra, así que asumamos que el computador con el cual trabajamos tiene un acumulador en lugares de diez. Primero, el exponente de ambos números debe ser ajustado al mismo exponente. A continuación los números son sumadas en el acumulador y el resultado redondeado es puesto en formato de palabra de computador: x= 0, y= 0, x+y= 0, El número de máquina más cercano a x+y es z = 0, y
21 2. Representación de números 21 el error relativo involucrado en esta operación de máquina es x+y z x+y = 0, , , Este typo de error es aceptable en computadores que manejen este tipo de precisión tan baja. Para analizar el error relativo cuando se realizan operaciones aritméticas con números de máquina, es conveniente considerar la notación f l(x) para denotar el número de máquina de punto flotante que corresponde al número real x. De hecho, la función fl depende del particular en particular que se considere. Por ejemplo, si trabajamos con números de máquina de cinco lugares decimales, entonces fl(0, ) = 0,
22 2. Representación de números 22 Para un computador con palabras de longitud de 32 bits (simple precisión), se tiene del resultado previamente establecido que x fl(x) x u (u = 2 24 ). En lo sucesivo consideramos que un redondeo se esta realizando. Haciendo δ = fl(x) x, x encontramos que esta desigualdad puede ser expresada de una manera equivalente, y más útil, como fl(x) = x(1+δ) con δ Teniendo en cuenta los detalles con la suma de 1+ε, entonces fl(1+ε) > 1 si ε 2 23, fl(1+ε) = 1 si ε < 2 23.
23 2. Representación de números 23 Consecuentemente, si el epsilon de la máquina es el número de máquina más pequeño ε tal que fl(1+ε) > 1 entonces ε = Existen rutinas para encontrar el epsilon de un computador, o bien, se puede escribir un programa que encuentre el menor entero positivo x = 2 m tal que 1+x > 1 en la máquina. Sea ahora que denota una de las operaciones aritméticas +,, o. Supongamos que en un computador se utilizan palabras de w bits de longitud, las cuales tienen una precisión p (ver Tabla 1, pag. 9). Bajo esta suposición el error relativo no excede 2 p. Por ejemplo, en simple precisión se tiene que las palabras son de 32 bits de longitud y la precisión es de orden 24; por esto, error relativo no excede Por un análisis similar al anterior, se tiene que fl(x y) = (x+y)(1+δ) con δ 2 p.
24 2. Representación de números 24 En la mayoría de computadores las suposiciones acerca del error relativo y la estimación de δ no se cumplen. Por ejemplo, es posible que que x y y sean números de máquina para los cuales x y se desborda o subdesborda. La ecuación anterior puede ser escrita de diferentes maneras, algunas de las cuales sugieren interpretaciones alternativas de redondeo. Por ejemplo, fl(x y) = x(1+δ)+y(1+δ). Esto quiere decir que el resultado de sumar los números de máquina x y y no es en general x + y, pero si es en realidad la suma de x(1+δ) y y(1+δ). Podemos pensar que x(1+δ) es el resultado de una pequeña perturbación de x. Así, la versión de máquina de x+y, que es fl(x+y), es la suma exacta de las pequeñas perturbaciones de x y y. Este interpretación es un ejemplo de error de análisis regresivo,
25 2. Representación de números 25 y con él se intenta determinar que perturbación de los datos originales pueden causar que los resultados del computador sean exactos para un problema perturbado. En contraste, un análisis directo del error intenta determinar como las respuestas del computador difieren de las respuestas exactas con estos mismos datos. En este aspecto el cálculo científico a estimulado una nueva forma de ver los errores computacionales. Ejemplo 3. Si x, y y z son números en un computador con palabras de longitud de 32 bits (simple precisión, o float), estime la cota superior que puede se obtenida para el error relativo al calcular z(x+y). Solución. En el computador, primero se hace el cálculo de x+y. Esta operación aritmética da como resultado el número fl(x+y), el cual difiere de x+y por el redondeo. Por los principios establecidos,
26 2. Representación de números 26 existe un δ 1 tal que fl(x+y) = (x+y)(1+δ 1 ) con δ Ahora bien, z es ya un número de máquina. Cuando este es multiplicado por el número de máquina fl(x+y), el resultado es el número de máquina fl(zfl(x + y)). Estos números también difieren de su contraparte exacta, y por ello, existen un δ 2 tal que fl(zfl(x+y)) = zfl(x+y)(1+δ 2 ) donde δ De estas dos ecuaciones tenemos que fl(zfl(x+y)) = z(x+y)(1+δ 1 )(1+δ 2 ) = z(x+y)(1+δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2 ) z(x+y)(1+δ 1 +δ 2 ) = z(x+y)(1+δ), donde el término δ 1 δ 2 es ignorado, dado que δ 1 δ , y δ =
27 2. Representación de números 27 δ 1 +δ 2. Como δ δ 1 + δ = 2 23, entonces la cota superior que se espera para el error relativo es Ejemplo 4. Encuentre, de ser posible, una estimación del error de redondeo relativo en el cálculo de la suma de dos números reales x y y en un computador con palabras de longitud de 32 bits. Determinar si en tal caso es cierto que z = fl(fl(x)+fl(y)) = [(x(1+δ)+y(1+δ)](1+δ) = (x+y)(1+δ) 2 (x+y)(1+2δ) y que el error relativo es acotado de la forma (x+y) z x+y = 2δ(x+y) x+y = 2δ) Solución. La cantidad δ que ocurre en estos cálculos no siempre es
28 2. Representación de números 28 la misma. El cálculo correcto es z = fl(fl(x)+fl(y)) = [(x(1+δ 1 )+y(1+δ 2 )](1+δ 3 ) = [(x+y)+δ 1 x+δ 2 y(δ 3 x+δ 3 y +δ 1 δ 3 x+δ 2 δ 3 y] (x+y)+x(δ 1 +δ 3 )+y(δ 2 +δ 3 ). Por lo tanto, el error de redondeo relativo es (x+y) z x+y = x(δ 1 +δ 3 )+y(δ 2 +δ 3 ) x+y = (x+y)δ 3 +xδ 1 +yδ 2 x+y = δ 3 + xδ 1 +yδ 2 x+y el cual no puede ser acotado superiormente, porque el segundo término tiene en el denominador una cantidad que puede ser cero o cercana a cero. Observe que si x y y son números de máquina, entonces
29 2. Representación de números 29 δ 1 = δ 2 = 0 y entonces δ 3 es una cota superior de este error. Pero en este caso estos cálculos no se necesitan ya que cuando se combinan números de máquina mediante las cuatro operaciones elementales se tiene que asumir que el error relativo no debe exceder 2 24 en magnitud. En resumen, 1. Un número en simple precisión de punto flotante en una computador de palabra de longitud de 32 bits con representación estándar de punto flotante es almacenado en una sola palabra con el patrón de bits b 1 b 2 b 9 b 10 b 11 b 32 la cual es interpretada como el número real ( 1) b 1 2 (b 2b 3 b 9 ) (1.b 10 b 11 b 32 ) Un número en doble precisión de punto flotante en una compu-
30 2. Representación de números 30 tador de palabra de longitud de 32 bits con representación estándar de punto flotante es almacenado en un dos palabras con el patrón de bits b 1 b 2 b 9 b 10 b 11 b 32 b 33 b 34 b 35 b 64 la cual es interpretada como el número real ( 1) b 1 2 (b 2b 3 b 12 ) (1.b 13 b 14 b 64 ) La relación entre un número real x y su número de máquina de punto flotante fl(x) puede ser escrita como fl(x) = x(1+δ) donde δ Si denota cualquiera de las operaciones aritméticas, entonces podemos escribir en donde δ depende de x y y. fl(x y) = (x y)(1+δ),
Lección 5. Punto flotante
Lección 5. Punto flotante MIGUEL ANGEL UH ZAPATA 1 Análisis Numérico I Facultad de Matemáticas, UADY Agosto 2014 1 Centro de Investigación en Matemáticas, Unidad Mérida En esta lección aprenderemos lo
Más detalles1.4.3 Errores de redondeo y la aritmética finita de las computadoras
1.4.3 Errores de redondeo y la aritmética finita de las computadoras Como la computadora sólo puede almacenar un número fijo de cifras significativas, y cantidades como π, e, 3, 2 no pueden ser expresadas
Más detallesComputación I Representación Interna Curso 2011
Computación I Representación Interna Curso 2011 Facultad de Ingeniería Universidad de la República Estándar IEEE 754 Primero se definen tres formatos s e F Total (bits) (bits) (bits) (bytes) simple precisión
Más detallesAritmética de Enteros y
1 Aritmética de Enteros y Flotantes 2013 Transversal de Programación Básica Proyecto Curricular de Ingeniería de Sistemas 2 1. Introduccion La aritmética de enteros es aritmética modular en complemento
Más detallesAritmetica del Computador
Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Métodos Computacionales Contenido Introducción 1 Introducción 2 3 Introducción al estudio de métodos computacionales Aproximación
Más detallesσ * (.a 1 a 2... a t ) β * β e
. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD Qué es un método numérico? Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando
Más detallesAritmetica del Computador
Pantoja Carhuavilca Métodos Numérico Agenda Sistema de Numeración Representación de enteros Base Binaria (2) 2 bits [0,1] 3 1011 en base 2 = 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 en base decimal
Más detalles01. A qué se denomina conjunto de punto flotante? Conjunto de números racionales utilizado para representar a los números reales.
PREGUNTAS PARA ORIENTAR EL ESTUDIO DEL CAPITULO 1. Subtemas: 1.1. Representación de un número real en punto flotante y operaciones. 1.2. Underflow y Overflow. 01. A qué se denomina conjunto de punto flotante?
Más detallesLección 6. Errores. MIGUEL ANGEL UH ZAPATA 1 Análisis Numérico I Facultad de Matemáticas, UADY. Agosto 2014
Lección 6. Errores MIGUEL ANGEL UH ZAPATA 1 Análisis Numérico I Facultad de Matemáticas, UADY Agosto 2014 1 Centro de Investigación en Matemáticas, Unidad Mérida En esta lección conoceremos y analizaremos
Más detallesAritmética de Enteros
Aritmética de Enteros La aritmética de los computadores difiere de la aritmética usada por nosotros. La diferencia más importante es que los computadores realizan operaciones con números cuya precisión
Más detallesComputación I Representación Interna Curso 2011
Computación I Representación Interna Curso 2011 Facultad de Ingeniería Universidad de la República Temario Representación de Números Enteros Representación de Punto Fijo Enteros sin signo Binarios puros
Más detallesComputadora MA2008. Análisis Numérico: Artimética de una. Computadora. Computación / Matemáticas. Intro. Idea. IEEE estándar. Errores.
Análisis MA2008 ducción El objetivo de esta lectura es tener idea aproximada de cómo se realiza la aritmética de punto flotante en computadora. Esta idea deberá poner sobre aviso de las potenciales dificultades
Más detallesOrganización de Computadoras. Clase 3
Organización de Computadoras Clase 3 Temas de Clase Representación de números en Punto Flotante Notas de clase 3 2 Números en punto fijo Todos los números a representar tienen exactamente la misma cantidad
Más detallesComputación 1. Punto Flotante y Errores
Computación 1 Punto Flotante y Errores Aritmética de Punto Flotante Suma y Resta Para sumar o restar dos números en punto flotante es necesario que los exponentes sean iguales. La operación de suma o resta
Más detallesIntroducción al análisis numérico
Introducción al análisis numérico Javier Segura Universidad de Cantabria Cálculo Numérico I. Tema 1 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 1 / 22 Contenidos: 1 Sistemas
Más detallesNÚMEROS DE PUNTO FLOTANTE
B NÚMEROS DE PUNTO FLOTANTE En muchos cálculos el intervalo de números que se usan es muy grande. Por ejemplo, en un cálculo astronómico podrían intervenir la masa del electrón, 9 x 10-28 gramos, y la
Más detallesUniversisdad de Los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Sistemas
Universisdad de Los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Sistemas Aritmética Punto Flotante Basada en: What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic Por: David Goldberg Prof.
Más detallesComputación 1. Representación en Punto Flotante
Computación 1 Representación en Punto Flotante Contenido Representación en Punto Flotante Ejemplos en base 10 Punto flotante en binario Normalización Estándar IEEE 754 Representación de Números Reales
Más detallesSistemas de Numeración
Sistemas de Numeración Parte 2: Representación de Reales Lic. Andrea V. Manna Sistemas posicionales: Repaso N= d k-1 d k-2 d 1 d 0,d -1 d -l = d k-1 *p k-1 + d k-2 *p k-2 +.+ d 0 *p 0,+ d -1 *p -1 +...+
Más detallesCálculo numérico. Aritmética en punto flotante.
José Luis Morales http://allman.rhon.itam.mx/ jmorales Departamento de Matemáticas. ITAM. 2012. Sistemas de números en punto flotante F F está caracterizado por los enteros β, L, U, p en donde β es la
Más detallesNúmeros. un elemento perteneciente al conjunto D b. de los dígitos del sistema. D b
1 Un número es un ente que permite representar simbólicamente las veces que la unidad está presente en la cantidad observada o medida. Números representados por una cantidad finita de dígitos o cifras.
Más detallesEstructura de Computadores Tema 2. Representación de la información
Estructura de Computadores Tema 2. Representación de la información Departamento de Informática Grupo de Arquitectura de Computadores, Comunicaciones y Sistemas UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Contenido!
Más detalles+- S x B +-E. Este estándar presupone una representación normalizada. Es decir, los números a representar obedecen a la siguiente forma:
3.6 Codificación Punto Flotante Esta codificación nace por la necesidad de tener un rango más amplio de representatividad numérica, o cobertura. Los esquemas antes mencionados ofrecen un rango limitado
Más detallesRepresentación de datos y aritmética básica en sistemas digitales
Representación de datos y aritmética básica en sistemas digitales DIGITAL II - ECA Departamento de Sistemas e Informática Escuela de Ingeniería Electrónica Rosa Corti 1 Sistemas de Numeración: Alfabeto:
Más detallesAgenda. 0 Operaciones aritméticas 0 ASCII 0 UTF-8 0 Código Gray. 0 Números de punto flotante
Agenda 0 Operaciones aritméticas 0 ASCII 0 UTF-8 0 Código Gray 0 BCD 0 Números de punto flotante Operaciones aritméticas Suma de números binarios 0 0 1 1 + 0 + 1 + 0 + 1 0 1 1 10 1 Sumando + 1 Sumando
Más detallesRepresentación de números binarios en punto fijo y punto flotante.
Apuntes de Clases Representación de números binarios en punto fijo y punto flotante. Realizado por Sergio Noriega Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales Departamento de Electrotécnia Facultad
Más detallesMétodos Numéricos: los números reales y su representación
Métodos Numéricos: los números reales y su representación Eduardo P. Serrano Versión previa Feb 2012 1. Números reales Empleamos los números reales para expresar cantidades, valores, medidas o magnitudes.
Más detallesRepresentación de datos y aritmética básica en sistemas digitales
Representación de datos y aritmética básica en sistemas digitales DIGITAL II - ECA Departamento de Sistemas e Informática Escuela de Ingeniería Electrónica Rosa Corti 1 Sistemas de Numeración: Alfabeto:
Más detallesRepresentación de Números
Representación de Números Maximiliano Geier 4/10/2017 Maximiliano Geier Representación de Números 4/10/2017 1 / 21 Cómo se representan los números? Cada número se puede representar de varias maneras. Por
Más detallesUniversidad de San Buenaventura - Facultad de Ingeniería
Aproximaciones Para trabajar con números decimales que tienen muchas cifras decimales, o infinitas, hacemos aproximaciones. Decimos que la aproximación de un número es por defecto cuando es menor que el
Más detallesCursada Segundo Cuatrimestre 2017 Guía de Trabajos Prácticos Nro. 2
Temas: Programación en MATLAB: Sentencias, expresiones y variables. Estructuras de control. Operadores relacionales y lógicos. Programación de funciones. Aritmética finita: Representación de números en
Más detallesAPUNTES DOCENTES ASIGNATURA: ANALISIS NUMERICO ASIGNATURA: ANALISIS NUMERICO UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
APUNTES DOCENTES ASIGNATURA: ANALISIS NUMERICO ASIGNATURA: ANALISIS NUMERICO PROFESOR: ESP. PEDRO ALBERTO ARIAS QUINTERO 1. ERRORES Y ARITMETICA DE PUNTO FLOTANTE 1.1. Introducción a la Computación Numérica
Más detallesTema 2 Representación de la información
Grupo ARCOS Universidad Carlos III de Madrid Tema 2 Representación de la información Estructura de Computadores Grado en Ingeniería Informática A recordar 1. Estudiar la teoría asociada: } Repasar lo visto
Más detallesRepresentación de números enteros: el convenio exceso Z
Representación de números enteros: el convenio exceso Z Apellidos, nombre Martí Campoy, Antonio (amarti@disca.upv.es) Departamento Centro Informàtica de Sistemes i Computadors Escola Tècnica Superior d
Más detallesRepresentación de números fraccionarios: Punto Flotante
Representación de números fraccionarios: Organización de computadoras Universidad Nacional de Quilmes http:// 1 Signo Magnitud (Binario con signo) Representación en Signo-Magnitud Rango 2 Bit impĺıcito
Más detallesTipo de datos. Montse Bóo Cepeda. Este trabajo está publicado bajo licencia Creative Commons Attribution- NonCommercial-ShareAlike 2.5 Spain.
Tipo de datos Montse Bóo Cepeda Este trabajo está publicado bajo licencia Creative Commons Attribution- NonCommercial-ShareAlike 2.5 Spain. Estructura del curso 1. Evolución y caracterización de los computadores.
Más detallesERRORES DE REDONDEO Y ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA
TEMA 1. ERRORES DE REDONDEO Y ARITMÉTICA DE PRECISIÓN FINITA 1. Introducción 2. Nomenclatura 3. Representación de un número en un ordenador 4. Truncamiento y redondeo 5. Error de truncamiento y de redondeo
Más detallesSistemas Numéricos y Códigos Binarios
Sistemas Numéricos y Códigos Binarios Marcelo Guarini Departamento de Ingeniería Eléctrica, 5 de Abril, 5 Sistemas Numéricos en Cualquier Base En el sistema decimal, cualquier número puede representarse
Más detallesProgramación y Métodos Numéricos Errores de de redondeo en en la la representación de de números reales: CODIFICACIÓN DE NÚMEROS REALES
Programación y Métodos Numéricos Errores de de redondeo en en la la representación de de números reales: CODIFICACIÓN DE NÚMEROS REALES Carlos Conde LázaroL Arturo Hidalgo LópezL Alfredo López L Benito
Más detallesRepresentación de la Información
Representación de la Información Bit: (Binary Digit) Un bit es un dígito binario. Como tal, puede tener 2 valores posibles, y 0. Como los circuitos de una computadora pueden asumir 2 estados, los bits
Más detallesERRORES. , siempre que p 0.
ERRORES Indice 1. Errores 2. Clases de errores 3. Números en coma flotante 4. Aritmética del punto flotante 4.1. Errores 4.2. Operaciones en punto flotante 4.3. Problemas con operaciones en punto flotante
Más detalles75.12 ANÁLISIS NUMÉRICO I GUÍA DE PROBLEMAS 1. ERRORES
75.12 ANÁLISIS NUMÉRICO I FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES GUÍA DE PROBLEMAS 1. ERRORES 1. Calcular las siguientes expresiones, incluyendo sus cotas de error absoluto, donde x = 2,00,
Más detallesComputación 1. Representación Interna de Números
Computación 1 Representación Interna de Números Contenido Representación de Enteros Sin Signo Representación de Enteros Con Signo con magnitud y signo exceso a M Complemento a 1 Números Enteros Representación
Más detallesSistemas Numéricos Cambios de Base Errores
Cálculo Numérico Definición: es el desarrollo y estudio de procedimientos (algoritmos) para resolver problemas con ayuda de una computadora. π + cos ( x) dx 0 Tema I: Introducción al Cálculo Numérico Sistemas
Más detallesRepresentación de Números Reales
Representación de Números Reales María Elena Buemi 15 abril de 2011 Introducción a la Computación Representación de Números Reales Cómo se representa un número real? Un numeral con parte entera y parte
Más detallesTipos de Datos y Representaciones. Circuitos Digitales, 2º de Ingeniero de Telecomunicación. EITE ULPGC.
Tipos de Datos y Representaciones Circuitos Digitales, 2º de Ingeniero de Telecomunicación. EITE ULPGC. Índice 1. Sistemas numéricos posicionales 2. Números octales y hexadecimales 3. Conversiones entre
Más detallesTEMA 1 LOS NÚMEROS REALES
TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES.-LA RECTA REAL Los NÚMEROS RACIONALES: Se caracterizan porque pueden expresarse: En forma de fracción, es decir, como cociente b a de dos números enteros:
Más detallesO bien si queremos calcular el error aproximado porcentual lo hacemos:
En situaciones reales es común que no se conoce el valor verdadero del resultado: las mediciones dependen del instrumento y del procedimiento de medición; los métodos numéricos se aplican, cuando no se
Más detallesSistemas de Numeración. I semestre 2011
Sistemas de Numeración I semestre 2011 Sistema Decimal 7392 7 10 3 + 3 10 2 + 9 10 1 + 2 10 0 10 símbolos: 0 9 Un número decimal puede ser expresado por una serie de coeficientes: a 3 a 2 a 1 a 0, a 1
Más detallesIntroducción a los Sistemas Digitales. Conceptos básicos de matemática aplicada a los sistemas digitales
Curso-0 1 Introducción a los Sistemas Digitales Conceptos básicos de matemática aplicada a los sistemas digitales 2 Contenidos Conjuntos numéricos Notación científica Redondeo Logaritmos Resumen 3 Conjuntos
Más detallesRepresentación en Punto Flotante
Representación en Punto Flotante Minaya Villasana Abril-Julio, 2004 1 Representación en base 2 Las computadoras tienen dos formas de representar números: enteros (solo usado para enteros) y punto flotante
Más detallesLa velocidad no lleva a ninguna parte si no se va en la dirección correcta. Proverbio Americano. Punto Flotante
La velocidad no lleva a ninguna parte si no se va en la dirección correcta. Proverbio Americano Punto Flotante Elaborado por Prof. Ricardo González A partir de Materiales de las Profesoras Angela Di Serio
Más detalles3.1. Errores con pocos dígitos de precisión
Computación Numérica Profesores: José M. Alonso, Fernando Alvarruiz, Juan Garayoa, Jesús Peinado, José L. Pérez, José E. Román, Vicente Vidal. http://www.dsic.upv.es/asignaturas/eui/cnu/prac Práctica 3
Más detallesTEMA 1 LOS NÚMEROS REALES
TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES.-LA RECTA REAL Los NÚMEROS RACIONALES: Se caracterizan porque pueden expresarse: En forma de fracción, es decir, como cociente b a de dos números enteros:
Más detallesTEMA 2. CODIFICACIÓN DE LA INFORMACIÓN
TEMA 2. CODIFICACIÓN DE LA INFORMACIÓN 1. INTRODUCCIÓN. SISTEMAS DE NUMERACIÓN EN. Sistema binario. Sistema octal. Sistema hexadecimal. 2. REPRESENTACIÓN DE TEXTOS.. Números naturales. Números enteros.
Más detallesInstituto Tecnológico de Morelia
Instituto Tecnológico de Morelia Microcontroladores Representación de datos en las computadoras M.C.Miguelangel Fraga Aguilar http://sagitario.itmorelia.edu.mx/mfraga mfraga@itmorelia.edu.mx Representaciones
Más detallesRepresentación de la Información.... en los Computadores
Representación de la Información... en los Computadores 1 Información e Informática Un computador es una máquina que procesa información. La ejecución de un programa implica el tratamiento de los datos.
Más detallesAPUNTES DE CATEDRA: SISTEMAS DE NUMERACION - REPRESENTACION INTERNA DE NUMEROS Y CARACTERES
Cátedra de COMPUTACION Carreras: Licenciatura en Matemática Profesorado en Matemática Profesora: Mgr. María del Carmen Varaldo APUNTES DE CATEDRA: SISTEMAS DE NUMERACION - REPRESENTACION INTERNA DE NUMEROS
Más detallesTema 2. Sistemas de representación de la información
Tema 2. Sistemas de representación de la información Soluciones a los problemas impares Estructura de Computadores I. T. Informática de Gestión / Sistemas Curso 2008-2009 Tema 2: Hoja: 2 / 36 Tema 2: Hoja:
Más detallesLos errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores:
1. Introducción La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del fenómeno, así como de su evolución
Más detallesLógica Computacional. Aritmética binaria
Lógica Computacional Aritmética binaria Aritmética binaria - Suma Para sumar dos (o más) números en sistema binario seguimos el mismo procedimiento que para sistema decimal, teniendo en cuenta que: 1 +
Más detallesOPEN KNOWLEDGE CURSO DE METODOS NUMERICOS
OPEN KNOWLEDGE CURSO DE METODOS NUMERICOS Juan F. Dorado Diego F. López Laura B. Medina Juan P. Narvaez Roger Pino Universidad de San Buenaventura, seccional Cali OPEN KNOWLEDEGE CURSO DE METODOS NUMERICOS
Más detallesIntroducción histórica. Números irracionales
Introducción histórica A finales del siglo V a.c., la Escuela de Pitágoras descubrió que no existían dos números naturales m y n, cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado de un cuadrado y
Más detallesREPRESENTACION DE LA INFORMACION
CAPITULO SEGUNDO. REPRESENTACION DE LA INFORMACION Estructura de Ordenadores. Departamento de Automática Juana Mª López Dpto. Automática. Estructura de computadores. Capítulo 2. Página 1 INTRODUCCION Clasificación
Más detallesTema 4. Los números reales.
Tema 4. Los números reales. Números irracionales. En el tema anterior, has visto que los números racionales pueden escribirse en forma decimal, produciendo siempre un decimal exacto o periódico. También
Más detallesPráctica 1 - Representación de la información
Práctica 1 - Representación de la información Organización del Computador 1 Primer Cuatrimestre 2014 Ejercicio 1 a) Utilizando el método del cociente, expresar en bases 2, 3 y 5 los números 33, 100 y 1023.
Más detallesEl almacenaje de información numérica en una computadora digital
El almacenaje de información numérica en una computadora digital Divulgación José Guerrero Grajeda Facultad de Ciencias, UNAM I. Presentación Los sistemas numéricos con los que opera una computadora digital
Más detallesAritmética Matemática y Computacional
Capítulo 3 Aritmética Matemática y Computacional 3.1. Números Enteros Sabemos que la cantidad de números naturales es infinita, es decir, que si comenzamos a contar 0, 1, 2,... no terminaríamos nunca.
Más detallesTema 2: Sistemas de numeración
Tema 2: Sistemas de numeración Definiciones Bases de numeración Modos de representación Representaciones numéricas Coma fija (números enteros) Suma-resta en base dos Representaciones alfanuméricas Definiciones
Más detallesTeoria de Errores. Hermes Pantoja Carhuavilca. Facultad de Ingeniería Mecanica Universidad Nacional de Ingeniería. Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 31
Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Mecanica Universidad Nacional de Ingeniería Métodos Numérico Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 31 CONTENIDO Introducción Hermes Pantoja Carhuavilca 2 de
Más detallesESTRUCTURA Y TECNOLOGÍA DE COMPUTADORES I CAPÍTULO III ARITMÉTICA Y CODIFICACIÓN
ESTRUCTURA Y TECNOLOGÍA DE COMPUTADORES I CAPÍTULO III ARITMÉTICA Y CODIFICACIÓN TEMA 3. Aritmética y codificación 3.1 Aritmética binaria 3.2 Formatos de los números y su representación 3.3 Definiciones
Más detallesOrganización de Computadoras 2014. Apunte 2: Sistemas de Numeración: Punto Flotante
Organización de Computadoras 2014 Apunte 2: Sistemas de Numeración: Punto Flotante La coma o punto flotante surge de la necesidad de representar números reales y enteros con un rango de representación
Más detallesLos errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores:
Errores El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximación
Más detallesRealizar la siguiente suma y expresar el resultado en hexadecimal: Teniendo los 3 valores expresados en la misma base, podemos realizar la suma:
Realizar la siguiente suma y expresar el resultado en hexadecimal: 83/ d + 33/ 4 + 0/ b El primer paso consiste en expresar todos lo valores con la misma base. Para eso convertiremos los dos primeros valores
Más detallesLic. en Matemática Aplicada Matemática Computacional I UNLaM PRÁCTICA N 4 LOS NÚMEROS: ASPECTOS NUMÉRICOS
4.1. Introducción PRÁCTICA N 4 LOS NÚMEROS: ASPECTOS NUMÉRICOS La llegada de las calculadoras al aula trajo consigo no pocos problemas, provocando generalmente reacciones de rechazo; reacciones, éstas,
Más detallesArquitectura de Computadoras
Arquitectura de Computadoras Representación de la Información J. Irving Vásquez ivasquez@ccc.inaoep.mx Centro de Innovación y Desarrollo Tecnológico en Cómputo 17 de febrero de 2016 1 / 41 Table of contents
Más detallesLÓGICA SECUENCIAL Y COMBINATORIA
LÓGICA SECUENCIAL Y COMBINATORIA SESIÓN # 2 1.4 Conversión de otra base a decimal. En los sistemas numéricos posicionales, la conversión de otra base a decimal se hace con el método de la suma [3]. Este
Más detallesCuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
LOS NÚMEROS REALES TEMA 1 IDEAS SOBRE CONJUNTOS Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece (* ) o no pertenece (* ) a un conjunto. Los conjuntos se pueden
Más detallesMATEMÁTICAS PARA LA COMPUTACIÓN CAPÍTULO 1. SISTEMAS NUMÉRICOS
MATEMÁTICAS PARA LA COMPUTACIÓN CAPÍTULO 1. SISTEMAS NUMÉRICOS SUMA DE DOS CANTIDADES EN COMPLEMENTO A 2. AUTOR: JOSÉ ALFREDO JIMÉNEZ MURILLO AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO SUMA DE DOS CANTIDADES
Más detallesOrganización del Computador. Prof. Angela Di Serio
Punto Flotante Muchas aplicaciones requieren trabajar con números que no son enteros. Existen varias formas de representar números no enteros. Una de ellas es usando un punto o coma fijo. Este tipo de
Más detallesNúmero, algoritmo y errores
Número, algoritmo y errores Índice 1.! Introducción 2.! Errores absolutos y relativos 3.! Almacenamiento de números en un ordenador! Números enteros! Números reales 4.! Concepto de algoritmo 5.! Clasificación
Más detallesSistemas Numéricos. Introducción n a los Sistemas Lógicos y Digitales 2009
Sistemas Numéricos Introducción n a los Sistemas Lógicos y Digitales 2009 Sergio Noriega Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales - 2009 MSB = Most Significative Bit LSB = Less Significative Bit
Más detallesSistemas de Representación. Organización del Computador 1 Verano 2016
Sistemas de Representación Organización del Computador 1 Verano 2016 Los computadores comprenden el lenguaje de los números La organización de un computador depende (entre otros factores) del sistema de
Más detallesInstituto de Matemática. Agosto de ) Encuentre experimentalmente los siguientes valores de su calculadora:
Curso de Métodos Numéricos Instituto de Matemática Práctico 1: Errores Agosto de 2005 1) Encuentre experimentalmente los siguientes valores de su calculadora: (a) El valor ɛ mach definido como el minimo
Más detallesHOJA DE PROBLEMAS 2. SISTEMA BINARIO DE REPRESENTACIÓN NUMÉRICA. 1. Convertir los siguientes números binarios a sus equivalentes decimales: a.
Universidad Rey Juan Carlos Grado en Ingeniería de Computadores Tecnología de Computadores HOJA DE PROBLEMAS 2. SISTEMA BINARIO DE REPRESENTACIÓN NUMÉRICA 1. Convertir los siguientes números binarios a
Más detalleshttps://dac.escet.urjc.es/docencia/etc-sistemas/teoria-cuat1/tema2.pdf
1.3 Sistemas numéricos 1.3.1. Introducción Un sistema de representación numérica es un lenguaje que consiste en: Un conjunto ordenado de símbolos (dígitos o cifras) y otro de reglas bien definidas para
Más detallesRedondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y MétodoBarranquilla, de bisección / 22
Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método de bisección. Jeinny Peralta 1 Barranquilla, 2017 Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y MétodoBarranquilla, de bisección. 2017 1 / 22 Números
Más detalles4 Conjunto de los números reales
Programa Inmersión, Verano 2016 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023 Clase #4: viernes, 3 de junio de 2016. 4 Conjunto de los números reales 4.1
Más detalles1.- Álgebra de números complejos.
.- Álgebra de números complejos. a) Definición y representación geométrica. b) Sumas y productos de números complejos. c) Vectores y módulos en el plano complejo. d) Representación en forma exponencial.
Más detallesOrganización de Computadoras. Clase 2
Organización de Computadoras Clase 2 Temas de Clase Representación de datos Números con signo Operaciones aritméticas Banderas de condición Representación de datos alfanuméricos Notas de Clase 2 2 Representación
Más detallesSistemas numéricos -números negativos- Taller de programación
Sistemas numéricos -números negativos- Taller de programación I semestre, 2016 Números negativos Temas Números binarios negativos Problema: cómo representar números negativos en un mecanismo computacional?
Más detallesCONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
NÚMEROS REALES 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Al conjunto de todos los números que se pueden expresar mediante fracciones se le llama conjunto de los números racionales y se representa por Q. Tanto
Más detallesTipos de datos y Operadores Básicos
Módulo I: Conceptos Básicos Tema 1. Qué es un ordenador? Tema 2. Cómo se representan los datos en un ordenador? Tema 3. Qué es un lenguaje de programación? Tema 4. Cómo se hace un programa informático?
Más detallesTEMA III: OPERACIONES CON LOS DATOS
CUESTIONES A TRATAR: Cual es la función de la unidad operativa? Es necesaria? Qué tipos de circuitos implementan la unidad operativa? Unidad operativa frente a ALU Qué es una operación de múltiple precisión?
Más detallesLos números decimales ilimitados no periódicos se llaman números irracionales, que designaremos
Unidad Didáctica NÚMEROS REALES. NÚMEROS IRRACIONALES: CARACTERIZACIÓN. En el tema correspondiente a números racionales hemos visto que estos números tienen una característica esencial: su expresión decimal
Más detallesN Ú M E R O S R E A L E S
N Ú M E R O S R E A L E S 1. E L C O N J U N T O D E L O S N Ú M E R O S R E A L E S Al conjunto de todos los números que se pueden expresar mediante fracciones se le llama conjunto de los números racionales
Más detallesTema 2. Sistemas de representación de la información
Tema 2. Sistemas de representación de la información Estructura de Computadores I. T. Informática de Gestión / Sistemas Curso 28-29 Transparencia: 2 / 3 Índice Definiciones Bases de numeración Modos de
Más detallesLOS NÚMEROS REALES. Definición de número real y relación con conjuntos numéricos ya definidos. Comparando reales, operaciones y propiedades.
LOS NÚMEROS REALES. Definición de número real y relación con conjuntos numéricos ya definidos. Comparando reales, operaciones y propiedades. Valor recíproco. Estimaciones. Problemas de regularidades numéricas.
Más detallesMÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA ERROR GUIÓN PARA EL TEMA CONCEPTOS BÁSICOS
ERROR GUIÓN PARA EL TEMA CONCEPTOS BÁSICOS REPASO de conceptos de dígito significativo y de orden, para números en notación decimal. Para señalar la diferencia entre el concepto de dígito significativo
Más detalles{, }, #, $, %, &,,, +,,/,(, ), },!,?, [, ]
3. Sistemas de Numeración, Códigos y Representación interna de la información 1. Introducción 2. Sistemas de Numeración 1) Sistemas de representación más usuales 2) Representación en base b: decimal y
Más detalles