Tutorial para resolver ecuaciones diferenciales usando MATLAB

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Lucas Miranda Cáceres
hace 7 años
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1 Tutorial para resolver ecuaciones diferenciales usando MATLAB El presente tutorial tiene como objetivo presentar al estudiante una manera en la que pueden resolver ecuaciones diferenciales usando el software MATLAB como una herramienta que puede ser útil para comparar resultados obtenidos al solucionar ecuaciones diferenciales de forma analítica. Adicional a esto, se mostrará una alternativa para graficar soluciones obtenidas o cualquier otra función en un intervalo específico. Tabla de contenido Obteniendo solución general de una ecuación diferencial... 2 Solución general de Ecuación diferencial de primer orden Usando MATLAB... 2 Solución general de Ecuación diferencial de tercer orden Usando MATLAB... 3 Solución de Problema de Valor Inicial (P.V.I) con MATLAB... 4 Solución de P.V.I para Ecuación diferencial de primer orden Usando MATLAB... 4 Graficar soluciones en un intervalo de interés... 6 Graficando solución en un intervalo usando MATLAB... 6

2 Obteniendo solución general de una ecuación diferencial La solución general de una ecuación diferencial aparece cuando resolvemos la ecuación diferencial y no tenemos condiciones iniciales para evaluar. En ese caso aparecerán unas constantes en la solución cuya cantidad dependerá del orden de la ecuación diferencial que se esté tratando. Así por ejemplo para una ecuación diferencial de primer orden aparecerá una constante y para una ecuación diferencial de segundo orden aparecerán dos. Solución general de Ecuación diferencial de primer orden Usando MATLAB Encuentre la solución general para la siguiente ecuación diferencial: Organizamos primero la ecuación diferencial, teniendo: Ahora hacemos uso de MATLAB para obtener la solución general. En la siguiente imagen se verán claramente los comandos utilizados y la sintaxis que recomiendo utilizar. Estos comandos son ejecutados en la Command Window del software. Se obtiene como solución general lo siguiente: El lector puede comprobar la solución obtenida en MATLAB, resolviendo la ecuación diferencial de forma analítica.

3 Solución general de Ecuación diferencial de tercer orden Usando MATLAB Encuentre la solución general para la siguiente ecuación diferencial: Ahora hacemos uso de MATLAB para obtener la solución general. En la siguiente imagen se verán claramente los comandos utilizados y la sintaxis que recomiendo utilizar. Estos comandos son ejecutados en la Command Window del software. Se obtiene como solución general lo siguiente: Se omite el término de la solución dada por MATLAB debido a que es L.D. con el término que resulta de la solución a la homogénea. El lector puede comprobar la solución obtenida en MATLAB, resolviendo la ecuación diferencial de forma analítica.

4 Solución de Problema de Valor Inicial (P.V.I) con MATLAB Como sabemos en la solución general de una ecuación diferencial aparecen unas constantes en la respuesta obtenida. Cuando en el planteamiento de una ecuación diferencial nos entregan unas condiciones iniciales del estilo y(1)= 2, y (0)=0, etc, se trata de un problema de valor inicial donde en la solución que obtenemos no aparecen constantes debido a que se despejan al evaluar las condiciones iniciales que nos presenta el ejercicio. En esta sección veremos cómo se resuelven este tipo de problemas usando MATLAB. Solución de P.V.I para Ecuación diferencial de primer orden Usando MATLAB Dada la ecuación diferencial resuelva el P.V.I: Organizando un poco la ecuación diferencial tenemos: Analíticamente aplicando la solución para una ecuación diferencial lineal de primer orden se obtiene como solución general lo siguiente: Organizando: Expandiendo el denominador en el segundo término y dividiendo la fracción queda: Organizando: Evaluando la condición y(0)=1, queda C = 1:

5 Ahora hacemos uso de MATLAB para obtener la solución. En la siguiente imagen se verán claramente los comandos utilizados y la sintaxis que recomiendo utilizar. Estos comandos son ejecutados en la Command Window del software.

6 Graficar soluciones en un intervalo de interés Para terminar este tutorial veremos una alternativa para graficar funciones que presenta MATLAB, aquí podremos aprender a graficar las soluciones de las ecuaciones diferenciales obtenidas en un intervalo de interés y puede ser de utilidad para graficar alguna otra función que requieran visualizar. Graficando solución en un intervalo usando MATLAB Graficar la solución del siguiente P.V.I en el intervalo [-3,3]: Utilizamos el problema resuelto anteriormente y graficamos su solución en el intervalo pedido. En la siguiente imagen se ve la secuencia de comandos implementados.

7 La gráfica obtenida se muestra a continuación, se observa una singularidad dada por la recta x = 1. Para ese valor no se garantiza solución única en la ecuación diferencial T.E.U. 12 1/(x - 1) 2 + (x 2 (2 x - 3))/(6 (x - 1) 2 ) x Con esto finalizamos el tutorial, espero les sea provechoso para complementar su aprendizaje.

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