MAT1202: Algebra Lineal GUIA N 6 Otoño 2002 Valores y Vectores Propios

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1 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Matemáticas MAT1202: Algebra Lineal GUIA N 6 Otoño 2002 Valores y Vectores Propios 1. Determine los valores y vectores propios de 0 3 A + I = 1 3 A 2 = (a) Los valores propios de A + I son los valores propios de A (b) Los valores propios de A 2 son los valores propios de A (c) Los vectores propios de A + I y de A 2 son 2. Determine los valores y vectores propios de A y A a los vectores propios de A Los vectores propios de A 1 los vectores propios de A. Cuando A tiene valores propios λ 1, λ 2 su inversa tiene valores propios. 3. Determine los valores y vectores propios de A y A Los vectores propios de A 2 los vectores propios de A. Cuando A tiene valores propios λ 1, λ 2 A 2 tiene valores propios. 4. Determine los valores propios de A, B, A + B Los valores propios de A+B son de B. B = 5. Determine los valores propios de A, B, AB y BA. 1 0 B = 1 1 Los valores propios de AB son de B. Los valores propios de AB son a los valores propios de A más los valores propios a los valores propios de A por los valores propios a los valores propios de BA. 1

2 6. Si LU los valores propios de U se encuentran en la diagonal de y ellos son. Los valores propios de L están en la diagonal de y ellos son. Los valores propios de A no son iguales a los de. Los valores propios de una matriz A diagonal están en de A y ellos son. 7. A partir de Ax = λx deduzca que (a) λ 2 es valor propio de A 2 (b) λ 1 es valor propio de A 1 (c) λ + 1 es valor propio de A + I (d) λ 2 2λ 2 es valor propio de A 2 2A 2I. 8. Si la primera fila de A es (0, 1) determine la segunda fila de modo que 4, 7 sean valores propios de A. 9. Los valores propios de A y A T son iguales porque det(a λi) = det(a T λi). Esto se cumple porque. Muestre con un ejemplo que los vectores propios de A y A T no son iguales. 10. Demuestre que det(a) es igual al producto de los valores propios de A. Defina λ = en det(a λi) = (λ 1 λ) (λ n λ) entonces det(a) = 11. Suponga que A tiene valores propios 0, 2, 4 con vectores propios linealmente independientes u, v, w. (a) Encuentre bases para Ker(A), Im(A). (b) Encuentre una solución particular al sistema Ax = v+w. Encuentre todas las soluciones. (c) Demuestre que Ax = u no tiene solución (Si así fuera estaría en Im(A)). 12. Se sabe que A tiene valor propio λ 1 = 2 con vector propio 1, 2 T, y valor propio λ 2 = 4 con vector propio 1, 1 T. Determine A. 13. Suponga que SDS 1. Cual es la matriz de valores propios de la matriz A + 3I? Cual es la matriz de vectores propios? 14. Sea S matriz de vectores propios de A. Verdadero o falso: Si las columnas de S son linealmente independiente entonces: (a) A es invertible (b) S tiene inversa (c) A es diagonalizable (d) S es diagonalizable 15. Describa todas las matrices que diagonalizan a matrices que diagonalizan a A Describa también todas las 2

3 16. Escriba la matriz más general que tiene como vectores propios a 1, 1 T, 1, 1 T. 17. Suponga que el número siguiente es el promedio de los dos anteriores, g k+2 = 1/2(g k+1 + g k ). (a) Determine A tal que gk+2 g k+1 = A gk+1 g k (b) Determine lim n A n (c) Si g 0 = 1, g 1 = 1 muestre que g n converge a 2/ Verdadero o Falso: Si los valores propios de A de 3 3 son 2, 2, 5 entonces la matriz es con toda seguridad: (a) invertible (b) diagonalizable (c) no diagonalizable 19. Verdadero o Falso: Si todos los vectores propios de A son múltiplos de 1, 2 T entonces con toda seguridad A: (a) no tiene inversa (b) tiene valores propios repetidos (c) no es diagonalizable 20. Para cada una de las matrices A indicadas se sabe que A = 25 y que A λi = (λ 5) En cada caso encuentre x no nulo tal que Ax = 5x. Cuales de estas matrices son diagonalizables? 21. Sea Determine lim k A k (a) Demuestre que T r(ab) = T r(ba) (b) AB B I es imposible por la traza de I sea 23. Suponga que A 2 = A. Cual de los cuatro subespacios contiene vectores propios con valor propio λ = 1? Cual subespacio contiene vectores propios con valor propio λ = 0? De las dimensiones de estos subespacios concluya que A tiene una base de vectores propios y por lo tanto A es diagonalzable. 3

4 24. (Recomendado) Suponga que Ax = λx. Si λ = 0 entonces x Ker(A). Si λ 0 entonces x está en el espacio columna de A. Estos subsespacios tienen dimensiones (n r) + r = n. Entonces porqué no se cumple que toda matriz tiene una base de vectores propios? 25. Demuestre que el conjunto de las matrices de 4 4 que tienen la misma matriz de vectores propios S es un subespacio de M 4 4. Encuentre una base de este subespacio cuando S = I. 26. Suponga que S diagonaliza a A y a B. Demuestre que AB = BA. 27. Por cada matriz indicada determine una matriz ortogonal Q que la diagonalize: Determine una matriz simétrica de 2 2 con 1s en la diagonal pero con un valor propio negativo. 29. Verdadero o Falso: (a) Una matriz con valores propios y vectores propios reales es necesariamente simétrica. (b) La matriz de vectores propios de una matriz simétrica es también simétrica. 30. Determine el polinomio característico de las matrices B = Muestre que con sólo esta información se puede concluir que A es diagonalizable, pero no es posible repetir el argumento para B. Diagonalize A. 31. Decida si la matriz B en el problema 30 es semejante a una matriz diagonal. Si lo es, indique la matriz de transición. 32. Para cada valor propio λ de C = determine la multiplicidad algebráica y geométrica. Es C diagonalizable? 33. Demuestre que la matriz no es diagonalizable. B =

5 34. Demuestre que si todo vector en R n es vector propio de A, entonces A es un múltiplo escalar de la identidad. 35. Sean A, B matrices de n n. Demuestre que AB y BA tienen los mismos valores propios. 36. En el espacio P n de los polinomios de grado menor o igual a n, determine el polinomio característico de la transformación lineal T (p(x)) = p(x + 1). 37. Son semejantes las matrices Justifique B = ? 38. Demuestre que la matriz no es diagonalizable. B = Sea p(x) un polinomio en la variable x. Demuestre que si λ es valor propio de un matriz A, entonces p(λ) es también valor propio de p(a). 40. Sea (a) Encuentre una matriz B tal que B 6 = A. (b) Calcule e A (c) Calcule e At, donde t es una variable real. 41. Sea p(x) = n i=0 a i x i el polinomio característico de una matriz A de n n. Demuestre que A es no singular sii a 0 0, y en este caso A 1 = 1/a 0 ( n i=1 a i A i 1 ). 42. Use la fórmula para la inversa de una matriz en el problema 41 para calcular la inversa de Diagonalize y calcule A 101. ( ) 5

6 44. Diagonalize Sea L : M 2 2 M 2 2 la transformación lineal del espacio de las matrices de 2 2 en donde ( ) B = ( Determine la matriz que representa a L con respecto a la base canónica de M 2 2 y su polinomio característico Si la matriz es diagonalizable indique su forma diagonal. 46. Se propone el siguiente método para evaluar s(a) = l i=0 a i A i. donde A es una matriz de n n y l > n. Primero se calcula el polinomio característico p(x) de A, y luego se calcula el cuociente entre los polinomios s y p, obteniendose s(x) = q(x)p(x) + r(x), donde r es un polinomio de grado menor o igual a n 1. Entonces, s(a) = q(a)p(a) + r(a), pero por el teorema de Caley Hamilton p(a) = 0, por lo tanto, s(a) = r(a). Es decir, la evaluación de un polinomio de grado arbitrario en una matriz A de orden n, se reduce a la evaluación de un polinmio de grado n 1 en la matriz A. Utilize este método para calcular A 303 4A A 8 si Encontrar los valores y vectores propios de la transformación lineal que lleva los vectores e 1, e 2, e 3 en los vectores e 2 + e 3, e 3 + e 1, e 1 + e Para la sucesión. ). x 0 = c 0, x 1 = c 1,... x k 1 = c k 1 x n = α n 1 x n 1 + α n 2 x n α n k x n k para n k, demuestre que si entonces, α 0 α 1 α 2 α k 1 x 0 x n A n x 1. = x n+1. x k 1 x n+k 1 6

7 49. Para el sistema v n+1 = α(v n + w n ), w n+1 = α(v n + w n ), qué valores de α producen inestabilidad?, es decir, existen condiciones iniciales para v 0, w 0, tal que v n o w n divergen a cuando n tiende a? 50. Usando el resultado en el problema 48 calcule x 1990 si x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, y x n = 2x n 1 + x n 2 2x n 3 para n Sea Q matriz ortogonal, y λ valor propio de Q. (a) Demuestre que 1/λ es también valor propio de Q. (b) λ = Demuestre que los valores propios de una matriz A T = A, A real) son reales. 53. Demuestre que los valores propios de una matriz antisimétrica real (i.e. A T = A, A real) son imaginarios puros. 54. Sea A matriz compleja hermitiana (i.e. Â T = A). (a) Demuestre que los valores propios de A son reales. (b) Demuestre que vectores propios correspondientes a valores propios distintos son ortogonales. Es decir, si Ax i = λ i x i, con x i 0 i = 1,..., p i λ i λ j para i j, entonces x i x j. (c) Si W λi = {x : Ax = λ i x} entonces W λi W λj si λ i λ j 55. Se dice que A es una matriz de Markov si a i,j 0 y n i=1 a i,j = 1. Es decir, A tiene elementos positivos y la suma de los elementos de cada columna es igual a 1. (a) Determine si las siguientes matrices son de Markov: 1/2 0 1/2 1/5 3/5 1/5 3/10 2/5 3/10 B = 3/10 2/5 2/5 2/5 1/5 1/10 3/10 2/5 1/2 1/10 3/10 9/10 7/10 (b) Suponga que A, B son matrices de Markov del mismo tamaño. Determine cuales de las siguientes es necesariamente de Markov i. AB ii. A + B iii. αa + βb con α + β = 1, α, β 0. iv. A 1 v. A T vi. A n. (c) Demuestre si A es de Markov entonces λ = 1 es valor propio de A. (d) Demueste que todo valor propio de A satisface λ 1. (e) Para cada una de las matrices de Markov en a) determine: 7

8 i. sus valores y vectores propios. ii. lim n A n (f) Se puede demostrar que si A es de Markov y tiene todos sus elementos positivos entonces λ = 1 tiene multiplicidad algebraica igual a 1, y los otros vectores propios cumplen λ < 1. Usando este hecho demuestre que si A es de Markov y diagonalizable entonces C = lim n A n existe. Describa las columnas de C en términos de vectores propios de A. (g) Usando el punto anterior demuestre que la sucesión u i = A i u 0 siempre converge a un vector u tal que Au = u para A con las hip ótesis indicadas. 8