MAT1202: Algebra Lineal GUIA N 4 Otoño 2002

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Matemáticas MAT1202: Algebra Lineal GUIA N 4 Otoño Proyecte el vector b a la linea por el origen con directriz a (a) b = (1, 2, 2) T, a = (1, 1, 1) T (b) b = (1, 3, 1) T, a = ( 1, 3, 1) T. 2. En cada proyección del problema anterior calcule la matriz de proyección P. Explique porqué la matriz P debe satisfacer P 2 = P. 3. Sea a 1 = ( 1, 2, 2) T, a 2 = (2, 2, 1), a 3 = (2, 1, 2). Calcule las matrices de proyección P 1, P 2, P 3 a las lineas a 1, a 2, a 3, Calcule los productos P 1 P 2, P 2 P 3. Explique porqué estos productos resultan lo que resulta. 4. Verifique que para las matrices P i del problema anterior se cumple que P 1 + P 2 + P 3 = I. Explique geométricamente este resultado. 5. Proyecte b al espacio columna de A resolviendo A T Ax = A T b y luego p = Ax (a) A = 0 1, b = (b) A = b = Para cada caso calcule e = b p y verifique que e es perpendicular a las columnas de A (i.e. A T e = 0). 6. Calcule las matrices de proyección P 1 y P 2 para las proyecciones del problema anterior. Verifique que P b = p = Ax, para cada matriz P. Verifique también que P 2 2 = P Suponga que A es la matriz de 4 2 que se obtiene de la identidad de 4 4 eliminando la cuarta columna. Proyecte b = (1, 2, 3, 4) al espacio columna de A. Que forma tiene la matriz P?. 8. Suponga que b es igual a dos veces la primera columna de A. cual es la proyección de b al espacio columna de A?. Se cumple que P = I? 1

2 9. Demuestre que si multiplicamos A por 2, la matriz de proyección se mantiene. El espacio columna de 2A es el espacio columna de. Es el vector x el mismo para A que para 2A? 10. Demuestre que las matrices de proyección a W 1 = u 1, u 2 y a W 2 = u 1 + u 2, u 1 u 2 son iguales. 11. Determine la combinación lineal de (1, 2, 1) y (1, 0, 1) más cercana a b = (2, 1, 3) 12. Demuestre que si P 2 = P entonces (I P ) 2 = I P. Cuando P proyecta al espacio columna de A, I P proyecta a. 13. Si P es la matriz de proyección sobre la recta (1, 2) entonces I P es la matriz que proyecta sobre la recta 14. Para encontrar la matriz de proyección P sobre el plano x y 2z = 0 forme una matriz A cuyas columnas son base del plano y calcule P = A(A T A) 1 A T. 15. Para encontrar la matriz de proyección P sobre el plano x y 2z = 0 forme una matriz A cuya columna es base de espacio perpendicular al plano y calcule Q = A(A T A) 1 A T y entonces P = I Q. 16. Sea A matriz de m n con r(a) = n. Demuestre que P = A(A T A) 1 A T cumple con P 2 = P y P T = P. 17. Considere el ajuste de mínimos cuadrados por la recta b = a 0 + a 1 t. (a) Con b = 0, 8, 8, 20 en t = 0, 1, 3, 4. Escriba las 4 ecuaciones en la forma Ax = b. Resuelva esta ecuación por míunimos cuadrados. Cambie los datos a p = 1, 5, 13, 17 y encuentre la solución a la ecuación Ax = p. (b) Para el problema de mínimos cuadrados del punto anterior calcule el vector e = b Ax y su norma. Tome al azar un par de vectores x y calcule e = b Ax. Compare e con e. Comente los resultados. (c) Verifique que e es perpendicular a ambas columnas de A. Explique. (d) (Por cálculo) Escriba E = b Ax 2 en forma explícita. Forme las ecuaciones E a 0 = 0 y E a 1 = 0. Divida por 2 para obtenerlas ecuaciones normales A T Ax = A T b. 18. Determine el mejor ajuste de mínimos cuadrados por la recta b = Dt a los mismos cuatro puntos del ítem a) del problema anterior. 19. Determine el mejor ajuste de mínimos cuadrados por la parábola b = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 a los mismos 4 puntos que el problema anterior. Compare el error e para los ajustes entre la recta general y la parábola. El espacio columna de la matriz para el ajuste con la es subespacio del espacio columna de la matriz para el ajuste con la. 2

3 20. Determine el mejor ajuste de mínimos cuadrados por la cúbica b = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 a los mismos 4 puntos que el problema anterior. Compare el error e para los ajustes entre la recta general, la parábola y la cúbica. El espacio columna de la matriz para el ajuste con la es subespacio del espacio columna de la matriz para el ajuste con la. El espacio columna de la matriz para el ajuste con la cúbica es base de. 21. Un doctor toma el pulso m veces obteniendo pulsos b 1, b 2,..., b m. El doctor estima el pulso resolviendo por mínimos cuadrados las m ecuaciones x = b i. La matriz A para este problema tiene 1 columna y es igual a. La solución de mínimos cuadrados de Ax = b es. 22. Los vectores (2, 2, 1) T y ( 1, 2, 2) T son ortogonales. Dividalos por su longitud para obtener vectores ortonormales q, q 2. Sea Q = [q 1 q 2 ] de 3 2. Calcule Q T Q y QQ T, Compare. 23. Si A tiene 3 columnas ortogonales de largo 4, Que forma tiene A T A? 24. Encuentre ejemplos para cada uno de los siguientes casos: (a) Una matriz Q que tiene columnas ortonormales pero QQ T I. (b) Dos vectores ortogonales que no son linealmente idependientes (c) Una base ortonormal de R 4 donde cada componente es 1/2 o 1/ Encuentre una base ortonormal del plano x + y + 2z = 0. Use esta base para encontrar la matriz de proyección al plano. 26. Demuestre que si Q i son ortogonales entonces su producto es ortogonal pero la suma en general no lo es. 27. Construya un ejemplo de mínimos cuadrados Ax = b tal que b 0 pero x = (a) Encuentre vectores ortonormales q 1, q 2, q 3 tal que q 1, q 2 son base del espacio columna de 1 1 A = (b)? Cual de los 4 subespacios asociados a A contiene a q 3. (c) Usando a) resuelva Ax = (1, 2, 7) T por mínimos cuadrados. 29. Si A = QR entonces A T A = R T R. Sea (a) Calcule A = QR por Gram-Schmidt. A = (b) Calcule A T A = LDL T y luego R = DL T

4 (c) Explique los resultados. 30. Determine una base ortonormal para el subespacio de C 3, W =< (1, 0, i), (2, 1, 1 + i) > con respecto al producto interior canónico 1. Determine una base ortogonal de W. 31. Aplique el proceso de ortogonalización de Gram Schmidt a {(1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), y escriba el resultado en la forma A = QR donde Q es matriz ortogonal, R triangular superior y A es de En R 4 con el producto interior canónico, sea W =< (1, 0, 1, 1), (2, 3, 1, 2) >. Determine una base ortonormal de W. 33. Demostrar que los vectores (1, i, 2), (1, i, 1), (1, i, 0) son ortogonales en C 3 con respecto al producto interior canónico Si {e 1, e 2, e 3 } son ortonormales, demuestre que los vectores v 1 =1/3(2e 1 + 2e 2 e 3 ), v 2 = 1/3(2e 1 e 2 + 2e 3 ), v 3 = 1/3( e 1 + 2e 2 + 2e 3 ) son también ortonormales. 35. Verifique que la matriz es ortogonal y encuentre su inversa. ( 1/2 3/2 3/2 1/2 ) 36. Determine una matriz ortogonal con primera columna (1/ 2, 1/ 2, 0) T. Encuentre otra con la primera fila igual a (1/3, 2/3, 2/3). 37. Demuestre que toda matriz ortogonal A de n n preserva los angulos entre vectores, esto es cos( (x, y)) = cos( (Ax, Ay)) para todo x, y R n. 38. Sean a, b V. Demuestre que a = b sii a x = b x para todo x V. 39. En R 4 determine la distancia desde (1, 2, 0, 1) al subespacio W = {(x 1, x 2, x 3, x 4 )/ x 1 + 2x 3 = x 4 } 40. En R 4 determine la distancia desde (1, 2, 0, 1) al subespacio afín W = {(x 1, x 2, x 3, x 4 )/ x 1 + 2x 3 = x 4 + 1} 41. Sea V = M n n (R) el espacio de las matrices reales de n n. Demuestre que (A, B) = T r(ab T ) define un producto interno en V, donde T r(a) = n i=1 a ii (T r(a) se llama la traza de A). Si W es el subespacio de las matrices diagonales determine una base de W. 1 (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 donde x = a ib si x = a + ib 4

5 42. Determine la solución mínimos cuadrados del sistema sobredeterminado x = con respecto a los productos interiores: (x, y) = x T y (x, y) = x T Dy donde D = diag(2, 1, 2, 1) es una matriz diagonal. 43. (a) Exprese el problema min p P 2 0 (p(t) ln(t)) 2 dt como un problema de mínimos cuadrados, donde P 2 es el espacio de los polinomios de grado 2 o menor. (b) Encuentre una base ortonormal de P 2 con respecto al producto punto (p, q) = 0 p(t)q(t)dt (c) Use el resultado en (b) para resolver el problema en (a). 44. Demuestre que si u T u = 1, entonces la matriz P = uu T tiene rango 1, y P es la matrix de proyección al espacio de dimensión 1 generado por u. 45. Demuestre que si P es la matriz de proyección a un subespacio W, entonces la restricción de P a W es la identidad. 46. Demuestre que si P 1, P 2 son matrices de proyección a los subespacios W 1, W 2 respectivamente, y P 1 P 2 = P 2 P 1 = 0, entonces P = P 1 + P 2 es la matriz de proyección a W 1 + W 2, y necesariamente W 1 W 2. Interprete geométricamente este resultado. 47. Plantee cada uno de los siguientes problema de minimización como un problema de mínimos cuadrados. Indique el vector b a proyectar, el subespacio al que se proyecta, y el producto punto a utilizar, y resuelva el problema. 48. Sea (a) min x,y (1 x + y) 2 + 2(2 x + 2y) 2 + 1/2( 1 + 2x + y) 2 (b) min p P1 1 (et p(t)) 2 t 2 dt (c) min a,b 1 (et a bt 2 ) 2 dt (d) min x1,x 2 n i=1 (t2 i x 1 x 2 t i ) 2, donde t 1, t 2,... t n son arbitrarios. Grafique!. Muestre que este problema es la LR de su calculadora aplicado a y = x 2. (e) min p P3 p par 0 (t4 p(t)) 2 t dt A = Calcule la proyección de b = (1, 3, 1, 1) T a Ker(A). Determine la matriz de proyección. 5

6 49. Si (f, g) = f(t)g(t) dt es el producto interior en el espacio de las funciones continuas en 1 [ 1, 1], y W es el subespacio de las funciones impares, determine W. 50. Calcule la distancia entre la recta que pasa por (1, 1, 1) con directriz (1, 1, 0) y la recta que pasa por (1, 2, 1) con directriz (2, 1, 0) 51. Considere el subespacio afín W A = u 0 + W donde W es un subespacio. (a) Demuestre que la distancia d(w A, b) entre b y W A d(w A, b) = min u W A u b se obtiene para u = u = P (b u 0 ) + u 0 donde P (b u 0 ) es la proyección de b u 0 a W. (b) Encuentre la distancia entre el origen y el plano x 2y + 3z = 3 (c) Encuentre la distancia entre (1, 1, 1, 1) y el conjunto solución del sistema x 1 +x 2 x 3 +x 4 = 1, x 1 x 2 = Plantee cada uno de los problemas siguientes como problemas de proyección. Indique el producto punto, el vector a proyectar y el subespacio W al que se proyecta el vector b. (a) min x+y+z=1 (1 x) 2 + (2 y) 2 + ( 1 + z) 2 (b) min p P3 :p(1)=e,p(0)=1 0 (et p(t)) 2 dt 53. Sea W k = 1, sin(t), cos(t),..., sin(kt), cos(kt) y el producto punto (f, g) = π π f(t)g(t)dt. (a) Demuestre que 1, sin(t), cos(t),..., sin(kt), cos(kt) son ortogonales. (b) Calcule exp(t), a 0 + a 1 sin(t) + a 2 sin(2t) + b 1 cos(t). (c) Encuentre una base ortonormal para W k. (d) Calcule la proyección P k (f) de f(t) = exp(t) a W k. (e) Sea r k = P k (f) f. Demuestre que r k+1 < r k. 6