MAT1202: Algebra Lineal GUIA N 1 Otoño 2002

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Matemáticas MAT10: Algebra Lineal GUIA N 1 Otoño 00 1 (a) Cada múltiplo de v = (,, 1) tiene componentes cuya suma es igual a: (b) Cada combinación lineal de v y w = (1, 1, 0) tiene componentes cuya suma es igual a: (c) Determine α, β tal que αv + βw = (4, 1, 5) En el plano XY marque las siguentes combinaciones lineales [ [ x + y x {0, 1, }, y { 1, 0, 1} 1 1 Si tres esquinas de un paralelógramo son (1, 1), (4, ), (1, ) Cuáles son las posibilidades para la cuarta esquina? 4 Sean u = ( 1, 1), v = (, ), w = (, 1) Grafique e identifique los siguentes conjuntos de vectores: (a) {λu + (1 λ)v 0 λ 1 } (b) {x 1 u + x v 0 x 1, x 1 } (c) {x v + x w 0 x, x 1 } (d) {x 1 u + x v + w 0 x 1, x } (e) {x 1 u + x v + x w 0 x 1, x, x } (f) {x 1 u + x v + x w x 1 + x + x = 1, 0 x 1, x, x } 5 Sean u, v, w tres puntos no colineales de R Complete las frases siguientes El conjunto de vectores (a) {λu + (1 λ)v 0 λ 1 } es (b) {x 1 u + x v 0 x 1, x 1 } es (c) {x 1 u + x v 0 x 1, x } es (d) {x 1 u + x v + x w x 1 + x + x = 1, 0 x 1, x, x } es 6 Sean u 1 = (0, 0), u = (1, 0), u = (0, 1), u 4 = (1, 1) 1

2 (a) Describa el conjunto de las combinaciones convexas de los puntos {u i } 4 i=1, es decir, el conjunto {x 1 u 1 + x u + x u + x 4 u 4 0 x i i = 1,, 4, 4 x i = 1 } i=1 (b) Escriba el punto (1/, 1/) como combinación convexa de los vectores u i de dos maneras distintas (c) Es posible escribir el punto ( 1, 1) como combinación convexa de estos vectores u i? Explique (d) Escriba el punto (1/, 1/4) como combinación convexa de los vectores u i 7 Considere los vectores de R : u 1 = (0, 0), u = (1, 0), u = (1/4, 1/4), u 4 = (0, 1) Demuestre que las combinaciones convexas de estos puntos, no generan el polígono con vértices {u i } 4 i=1 Compare este resultado con aquel obtenido en el problema anterior Conjeture: Cómo debe ser el polígono, para que las combinaciones convexas de sus vértices, coincida con él mismo? 8 Se dice ue v es combinación lineal convexa de u 1, u,, u k si v = α 1 u 1 + α v + + α k u k donde α i 0, i = 1,, k y α 1 + α + + α k = 1 (a) Sean A = (1, 0), B = (0, 1), C= (, ), D = (, ) Grafique los siguientes conjuntos en el plano: i El conjunto de las combinaciones convexas de A y B ii El conjunto de las combinaciones convexas de A, B, C iii El conjunto de las combinaciones convexas de A, B, C, D (b) Demuestre que si u 4 es combinación convexa de u 1, u, u y v es combinaci on convexa de u 1, u, u, u 4 entonces v es combinaci on convexa de u 1, u, u (c) Explique la relaci on entre los gráficos en a) ii), y a) iii) usando b) 9 Sean u, v puntos en el plano y P un punto en el segmento determinado por u, v Demuestre que P es combinación lineal convexa de u y v 10 Sea S un conjunto (posiblemente con un número no finito de elementos) La clausura convexa de S es el conjnto de las combinaciones convexas de los elementos de S: CC(S) = {α 1 v 1 + α v + + α k v k : α i 0, k α i = 1, v i S} Un conjunto S se dice convexo si para cada par de elementos u, v en S, el segmento que une a u con v es un subconjunto de S, es decir CC({u, v}) S (a) Demuestre que CC(CC(S)) = CC(S) (b) Demuestre que si u k es combinación convexa de u i, i = 1,, k 1 entonces i=0 CC(u 1, u,, u k ) = CC(u 1, u,, u k 1 )

3 (c) Demmuestre que CC(S) es siempre un conjunto convexo (d) Demuestre que CC(S) es el conjunto convexo más pequeo que contiene a S Es decir, si S W y W es convexo entonces CC(S) W 11 Considere el cubo unitario en R con aristas (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (a) Dibuje el cubo (b) Cuáles son las coordenadas de su centro de masa? (c) Las coordendas de los 8 vértices son: (d) Las coordenadas de los puntos centrales de cada una de las seis caras del cubo son: 1 Considere el cubo en R 4 : C 4 = { (x 1, x, x, x 4 ) 0 x i 1 } Cuántos vértices tiene el cubo? Cuántas caras? Cuántas aristas? Note que un vértice del cubo es (0, 1, 0, 0) 1 Deduzca para el cubo en R n : C n = {(x 1,, x n ) 0 x i 1 }, lo pedido en el problema anterior Muestre que, a medida que la dimensión n crece, el diámetro del cubo crece sin cota y que, sin embargo, su volumen permanece constante e igual a 1 14 (a) Elija vectores u, v, w R tales que el conjunto generado por ellos sea una línea recta por el origen (b) Elija vectores u, v, w R tales que el conjunto generado por ellos sea un plano por el origen 15 Demuestre que si u 1 y u son combinaciones lineales de v 1, v, entonces toda combinación lineal de u 1, u también lo es 16 Demuestre que si u 1 = v 1 + v, u = v 1 + v entonces se cumple que 1 : u 1, u = v 1, v 17 Demuestre que si v es combinación lineal de v 1 y v entonces v 1, v, v = v 1, v 18 Demuestre que (a) A B implica A B (b) A B implica A B (c) A = A 19 Sean u = [ 06 08, v = [ 4, u = [ 4 (a) Calcule los productos puntos u v, u w, w v (b) Determine la longitud de cada uno de estos vectores (c) Verifique las desigualdades (Schwarz): u v u v y v w v w 1 S denota al conjunto generado por S

4 0 (a) Sean û = (cos(α), sin(α)), ˆv = (cos(β), sin(β)) vectores unitarios en R Demuestre que (û, ˆv) = cos( (û, ˆv)) (b) Demuestre la Desigualdad de Cauchy-Schwarz: (u, v) u v 1 Sea u = (1, 1,, 1) R 10 (a) Determine su longitud (b) Determine un vector perpendicular a u Para u = (1, ), v = ( 1, ) determine un escalar α tal que u αv sea perpendicular a u Grafique Determine dos vectores u, v perpendiculares a (1, 1, 1) y perpendiculares entre sí 4 Exprese el plano x + y + z = 1 como combinación lineal de vectores 5 Idem que la pregunta anterior, pero esta vez, para el hiperplano x + y z 4t = 6 Idem que la pregunta anterior, pero esta vez, para el hiperplano x 1 + x + + x n = 1 7 Si un hiperplano pasa por lo puntos (1, 1, 1, 1), (, 1,, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 1): Determine los valores α, β tal que el punto (α, β, α β, α + β) pertenezca al hiperplano 8 Determine la solución general de los siguientes sistemas de ecuaciones (a) x y = 5 (b) 4y z = 7 en las variables x, y, z (c) 5x 1 4x + x 4 = 1 en las variables x 1,, x 5 9 Encontrar el valor del parámetro c que hace posible resolver el sistema lineal 0 Estudiar la compatibilidad del sistema u + v + w =, u + v = 5, u + 4v + w = c x + y + cz = 4c, x + cy + z =, x + y + z =, y el número de soluciones para diferentes valores de c 1 Determinar las formas escalonada y escalonada reducida de las matrices A = , B =

5 Indique los pivotes en cada caso Usando las formas escalonadas reducidas encuentre la solución general de Ax = 0 y Bx = 0 Considere el sistema: x 1 x + x + x 4 + x 5 = 1, x 1 x + x 4 + x 5 + x 6 = 1, x 1 + x x + x 4 + x 5 + x 6 = 0 Escriba el sistema en su forma matricial Ax = b Determine las formas escalonada y escalonada reducida de A, las variables básicas, libres y los pivotes Determine la solución general del sistema como una combinación lineal de vectores Determine la solución general del sistema: x 1 + x + x + x 4 + x 5 + x 6 = 1, x 1 x x x 4 x 5 + x 6 =, x 1 + x x x 4 + x 5 = Indique las variables libres, básicas, y los pivotes 4 Para qué valores de k el sistema kx + y = 1, x + ky = 1, no tiene solución, tiene una solución o una infinidad de soluciones? 5 Considere el sistema de ecuaciones x 1 + x + x = 1, x 1 x + ax = b, x 1 + x + x = c, donde a, b, c son constantes Determine los valores de a, b, c tales que el sistema: no tenga solución, tenga solución única, tenga infinitas soluciones 6 Determinar la forma escalonada U, las variables básicas, las variables libres y la solución de Ax = 0 para la matriz A =

6 7 Encuentre eficientemente la solución general de los sistemas x x x = y 1 1 x 1 1 x x [ 8 Sea A = = Resuelva simultáneamente los sistemas Ax = b i donde b 1 = [ 1 [ 0, b = [, b = 9 Determine un sistema de ecuaciones Ax = 0 tal que el conjunto solución sea: 1 1 S =, La producción de x 1 camiones y x aviones requiere x 1 +50x toneladas de acero, 40x x kilos de plástico y 5x x meses de trabajo Si los costos unitarios son y 1 por tonelada, y por kilo e y por mes, encuentre una matriz B tal que By proporcione el precio de costo de un camión y de un avión 41 Considere el sistema de ecuaciones a x + b y = f c x + d y = g donde a 0 Determine el múltiplo l de la primera ecuación tal que al restarla a la segunda ecuación se elimina la variable x Cual es la fórmula para el segundo pivote? El segundo pivote no existe cuando ad bc = 4 Si las filas 1 y son iguales, cuanto puede Ud avanzar en la eliminación hasta encontrar un pivote nulo? Si las columnas 1 y son iguales, cual pivote falta? x y + z = 0 x y + z = 0 4x + y + z = x + y + z = 0 4x + 4y + z = 0 6x + 6y + z = 4 Considere el sistema de ecuaciones x + y = 6 6x + 4y = a Elija un valor de a de modo que el sistema tenga o bien infintas soluciones o bien ninguna solución 6

7 44 Considere el sistema x + 5y + z = 0 4x + dy + z = y z = Qué valor de d introduce un intercambio de filas y cual es el sistema triangular obtenido para ese valor de d? Que valor de d hace al sistema singular (no tiene tercer pivote)? 45 Determine los pivotes y la solución del sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas x + y = 0 x + y + z = 0 y + z + t = 0 z + t = 5 46 Determine una matriz de tal que la suma de los elementos de sus filas es 4, 8 y los de sus columnas es, s [ a b a + b = 4 a + c = c d c + d = 8 b + d = s El sistema de 4 ecuaciones tiene solución sólo cuando s = distintas que son solución son: En este caso, dos matrices 7