1. Sistemas de nodos. 2. Leontief. 1. Una red de diques de irrigación se muestra en la figura, con flujos medidos en miles de litros por día.

Transcripción

1 1. Sistemas de nodos 1. Una red de diques de irrigación se muestra en la figura, con flujos medidos en miles de litros por día. a Establezca y resuelva un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los posibles flujos f 1,..., f 5. b Suponga que DC está cerrado. Qué intervalo de flujo se necesitará mantener a través de DB? 2. (2 pts La parte central de Ciudad Gótica consiste de calles de un sentido, y el flujo de tráfico se midió en cada intersección. Los números representan la cantidad promedio de vehículos por minuto que entran y salen de las intersecciones durante, las horas de oficina. a Establezca y resuelva un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los posibles flujos f 1, f 2, f 3, f 4. b Si el tráfico se regula en f 4 = 10 Cómo cambian los otros flujos? c Cuáles son los posibles flujos mínimo y máximo a través de cada calle? d Cómo cambiaría la solución si todos los flujos se invirtieran. 3. Para el bloque de ciudad que se muestra en la figura los números representan la cantidad promedio de vehículos por minuto que entran y salen de las intersecciones A, B, C durante, las horas de oficina. Resuelvae un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los intervalos de flujo posibles para x 1, x 2, x 3, x 4. Y determina los flujos máximos y mínimos en cada calle. 2. Leontief 1. En una compañía que produce gasolina aceite y gas, se sabe que para producir una unidad de gasolina usa 1 unidad de aceite y una de gas. Para producir una unidad de aceite, requiere de 1/5 unidades de aceite y 2/5 de gas. Finalmente para producir una unidad de gas requiere 1/5 de gasolina, 2/5 de aceite y 1/5 de gas. Si tiene una demanda del mercado de 100 unidades de cada producto. Cuánto debe producir la compañía de cada producto para cumplir con su mercado? 2. Un pequeño pueblo tiene 3 industrias primarias, una mina de cobre, un ferrocarril, y una planta de energía eléctrica. Para producir $1 de cobre la mina gasta$0.20 de cobre, $0.1 de transporte, $0.2 de energía eléctrica. Para producir $1 de transporte, el ferrocarril requiere de $0.1de cobre, $0.1 de transporte, y $0.4 de energía electrica. Para producir $1 de energía eléctrica la planta destina $0.2 de cobre, $0.2 de transporte, y $0.3 de energía eléctrica. Suponga que durante un año hay demanda externa de 1.2 millones de dolares de cobre, 0.8 millones de dólares de transporte, y 1.5 millones de de dólares de energía. Cuánto debe producir cada industria para satisfacer la demanda total? 3. Una economía con 3 sectores tiene una matriz de consumo 0,2 0,4 0,1 C = 0,5 0,2 0,7 0,1 0,3 0,1

2 Encuentra un vector de producción que garantice la demanda externa dada d = En la matriz de consumo de un modelo de Leontief a Cómo se interpreta la condición de que a ii = 0 para toda i? b Cómo se interpreta la suma a i1 + a i2 + + a in? c Cómo se interpreta la suma a 1j + a 2j + + a nj? 5. En un modelo de Leontief de 3 sectores, tiene una matriz de consumo 0,6 0,9 0,1 0,1 0 0,1 0,3 0 0,8 Si el sector 1 desea producir 150 unidades Qué producciones demanda de los demás sectores?. Usando el método de 80 la matriz inversa determina el vector de producción que satisface la demanda final Los ejercicios 1 a 4 se refieren a una economía dividida en tres sectores manufactura, agricultura y servicios. Por cada unidad de producción, manufactura requiere de.10 unidades de otras compañías ubicadas en ese sector, de.30 unidades del sector agricultura, y de.30 unidades de servicios. Por cada unidad de producción, agricultura usa.20 unidades de su propia producción,.60 unidades de manufactura, y.10 unidades de servicios. Por cada unidad de producción el sector de servicios consume.10 unidades de servicios,.60 unidades de manufactura, pero ningún producto de agricultura. a Construya la matriz de consumo apropiada para esta economía, y determine cuáles demandas intermedias se crean si agricultura planea producir 100 unidades. b Determine los niveles de producción que se necesitan para satisfacer una demanda final de 18 unidades para agricultura, sin demanda fi nal para los otros sectores. (No calcule una matriz inversa. c Determine los niveles de producción necesarios para satisfacer una demanda final de 18 unidades para manufactura, sin demanda final para los otros sectores. (No calcule una matriz inversa. 7. Una ciudad divide su economía en 3 industrias, Pesada(P, ligera(l y agricultura (A, la industria P requiere para una unidad de producción de 0,1 de ella misma, 0,3 de L y 0,2 de A, la industria L requiere para una unidad de producción de 0,2 de ella misma, 0,2 de P y 0,2 de A y la industria A requiere para una unidad de producción de 0,1 de ella misma, 0,2 de L y 0,1 de A. Si se requiere satisfacer una demanda final de 85, 95 y 20 unidades de P, L y A respectivamente. Cuál debe ser la producción de cada industria? 8. Considerando las industrias química (Q, médica (M y la de servicios (S, se sabe que hay una demanda de la industria Q de 0.25 de su propia producción, 0.35 de M y 0.1 de S. Para producir una unidad de medicamentos, se requiere de 0.15 de Q, 0.2 de su propia producción y 0.1 de S. Existe también en una demanda de la industria de servicios de 0.15 de M, 0.25 de Q y 0.35 del mismo transporte. Si hay una demanda externa de 600 de Q, de 1100 de M y 600 de transporte Cuánto debe producir cada industria para satisfacer la demanda total? 9. La ecuación de producción de Leontief, x = Cx + d, generalmente está acompañda por una ecuación de precio dual: p = C T p+v donde p es un vector de precio cuyas entradas enlistan el precio por unidad de producción de cada sector, y v es un vector de valor agregado cuyas entradas enlistan el valor agregado por unidad de producción. (El valor agregado incluye salarios, utilidades, depreciación, etc. Un dato importante en economía es que el producto interno bruto (PIB se puede expresar de dos maneras: P IB = p t d = v t x Verifica la segunda igualdad. 3. Espacios Vectoriales 1. Efectúa los calculos indicados con los vectores u = ( 1, 3, v = (0, 5, w = ( 2, 1 4

3 a u + v + w b 4w c 2v d 0u e v 2w f w 3 2 v + 2u 2. Sea S el conjunto de vectores (x, y en R 2 que satisfacen la propiedad dada. Determina si es S subespacio o da un contraejemplo si no lo es. Grafica el conjunto de cada inciso. a x = 0 b y = 2x c x 0, y 0 d xy = 0 e xy 0 f 2x + y = 0 3. Decide si los siguientes son o no espacios vectoriales. Justifica. a V = {(x, y : x, y K} con la suma definida entrada-entrada y el producto por escalares c(x, y = (cx, 0 b Las soluciones de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas homogéneo. c Las soluciones de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas no homogéneo Dependencia independencia y generado 1. Muestra que los siguientes conjuntos son linealmente independientes y si generan al espacio del que son subconjuntos. a {(1, 0, 0, (1, 2, 0, (1, 2, 3} R 3 b {(1, 0, 0, 1, (1, 1, 2, 0, (1, 2, 3, 4, (1, 0, 1, 0, (2, 1, 1, 2} R 4 2. Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores generan a R 2? Justifica a (1, 2, ( 1, 1 b (0, 0, (1, 1, ( 2, 2 c (1, 3, (2, 3.(0, 2 d (1, 2, ( 1, 1 e (2, 4 3. Determina el valor de x para que: a el vector (x, 3, 5 R 3 pertenezca al subespacio (1, 0, 2, ( 2, 1, 7 b los vectores ( 1, 1, 3, (2, 1, 2 y (1, 1, x en R 3 sean linealmente independientes. ( ( ( ( Demuestra que las matrices,,, Forman una base para M bases y dimensión 5. Sea S = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 }, donde v 1 = (1, 1, 0, 1, v 2 = (0, 1, 2, 1, v 3 = (1, 0, 1, 1, v 4 = (1, 1, 6, 3, v 5 = (1, 2, 2, 0 Determina una base para el subespacio generado por S 6. Encuentra una base y la dimensión para cada espacio dado. a {(a b c, a + b + d, 2b + d + c, 2a c + d : a, b, c, d R} b (1, 0, 2, (3, 1, 1, ( 2, 1, 1, (5, 2, 0 c El espacio generado por los vectores S = {(1, 1, 0, 1, (0, 1, 2, 1, (1, 0, 1, 1, (1, 1, 6, 3, (1, 2, 2, 0} d Los vectores de la forma (a, b, c, d donde d = a + b e Los vectores de la forma (a, b, c, d donde d = a + b y c = a b f Los vectores de la forma (a, b, c, d donde a = b g Los vectores de la forma (a + c, a + b, b c, a + b + 2c h El conjunto de soluciones del sistema w 2x + z = 0 2w 3x + y = 0 7. Encuentra las dimensiones del núcleo (espacio nulo, kernel, del espacio de renglones y del espacio de columnas de las siguientes matrices y determina si el vector dado pertenece a Ren(A

4 a A = b B = , u = (2, 1, 0, 1, u = (1, 0, 0, 0 c C = (1, 2, 4, 6, 1, 7, 6 d D = , u = (1, 0, 0, 0, 0, u = 3.3. Producto interno y proyecciones 1. Encontrar la ecuación del plano, cuya normal es paralela a la recta x = (1, 3, 1 + s(1, 3, 5 y que pasa por el punto (2, 4, 0 y determina el valor de a para que el vector (1, a, 1 pertenezca a dicho plano 2. Encuentra la ecuación general del plano que pasa por los puntos (1, 1, 1, (1, 1, 1 y (3, 2, 1 3. Sea W R 3 el espacio generado por los vectores ( 1, 1, 1 y (1, 1, 1. a Encuentra W b Aplica el proceso de Gram-Schmidt a los vectores base de W. c Encuentra la proyección del vector u = (2, 1, 3 sobre W. d Determina la distancia de u a W. 4. Sea W = {(x + y, y, x + y, y : x, y R}. utiliza el proceso de Gram-Schmidt para dar una base ortogonal de W y encuentra la proyección del vector w = (0, 1, 1, 0 sobre W y la distancia de w a dicho espacio. 5. Para los siguientes conjuntos S V, calcula S, utiliza el proceso de Gram-Schmidt para dar una base ortogonal de S y de S, y encuentra la proyección del vector w sobre S y la distancia de w a dicho espacio. a V = R 4, S = {(1, 0, 1, 0, (1, 1, 1 1, (0, 0, 1, 2}, w = (1, 0,, 0, 0 b V = R 3, S = {(x, y, z : 2x 3y z = 0}, u, v = u t v, w = ( 1, 3, Sea W R 4 el subespacio formado por las soluciones del sistema homogéneo Encuentra una base de W, y encuentra W w + 2x + y + 2z = 0 w x 2y + z = 0 w + 5x + 4y + 3z = Transformaciones lineales 7. Determina la matriz o transformación que corresponde a cada una de las siguientes transformaciones del plano. a Rotar una figura 90 grados. b Proyectar un vector sobre la recta y = 4 3 x la matriz que proyecta cualquer vector sobre la recta y = 3 2 c proyecta cualquier vector de R 3 sobre la recta x = t, y = 2t, z = t. d la transformación que convierte el cuadrado unitario en el paralelepipedo (0, 0, (1, 0, (1, 1, (2, 1 e la transformación que rota la esfera 180 grados pero deja fijos los polos. f Las trasnformaciones que reflejan puntos del plano respecto a una recta con inclinación θ grados. g Reflejar respecto al eje Y h Rotar un vector 45 en sentido levógiro. i Estirar un vector un factor de 2 en la componente x y un factor de 3 en la componente y

5 j Proyectar un vector sobre el eje x k Rotar 30 en sentido dextrógiro. l Proyectar un vector en la recta y = 2x m Reflejar respecto a la recta y = x 8. Muestra que el producto de dos matrices de rotación es una matriz de rotación. Determina que ángulo de rotación tiene el producto respecto a los ángulos de rotación de las matrices multiplicadas Sea T A : R 2 R 3 la transformación correspondiente a la matriz A = 1 2, determina T A (u y T A (v dónde 1 4 ( ( 3 1 u = y v = En los siguientes incisos muestra cuáles transformaciones son lineales y cuales no. (si lo es hay que mostrarlo probando las propiedades, y si no lo es hay que dar un contraejemplo. De las que hayan sido, determina su matriz asociada y su núcleo. a T 1 (x, y = (x + y, x y b T 2 (x, y = (x, y 2 c T 3 (x, y, z = (x y + z, 2x + y 3z d T 4 (x, y = (x + 1, y 1 e T 5 (x, y = (x + 2y x, 3x 7y f T 6 (x, y = ( x, y 11. Sea T A : R 2 R 3 la transformación correspondiente a la matriz A = 3 u = ( 3 2 y v = ( , determina T A (u y T A (v dónde 12. Determina (haciendo un dibujo que le hacen las siguientes matrices al cuadrado unitario con vértices en (0, 0, (1, 0, (1, 1, (0, 1. Estas matrices se llaman matrices elementales de 2 2. Por qué? a ( k b ( k c ( d ( 1 k 0 1 e ( 1 0 k 1