Intente deducir una forma general para describir todas las matrices cuadradas de orden 4 que conmutan con la matriz ( d = ~

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1 47 EJERCICIO 2.4 Dada la matriz A = O : calcular A2. A 3. A 4. Se le ocurre alguna fórmula general O O : para AO, n E N? EJERCICIO 2.5 Intente deducir una forma general para describir todas las matrices cuadradas de orden 4 que conmutan con la matriz 0 0] O O O O O O O 3. Eliminación Gaussiana y subespacios fundamentales EJERCICIO 3. Considere : A = -/2 3/ 2 O ( d = ~ - 5 y e = " a) Encuentre una matriz escalonada a partir de A, por operaciones elementales de fila : i) Mediante las funciones SWAP y PIVOT. ii) Utilizando la función ESCALONE. iii) Por el método del pivoteo parcial con SWAP y PIVOT. iv) Por el método del pivoteo parcial con ESCALONEP. b) Halle matrices P, L Y U tales Que PA = LU, donde P es de permutación, L es triangular inferior con diagonal unitaria y U es escalonada. c) Encuentre una base para cada uno de los cuatro subespacios fundamentales asociados con la matriz A. d) Exprese el espacio columna y el espacio nulo de la matriz A, mediante restricciones sobre las componentes de sus vectores. e) Determine si los sistemas AX = d Y AX = e son solubles. EJERCICIO 3.2 a 3 Sea A = 3 4 ~l. Para cuáles valores de o. se satisface R(A ) " R? [ 3

2 48 EJERCICIO 3.3 Sean a o, al' a.:: a,,a J, a,, a 6 los dígitos de su camé en orden. a) i) Genere una matriz M E R~ b ' cuyas componentes estén dadas por _l- )+) ala) m i ) - i E {,...,4} j E {,...,6}. a,+ li) Cambie la fila 2 de M por 3 M I - 4 M J Y reasigne el resultado a la letra M. b) Determine el rango de M. e) Encuentre matrices P. L Y U tales que PM = LU. d) Halle una base y la dimensión para cada uno de los cuatro subespacios fundamentales asociados con M. e) Exprese R( Mi) Y N(M) mediante restricciones sobre las componentes de sus vedores. EJERCICIO 3.4 ( l' M=l3 \0 5 6, Para la matnz 3 3 ' caracterice todas las matrices A y B tales que AM =O y MB = O 4. Sistemas de ecuaciones lineales y subespacios fundamentales EJERCICIO 4. ( ' ( - 22 ( ,el' I O O 3 8 ) / 5 Sean : A = O d" I l" a) Encuentre las restricciones sobre las componentes de un vector b E R5, para que b sea combinación lineal de las columnas de A. b) Es el sistema AX = d soluble? Uusifique). e) Es el sistema AX =e soluble? (justifique) d) Si alguno de los sistemas descritos en b) y e) es soluble, halle su solución general y exprésela como la suma de una solución particular de él más la solución general del sistema AX = O. e) Encuentre, si es posible, dos combinaciones lineales de las columnas de A que sean iguales al vedor d. f) Cuál es el espacio nulo de A? (justifique)

3 49 EJERCICIO 4.2 Sean : A = [ a) Encuentre matrices P, L Y U tales que PA = LU. b) Resuelva simultáneamente los sistemas AX =di y AX =d2 Y exprese la solución general de cada uno como la suma de una solución particular de él, más la solución general del sistema homogéneo AX = O c) Cuál es el espacio nulo de A? d) Exprese el vector di como una combinación lineal de las columnas de A. e) Existirá alguna columna de A que sea combinación lineal de las restantes? Justifique su respuesta y, en caso afirmativo, exprese alguna columna de A como combinación lineal de las restantes. f) Cuál es el espacio columna de A? (Justifique). EJERCICIO ".3 ) Halle una matriz A E R4.. < tal que H =R(A). 2) Muestre que S es un conjunto linealmente dependiente y encuentre 2 combinaciones lineales no triviales de los vectores de S que produzcan el vector cero. 3) Si A es la matriz hallada en ), encuentre una base y la dimensión para el espacio nulo de A y también para su espacio fila. 4) Encuentre una base para H que esté contenida en S. 5) Halle H mediante restricciones sobre las componentes de sus vectores. 6) Sea A la matriz hallada en ). a) Para cuáles vectores b E R4 es soluble el sistema AX = b? b) Muestre que AX = d es soluble y que AX = e no es soluble. c) Resuelva el sistema AX = d Y exprese su solución general como la suma de una solución particular de él más la solución general del sistema homogéneo AX =O d) Exprese, si es posible, el vector d como combinación lineal de los vectores de S. e) Encuentre matrices P. L Y U tales que PA '7' LU. f) Encuentre una base y la dimensión del espacio nulo izquierdo de A.

4 50 g) Será el vector z un elemento de N(A T)? h) Será el sistema A T Y = j soluble? Justifique. i) Son las filas de la matriz A linealmente independientes? Justifique. EJERCICIO 4.4 X \ x 2 Sea H = ~ I X3 E R 5 : 2x, + x2 - x3 + ~ =O ; 3x, + 4"4 - >Ce; =O "4.)(e;J ) Encuentre una matriz B E R2 x5 tal que H =N(B). 2) Halle una base y la dimensión de H. 3) Encuentre una matriz M de columnas L.I tal que H =R(M). 4) Halle una matriz N, cuyas filas sean LI tal que H =R(N T ). EJERCICIO 4.5 Sean k. =último dígito de su camé, s = penúltimo dígito de su carné, c =promedio entre k y s. ) Generar una matriz B = (b j) E R 3 x4 tal que bij = i + j + k S. 2) Hallar la matriz A que se obtiene al cambiar en la matriz B, la fila 3 por c veces la fila. 3) Hallar el espacio columna de A mediante restricciones sobre las componentes de sus vedares e interpretarlo geométricamente. 4) Generar el vector d tal que di = (i + ks), para i E {, 2,3 Y determinar si el sistema A x = d es soluble. 5) Para el vector e que se obtiene al sustituir en d la componente d 3 por cd : i) Determinar si el sistema A.X = e es soluble y, en caso afirmativo, resolver el sistema. ii) Decir cuántas combinaciones lineales de las columnas de A producen el vedar e y exhibir, si es posible, 2 de ellas. 6) Encontrar una base y la dimensión del espacio nulo de A. 7) Hallar al menos 2 combinaciones lineales de las columnas de A que produzcan el vector cero. 8) Encontrar una base para el espacio nulo izquierdo de la matriz A. 9) Expresar N (A T) mediante restricciones sobre las componentes de sus vectores. EJERCICIO 4.6 Sean al' a 2, a 3, Q4 los últimos 4 dígitos de su carné. Hallar todos los polinomios cúbicos que pasan por los puntos

5 5 l /a, '), 7 la.+, - a l - 5) a 2 ) -a 3.' " a. Elegir 3 de estos polinomios y graficarlos superpuestos. EJERCICIO 4.7 Considere el siguiente sistema de ecuaciones: 2x- 3x2 +5'3 + -h4 = - -+:.; ] + 8:\2-2b2 -loh3-8,xil = -2k 2:q - h 2 T k 2 ' Xil =2 -h -6'2 + IO.x3 + 2k 2 '4 = k a) Hallle todos los valores de k para los cuales el sistema : i) Tiene solución única ii) No posee solución. iii) Posee infinitas soluciones. b) Para cada valor de k, tal que el sistema tenga infinitas soluciones, encuentre su solución general y exprésela como la suma de una solución particular de él, más la solución general del sistema homogéneo asociado. EJERCICIO 4.8 lr J li lr/2i a) Establecer la ecuación de la curva que pasa por los puntos, ) y tiene la forma 2lr </ 4 asen x + b sen \" =O. (' (2) (2\ b) Establecer la ecuación de la curva que pasa por los puntos l)' 2 ' \. -) Y tiene la forma ae x +be'-' +ce h +de- 2 \ = O. l EJERCICIO 4.9 Considere el siguiente diagrama donde se señala el flujo vehicular por hora sobre las calles aledañas a las intersecciones A,B,C,D,E y F de cierta ciudad. 288 A "\ 8lJ8 B,, ~ e,. Q) )(5 )(3 "7 - )(6?IIJ8 o E 4e. 2_ 5. Suponiendo que los vehículos que entran a una intersección deben también salir, plantear un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar el flujo vehicular por hora, sobre cada