Álgebra II (61.08, 81.02) Primer cuatrimestre 2018 Práctica 1. Espacios vectoriales

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1 Álgebra II (61.08, 81.02) Primer cuatrimestre 2018 Práctica 1. Espacios vectoriales 1. (a) Compruebe que el conjunto de matrices de orden p q a coeficientes reales R p q es un espacio vectorial real con la suma y el producto por un escalar usuales. (b) Compruebe que P n = {p(t) = a n t n + a n 1 t n a 1 t + a 0, a i R, i = 0,, n} es un R espacio vectorial con la suma y el producto por un escalar usuales. 2. (a) Suponga que A R p q y que b R p. Qué condición debe cumplir b para que el conjunto S = {x R q : Ax = b} sea un subespacio de R q? (b) Empleando la respuesta al item anterior determine cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de los espacios que se indican: S = {x R 3 : 2x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 2 x 1 = 0}. S = {x R n : x 1 = x 2 = = x r = 0}. S = {x R 4 : x 1 + x 2 = 0 x 1 2x 3 + x 4 = 1}. 3. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de los espacios vectoriales que se indican: (a) S = {v R 3 : v = [1 + r r 4r] T, r R}. (b) S = {v R 2 : v = [r 2r] T, r 0}. (c) S = {[x 1 x 2 ] T R 2 : x 2 1 x2 2 = 0}. (d) S = {A R 2 2 : A es singular}. (e) S = {A R 3 3 : A es triangular superior}. [ ] [ ] (f) S = {A R 2 2 : A = A} (g) S = {A R 2 2 : A[5 6] T = 0}. (h) S = {p P 3 : p(1) = p(2)}. (i) S = {p P 2 : 1 0 p(t)dt = 0}.

2 4. Analice si el vector [7 1] T es combinación lineal de [1 1] T, [1 1] T y [2 1] T. Es combinación lineal de [1 3] T y [ 1 2] T? Qué diferencia observa en cada caso? 5. (a) Determine si R 3 está generado por los vectores v 1 = [1 1 2] T, v 2 = [ 1 0 3] T, v 3 = [0 1 5] T y v 4 = [3 2 2] T. (b) Determine si {t 2 1, t + 3, t 2 + 2t + 5} genera P 2. (c) Verifique que {[1 0] T, [0 1] T } genera C 2 considerándolo un C espacio vectorial pero no lo genera como R espacio vectorial. 6. Sea el conjunto S = {[x 1 x 2 x 3 ] T R 3 / [x 1 x 2 x 3 ] T = α[1 2 2] T + β[ 1 0 1] T, α, β R}. (a) Demuestre que S es un subespacio de R 3 ( se nota S = gen{[1 2 2] T, [ 1 0 1] T }). (b) Explique la diferencia entre gen{[1 2 2] T, [ 1 0 1] T } y {[1 2 2] T, [ 1 0 1] T }. 7. Encuentre conjuntos de generadores para los siguientes subespacios: (a) S = {x R 3 : x 1 + x 2 + 2x 3 = 0, 2x 1 x 2 x 3 = 0} (b) S = {x R 4 : x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 0} (c) S = {A R 2 2 : tr(a) = 0, a 11 = a 12 }. (d) S = {p P 2 : p (1) = 0}. 8. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son linealmente independientes en el espacio vectorial que se indica: (a) {[1 2] T, [1 1] T }, en R 2, (b) {[1 1 0] T, [1 1 1] T, [1 3 2] T }, en R 3, (c) {[ ] T, [ ] T, [ ] T }, en R 4, (d) {[ ] T, [ ] T, [ ] T, [ ] T }, en R 4, {[ ] [ ] [ ] [ ]} (e),,, en R (f) {2, 3 + t, 2 t 2 } en P 2. (g) {1, 2 + 2t, 1 t + t 2, 2 t 2 } en P 2. (h) {[1 i] T, [i 1] T } en C 2 como R-espacio vectorial y como C-espacio vectorial. 9. Sea V un R-espacio vectorial y v 1, v 2, v 3 V.

3 Suponiendo que el conjunto {v 1, v 2, v 3 } es un conjunto linealmente independiente, pruebe que el conjunto {v 1 + v 2 v 3, v 1 + 2v 2, v 2 + 3v 3 } es un conjunto linealmente independiente. 10. Halle los valores de α R para los cuales el conjunto {1 t t 2 t 3, αt + t 2 + 2t 3, α t αt 2 + 2t 3 } es un conjunto linealmente independiente en P (a) Exhiba una base distinta de la base canónica para cada uno de los siguientes espacios vectoriales: R 2, R 3, R 2 3. (b) Exhiba bases para P 2, P 3 y en general para P n, con n N. Demuestre que el espacio vectorial P formado por todos los polinomios no está finitamente generado. (c) Exhiba bases de C 2 como C espacio vectorial y como R espacio vectorial. 12. Encuentre bases para los siguientes subespacios e indique la dimensión de los mismos: (a) S = {x R 3 : 2x 1 + x 2 x 3 = 0}. (b) S = {x R 4 : x 1 + 2x 2 + x 4 = 0, 2x 1 x 2 + x 4 = 0}. (c) S = gen{[1 2 1] T, [2 1 1] T, [1 3 2] T } (d) S = gen{[ ] T, [ ] T, [ ] T } [ ] [ ] (e) S = {A R 2 2 : A = A} (f) S = {A R 3 3 : A = A T }. (g) S = {A R 2 2 : tr(a) = 0}. [ ] [ (h) S = gen{, (i) S = {p P 3 : p(0) = p(1)}. (j) S = {p P 4 : 1 0 p(t)dt = 0}. 13. Demuestre que: ] [, ] [ 1 1, 1 6 (a) cualesquiera n vectores linealmente independientes en R n forman una base de R n ; (b) cualesquiera n vectores que generan R n forman una base de R n. ] }.

4 14. Sea {v, w} R 3. Demuestre que {v, w} y {v + w, v w} generan el mismo subespacio. Cuándo estos conjuntos constituyen bases para este subespacio? 15. Consideremos el subespacio S = {x R 4 : x 1 + 2x 2 + x 3 x 4 = 0}. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son bases de S : 1. {[ ] T, [ ] T, [ ] T } 2. {[ ] T, [ ] T } 3. {[ ] T, [ ] T, [ ] T } 4. {[ ] T, [ ] T, [ ] T } 5. {[ ] T, [ ] T, [ ] T, [ ] T } 16. Consideremos S = {p P 2 /p (0) = p(0)}. (a) Demuestre que S es un subespacio de P 2 y halle una base de S. (b) Halle una base de P 2 que contenga a la base de S dada en el item anterior. 17. Halle todos los valores de k R para los cuales el conjunto {[1 1 2] T, [(k 1) k 1] T, [k (k 1) (k + 5)] T } sea una base de R Dada la matriz A = , halle bases de sus subespacios fundamentales: Col(A), Nul(A), Fil(A) y Nul(A T ). Compare sus dimensiones y calcule rango(a) y rango(a T ). 19. Halle una matriz A de tamaño adecuado de modo que S = Nul(A) para los siguientes subespacios: (a) S = gen{[1 1 1] T, [2 1 3] T, [1 0 2] T, [3 1 5] T } (b) S = gen{[ ] T, [ ] T } 20. (a) Sea S = gen{[1 1 1] T, [0 2 3]}. Halle dos matrices distintas A y B R 3 3 tales que Col(A) = Col(B) = S.

5 (b) Sea A = (c) Sea A = [ Halle B (de tamaño adecuado) tal que Nul(B) = Col(A). ]. Halle B (de tamaño adecuado) tal que Nul(A) = Col(B). 21. Sea A R n m, A = [u 1 u 2 u m ] con u i la i-ésima columna de A y B R r n. (a) Verifique que Ax = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x m u m, si x = [x 1 x m ] T. (b) Pruebe que b Col(A) si y sólo si existe x tal que Ax = b. (c) Pruebe que Col(BA) Col(B). En qué caso vale la igualdad? (d) Pruebe que Nul(A) Nul(BA). En qué caso vale la igualdad? 22. Justifique las siguientes afirmaciones: (a) Si A R 5 5 es una matriz cuyas columnas forman una base de R 5, entonces el sistema Ax = b tiene solución para todo b R 5. Además esta solución es única. (b) Si A R 5 4 es una matriz de rango 4 y b R 5, entonces el sistema Ax = b no tiene solución cuando la matriz ampliada del sistema [A b] es inversible. 23. (a) Sean A R m n y B R n p tales que Nul(A) = Col(B), demuestre que AB = 0 m p. (b) Sean A R m n de rango n 1 y v R n, v 0 n, tales que v Nul(A), demuestre que Nul(A) = gen{v}. 24. Sea A R 4 4 tal que A 2 = y existen u, v R 4 tales que Au = [ ] T y Av = [ ] T. Halle una base de Nul(A) y verifique que Nul(A) = Col(A). { } 25. Sean S = x R 4 x : 1 + 2x 2 + x 3 = 0, y x 1 + 5x 2 + 3x 4 = 0 W = gen{[3 0 k 1] T, [3 k k]t, [1 2 3 k] T }. Determine todos los valores de k R para los cuales S = W. 26. Halle bases de S W en los siguientes casos: (a) S = {x R 4 : x 1 + 2x 2 + x 4 = 0, 2x 1 x 2 + x 3 = 0} y W = {x R 4 : x 1 + x 2 + x 3 x 4 = 0} [ ] [ ] (b) S = {A R 2 2 : A T = A} y W = gen{, }

6 (c) S = {p P 2 : p(0) = p(1)} y W = gen{t 2 + 1, 3t + 2}. 27. Halle una {[ base de ] R 2 2 [ que contenga ]} una base de S y una base de W si S = gen, y W = {A R : 2a 11 + a 12 + a 21 = 0}. 28. Sean { S = gen{[ ] T, [ ] T }, } W 1 = gen{[ ] T, [ ] T } y W 2 = x R 4 x : 1 x 2 x 3 = 0,. x 1 + x 4 = 0 (a) Halle bases de S + W 1 y S + W 2. Indicar en qué caso la suma es directa. (b) Analice si [ ] T pertenece a S + W i, con i = 1, 2. En caso afirmativo, halle v 1 S y v 2 W i tales que [ ] T = v 1 + v 2. v 1 y v 2 son únicos? Compare ambos casos. 29. Demuestre que S 1 S 2 = R 3 3 con S 1 = {A R 3 3 : A = A T } y S 2 = {A R 3 3 : A = A T }. Es cierta la igualdad precedente en R n n? 30. Analice si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: (a) Dados los subespacios S = gen{[1 1 3] T, [2 1 1] T } y W = gen{[0 3 5] T, [ 1 2 2] T }, se verifica que S = W. (b) Dados los subespacios S = gen{[2 1 0] T }, W = gen{[0 1 1] T } y H = gen{[ 2 4 3] T } se verifica que H S + W. (c) Si A = {u 1, u 2,..., u k } y B = {v 1, v 2,..., v r } son dos conjuntos incluidos en R n, entonces gen(a B) = gen(a) gen(b). 31. Sean S = gen{[ ] T, [ ] T } y H = {x R 4 : 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 0}. Decida si existe un subespacio W R 4 tal que S W = H. En caso afirmativo, indique la dimensión del subespacio W y exhiba una base. { [ ] [ ] } 32. Sea S = A R : A = A Halle un subespacio W R 2 2 tal que S W = R (a) Determine si la suma de los siguientes subespacios de R 5, S 1 = gen{[ ] T, [ ] T }, S 2 = gen{[ ] T }, S 3 = gen{[ ] T }, es directa y halle una base de la misma.

7 (b) Idem anterior pero con S 1 = gen{[ ] T, [ ] T }, S 2 = gen{[ ] T }, S 3 = gen{[ ] T }. 34. Consideremos en P 3 el subespacio S = {p P 3 /p (0) = 6(p(0) + p (0))} y el conjunto B = { 1 + t + t 2 + t 3, k 2 1 kt kt 2 + 2t 3, kt + t 2 + 2t 3 }. (a) Halle el o los valores de k R para los cuales B es una base de S. (b) Defina un subespacio W P 3 de dimensión 2 tal que W + S = P Sean A R 3 4 y B R 3 3 tales que BA = y rg(a) = 2. Si S = {x R 4 / x 1 + x 4 = 0, x 2 + x 3 = 0}, determine una base de Nul(A) + S e indique si la suma es directa. 36. Encuentre las coordenadas de v en la base ordenada B en cada uno de los siguientes casos: (a) v = [1 2 3] T y B = {[1 1 0] T ; [1 0 1] T ; [0 1 1] T }. (b) v = a + bt + ct 2 y B = {1 + t + t 2, 1 + t, 1}. 37. Sean B = {t 3t 2, 1 t 2, 2 + t} y B = { 1 + t, 1 t + t 2, 5 + 2t 2 } dos subconjuntos de P 2. (a) Pruebe que B y B son bases de P 2. (b) Si las coordenadas de p en la base B son [ 1 2 1] T, calcule las coordenadas de p en la base B. 38. Sean B = {[1 0 1] T, [0 1 1] T, v} y B = {[1 1 1] T, [1 1 0] T, [2 1 1] T } dos bases de R 3. Encuentre v R 3 de modo que el vector [1 2 1] T tenga las mismas coordenadas en ambas bases. 39. Sea B = {v 1 ; v 2 ;... ; v n } una base ordenada del K-espacio vectorial (K = R ó C) V y sea f : V K n la aplicación que asigna a cada v V su correspondiente vector de coordenadas en la base B notado [v] B. Es decir, f(v) = [v] B. Demuestre lo siguiente: (a) [v + w] B = [v] B + [w] B y [αv] B = α[v] B para todo v, w V y para todo α K. (b) f es biyectiva. Halle la expresión de f 1. (c) {u 1,..., u r } es l.i. en V si y sólo si {[u 1 ] B,..., [u r ] B } es l.i. en K n.

8 [( Halle la base B de R 2 tal que 2 )] B = ( 3 5 ) y [( Sea V un R-espacio vectorial con base B = {v 1, v 2, v 3 }. Encuentre los valores de k R para los cuales el conjunto {2v 1 + (1 k)v 2, kv 1 + 2v 2 + v 3, v 1 + kv 2 + v 3 } es un conjunto linealmente independiente. Para los valores hallados, determine si este conjunto es una base de V. 42. Halle la matriz de cambio de bases C BB en los siguientes casos: (a) B = {[1 2 3] T ; [1 0 1] T ; [3 4 6] T } y B = {[1 1 0] T ; [1 2 3]; [1 1 0] T }. (b) B = {1, t 1, (t 1) 2 } y B = {1, t 2, (t 2) 2 }. 43. Sea E la base canónica de R 3. (a) Halle una base B de R 3 tal que C EB = (b) Halle todos los vectores v R 3 tales que [v] B = [v] E. 44. Halle el wronskiano de las siguientes funciones y determine si son linealmente independientes: (a) 1, x,..., x n (b) e αx, xe αx siendo α R (c) e x, xe x, e x (d) sen(x), sen(x + π 4 ) (e) e 3x sin(2x), e 3x cos(2x) (f) senh(αx), cosh(αx) siendo α R (g) 1, sen 2 (x), cos(2x) 45. Muestre que el conjunto de funciones {x 2, x x } es linealmente independiente a pesar de que su wronskiano es idénticamente nulo. 46. Sean f 1 y f 2 derivables en cierto intervalo abierto I, g 1 = af 1 + bf 2 y g 2 = cf 1 + df 2 donde a, b, c, d R. Muestre que [ a c W (g 1, g 2 )(x) = det b d. )] ] W (f 1, f 2 )(x), B = ( 2 3 x I ).