TALLER II Profesor: H. Fabian Ramirez MATRICES Y ESPACIOS VECTORIALES

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas TALLER II Profesor: H. Fabian Ramirez MATRICES Y ESPACIOS VECTORIALES OBSERVACIÓN: N.A significa Ninguna de las Anteriores. 2. Sean A = 2, B = 2 2, C = 3 2 Simplifique y calcule X = 4A (AB C +AC)(2B C) 2 Encuentre Y tal que AY = Dadas las matrices A, B, C y D, identifique las expresiones matriciales que están bien definidas y calcúlelas. ( ) ( ) 3 5 ( ) 2 /3 2 A = B = C = D = a) 2(A B)+3A+2B b) 3(A+B C) 2D c) 2(ACB + DCB) d) 3[ 5(A+2B D)] 2[ 2 (A+2B D)] e) A T B +A T D +C T D f) (A T D) C g) Calcule la componente (,2) de BC, la segunda fila de BC y la tercera columna de BC. 3. Dadas las matrices invertibles A y B y el vector b A = 2 / B = /2 b = ) b ( calcule [AB +3A] T 2 BT A T 4. Sean A = 2, determine si tiene inversa. En caso afirmativo, exprese la matriz A como un producto de matrices elementales. 5. Demuestre a) Si A es invertible y AB = AC, entonces B = C. b) AA T es una matriz simétrica para cualquier matriz A. c) Si la matriz A es invertible y AB =, entonces B =. 6. Las siguientes proposiciones son FALSAS justifique el PORQUÉ. a) Si las columnas de una matriz forman un conjunto de vectores l.i., la matriz es invertible. b) La suma de dos matrices invertibles es una matriz invertible.

2 c) Si la solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es única, la matriz de coeficientes del sistema es invertible. d) Si la suma de dos matrices es invertible, cada una de las matrices es invertible. e) El producto de dos matrices cuadradas siempre es invertible. f) Si el sistema Ax = b tiene solución única, la matriz A es invertible. g) Para concluir que una matriz es invertible, es necesario calcular su inversa. h) Si la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales es invertible, el sistema tiene solucion única. i) Si el producto de dos matrices es invertible, cada una de las matrices es invertible. 7. Las siguientes proposiciones son VERDADERAS justifique el PORQUÉ. a) Cualquier múltiplo diferente de cero de una matriz invertible es invertible. b) Si una matriz es invertible, cualquier forma escalonada equivalente también es invertible. c) Si la forma escalonada equivalente de una matriz es invertible, la matriz también es invertible. d) Si la matriz A es invertible, el sistema Ax = b tiene solución única. e) Si la suma de las columnas de una matriz es igual al vector, la matriz no es invertible. f) Si el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones, la matriz A no es invertible. g) Si el sistema Ax = b tiene solución única y A es cuadrada, la matriz A es invertible. 2

3 h) Si la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales es invertible, el sistema es incosistente. DEF: Decimos que una matriz A es idempotente, si y solo si, A 2 = A y decimos que una matriz A es nilpotente, si y solo si, existe un k N tal que A k = O. 8. Demuestre porque son VERDADERAS las siguientes proposiciones a) Ninguna matriz nilpotente es invertible. b) La matriz idéntica es una matriz idempotente. c) Una matriz triangular con los elementos de la diagonal iguales a cero es una matriz nilpotente. d) Si A 4 = O, la matriz A es nilpotente. e) Si A 4 = O, la matriz A 2 es nilpotente. f) Si A 4 = A 2, la matriz A 2 es idempotente. g) Si A es idempotente, A 2 también es idempotente. 9. Demuestre porque son FALSAS las siguientes proposiciones a) Toda matriz idempotente es invertible. b) Si A 4 = A 2, la matriz A es idempotente. DEF: Decimos que una matriz A cuadrada es ortogonal, si y solo si, las columnas de A son vectores unitarios y ortogonales entre si.. Demuestre porque son VERDADERAS las siguientes proposiciones a) Si A es una matriz ortogonal, entonces A T A = I. b) Toda matriz ortogonal es invertible. c) Si A es una matriz ortogonal, entonces AA T = I. d) Si A es una matriz ortogonal, entonces A T también es ortogonal. 3

4 e) La matriz idéntica es ortogonal. f) La inversa de una matriz ortogonal es su transpuesta. g) Si A es una matriz ortogonal, la solución del sistema de ecuaciones lineales Ax = b es x = A T b.. Demuestre que si A es una matriz simétrica e invertible, entonces A es simétrica. 2. Sea una matriz n n tal que A 4 =. Verifique que (I A) = I +A+A 2 +A Pruebe que: Si A k =, para algún k Z y AB = B, entonces B =. 4. Sean A y B dos matrices cuadradas simétricas de orden n. Pruebe que: AB es simétrica si y sólo si A y B conmutan 2 5. Sea 2, factorizarla en LU Para cualquier matriz m n. Muestre que A T A y AA T estan siempre definidas y ademas son simetricas 7. Si A es invertible, pruebe que A T es invertible y además (A T ) = (A ) T Si p(t) = t 3 6t 2 5t 2 y A = 5 4, se verifica que p(a) = A 3 6A 2 5A 2I es igual a la matriz nula? 9. Pruebe que si A es idempotente entonces (AB ABA) 2 = para todo B. 2. Simplifique la expresión: 3 B(B A T C +B C)( 6 AT C) 2. Pruebe que si la matriz A n n satisface A 2 2A+I =, entonces A es invertible. Halle A. a 22. Halle los valores de a para los cuales se tiene que tr(a) = si A = a a a a 23. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales F F F 2, F 3 +F 2 F 3, y se obtuvo 2 4 la matriz a) Calcule la factorización LU de la matriz A. b) Resuelva Ax = b para b T = (,,6). c) Resuelva Az = d para d = 3x. d) Resuelva A T y = c para c T = (2,, 3). e) Existe det A? 24. Si A y B son matrices 5 5 tales que deta = 3 y detb = /2, calcule, de ser posible, a) det(a ). b) det(2b). c) det(ab). d) det(a+b). e) det(a 2 ). f) det(a T ). g) det[(3a) ]. h) det[adj(a)]. i) det[(2b) A(Adj(A))B 2 ] 25. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales F 2 + 2F F 2, F F F 3 y F 3 + F 2 F 3 y se obtuvo la matriz 6 7/ a) Calcule det A. b) Existe A? c) Calcule la factorización LU de A. d) Calcule detadj(a). 4

5 26. Demuestre que 27. Simplifique ( ) n λ = λ ( ) λ n nλ n λ n [ ( ) 2 A 2B(2B) +(A+B)(A +B ) + 2 BT (A ) T ] T 2 A(BA ) = 28. Porque son FALSAS las siguientes proposiciones a) Una matriz ortogonal simétrica es una matriz idempotente. b) El determinante de 3A es 3 veces el determinante de A. c) Si el determinante de la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es cero, el sistema es inconsistente. d) Si el determinante del producto de dos matrices es cero, una de las matrices es cero. e) Toda matriz es el producto de matrices elementales. f) Si dos matrices tienen dos filas iguales, sus determinantes también son iguales. g) Al pre-multiplicar una matriz por una matriz elemental, el determinante de la matriz no cambia. h) Si el determinante del producto de dos matrices es cero, el determinante de una de las matrices es cero. i) Si la solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuadrado es única, el determinante de la matriz de coeficientes del sistema puede ser cero. j) La factorización LU de una matriz requiere más operaciones que el uso de la eliminación de Gauss para escalonar la matriz. k) Si una matriz es invertible, siempre es posible calcular su factorización LU. l) Toda matriz cuadrada A es el producto de matrices elementales. 5

6 29. Porque son VERDADERAS las siguientes proposiciones a) Si las columnas de una matriz cuadrada son l.i., el determinante de la matriz es diferente de cero. b) Si la matriz A es invertible, la matriz A 4 también es invertible. c) Si la matriz A es invertible, su matriz adjunta también es invertible. d) Si la suma de las columnas de una matriz es igual al vector, su determinante es cero. e) Si el determinante de una matriz es cero, una columna es combinación lineal de las otras. f) Toda matriz elemental es invertible. 3. Para cada una de las siguientes afirmaciones, dé una demostración o en su lugar un contraejemplo. a) Si A y B son ortogonales entonces, A+B es ortogonal. b) Si A y B son ortogonales entonces, AB es ortogonal. c) Si A y AB son ortogonales entonces B es ortogonal. d) Si A es ortogonal entonces A tambien es ortogonal. 3. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales F F 3, F 2 +2F F 2, F F F 3, F 2 F 2 y F 3 + F 2 F 3 y se obtuvo la matriz 6 7/ a) Calcule det A. b) Existe A? c) Calcule el detu d) Existe factorización LU de A. e) Calcule det Adj(A). 32. Demuestre que si A no es invertible, entonces Adj(A) tampoco es invertible. 33. Calcular la inversa, siempre que exista, de las matrices: Ayuda: Recuerden a su amigo Jordan A = 4 5 6, B = 2 2 2, C =,D =, E = Es posible expresar la matriz A = como un producto de matrices elementales?. 6

7 35. Encuentre la inversa del producto c 36. Calcular los determinantes de las siguientes matrices: A = [ Si A = 38. Si 39. Si B = ],B = a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 a 3 a 2 a b 3 b 2 b c 3 c 2 c ,C = b 2,D = a = 4, calcule los determinantes de las matrices a a 2 a 3, C = b b 2 b 3, y D = 2c 2c 2 2c 3 y deta = 5 a a 2 a 3 b b 2 b 3 c 2a c 2 2a 2 c 3 2a 3 a b c d e f g h i =, calcule 3,E = a a 2 a 3 b +4c b 2 +4c 2 b 3 +4c 3 c c 2 c , calcule, de ser posible, el determinante de las siguientes matrices d e f 3a 3b 3c g h i,, a a 3 5a a 2 b b 3 5b b 2 c c 3 5c c 2 4a 7d 4b 7e 4c 7f g h i d e g 4. Sean A = 4, B = 2, C = 3 donde A,B,C son matrices 3 3. Determine adja (A BC T) (AB + T C ). a a 2 a 3 b b 2 b 3 3c 2a 3c 2 2a 2 3c 3 2a Use propiedades de determinantes para probar que a+b a a a a a+b a a a a a+b a a a a a+b = b 3 (4a+b) +a b c d e a +b c d e a b +c d e a b c +d e a b c d +e = +a+b+c+d+e 42. Demuestre que si A y B son matrices n n, tales que A = P BP entonces a) det(a) = det(b) b) det(b λi) = det(a λi) 43. PREGUNTAS a) Es cierto en general que A+B = A + B? b) Que valores puede tener A si A es idempotente? c) Porque el determinante de un matriz triangular es igual al producto de sus elementos de la diagonal principal? 7

8 d) Si deta = implica que A = e) Sean Ay B matrices n n, si AB es invertible, será BA invertible? f) Que le pasa al determinante de un amtriz si se multiplica la matriz por una constante α. g) Sean A y P matrices n n, supóngase que P es invertible y A no lo es, es posible calcular P AP? h) Dado el sistema Ax = y A = podemos decir que el sistema tiene infinitas soluciones? i) Sea el sistema Ax = b, b y A = podemos decir que el sistema tiene infinitas soluciones? α α α+ j) para que valores de α la matriz A = 2 3 no tiene inversa. 2 α α+3 α+7 a a 2 a Si b b 2 b 3 = 3, calcule los determinantes de las siguientes matrices c c 2 c Evaluar a +2b 3c a 2 +2b 2 3c 2 a 3 +2b 3 3c 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 (a) λ 2 λ 2 2 λ 3, a 3a 2 a 3 b 3b 2 b 3 2c 6c 2 2c 3, (b) λi 3 A, donde A = 46. Muestre que si A y B son matrices tales que AB = entonces A = o B =. a 2 a 47. Muestre que b 2 b c 2 c = (b a)(c a)(b c) Sea A = a) Determine adja. a a 2 a 3 c c 2 c 3 b +4c b 2 +4c 2 b 3 +4c 3 2 b) Calcule A. c) Verifique que A(adjA) = (adja)a = A I Determine todos los valores λ para los cuales (a) λ 4 λ 4 =. (b) λi 3 A =, donde A = 5. Muestre que si A, B y C son matrices tales que AB = AC y A entonces B = C

9 5. Muestre que si A es no singular, entonces adja es no singular y 52. Si A es una matriz 3 3 tal que A = 2. Calcular: (adja) = A A = adj(a ). (a) 3A. (b) 3A. (c) (3A) Para qué valores de a ocurre que 3 a + a 3a 2 a 2 = 4? 54. Responder Verdadero o Falso, justificando cada respuesta. a) det(aa T ) = det(a 2 ). b) det( A) = det(a). c) Si A T = A, entonces det(a) =. d) Si det(a) =, entonces A = O. e) Si det(a) = 4, entonces el sistema Ax = tiene sólo la solución trivial. f) El signo del término a 5 a 23 a 3 a 42 a 54 en el desarrollo de un determinante 5 5 es +. g) Si det(a) =, entonces det(adja) =. h) Si A,B y P son matrices tales que P es no singular y B = PAP entonces det(a) coincide con det(b). i) Si A 4 = I n, entonces det(a) =. j) Si A 2 = A y A I n entonces det(a) =. 55. Al escalonar la matriz aumentada del sistema Ax = b aplicando las siguientes 4 operaciones elementales, en este orden: F 2 5F F 2, F 3 3F F 3, F 3 F 2 y F 4 +2F 3 F 4, se obtuvo (U c) = 3 7 λ λ 2 λ λ a) Para qué valores de λ el sistema original es inconsistente: λ = 9

10 b) Para qué valores de λ el sistema original tiene infinitas soluciones: λ = c) Para qué valores de λ el sistema original tiene solución única: λ = d) Para λ =, detu = e) Para λ = 2, deta = f) Para λ =, el rango de [A b] es g) Para λ =, la dimensión del espacio nulo de A es: { h) Para λ =, una base B del espacio columna de [A b] es: B = i) Para λ =, un vector v del espacio nulo de A diferente del vector cero es: v = j) Para λ =, las columnas de A son linealmente independientes? SI NO k) Para λ = 2, las columnas de A generan a R 4? SI NO 56. Si A, B y C son matrices invertibles de igual tamaño, entonces ( BA T C +BC) T ( 6 CT AB T ) = 57. Sean A = [a a 2 a 3 a 4 ] y b tales que una forma escalonada de la matriz aumentada del sistema Ax = b es 4 [U c] = β β 2 α 2 α 3α Si β = y α =, de un conjunto generador de Gen{a, a 2, a 3, a 4 con menos elementos. Si β = 2 y α = 3, dar el espacio columna de la matriz A. Si β = 3 y α = 2, dar el espacio nulo de la matriz A. 58. Sea A una matriz tal que deta =. Al escalonar la matriz A, se aplicaron en su respectivo orden las operaciones elementales 2 F F, F 3 2F 2 F 3, F 4 +F 2 F 4, F 3 F 4 y F 4 F 3 F 4. El determinante de la matriz que resulta de aplicar dichas operaciones elementales a la matriz A es: a. 2 b. 2 c. d. e. 5 f Sean A y B matrices de orden n que conmutan y tal que (B A) existe. Si la matriz X satisface la ecuación (A+X)B (B +X)A = B 2 A 2, entonces X es igual a: a. B A b. A B c. B +A d. B 2 A 2 e. N.A x x 2 6. Sea A = y y 2. Para qué valor de x,y y z, A existe? z z 2 a. x = y = z b. x y z c. x = y z 6. Considere la matriz Q = al vector: a. b c. d. x y z x e. N.A y el vector c = d. 3. La combinación lineal Q c es igual e.

11 62. Muestre que si A es una matriz cuadrada tal que en cada fila y en cada columna uno y sólo un elemento es distinto de cero, entonces A es una matriz invertible. 63. Sean A, B y X matrices simétricas de orden 3 3 tales que det(2a + I) = 9 (ABXA, detb = 3. Si + ) T ( ) 3A 2 BT A T = 3B X, entonces detx es: a. b. c. 6 d. 2/9 e. N.A 64. Sea A = α 2 5 α 3. Para qué valor de α, A existe? α a. α = 3 b. α = ±2 c. α = 5 d. α = e. N.A El elemento (2,) de la matriz inversa de A = /3 5 3 es: 2,7 2 a. 6 b. /6 c. /6 d. 6 e. N.A 66. Sean u,v y w vectores de un espacio vectorial V. Pruebe que { u,v,w es un conjunto linealmente independiente si y sólo si { u v,v w,u+w es es un conjunto linealmente independiente. 67. De las siguientes afirmaciones, señale DOS VERDADERAS. a) Si { v,v 2,v 3,v 4 es un conjunto de vectores l.d, entonces { v,v 2,v 3 es un conjunto de vectores l.d. b) Si { v,v 2,v 3 es un conjunto de vectores l.i, entonces { v,v 2,v 3,v 4 es un conjunto de vectores l.i. c) Si Gen { v 2,v 3,v 4 = Gen { v,v 2,v 3,v 4, entonces { v,v 2,v 3,v 4 es un conjunto de vectores l.d. d) Si Gen { v 2,v 3,v 4 = Gen { v,v 2,v 3,v 4, entonces { v2,v 3,v 4 es un conjunto de vectores l.i. e) Si { { v,v 2,v 3 es un conjunto de vectores l.i, entonces v v 2,v 2 v 3,v +v 3 es un conjunto de vectores l.i Considere la matriz U = Resuelva el sistema U x = b, donde b = (b, b 2, b 3, b 4 ) T. 69. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales 2F F, F 3 2F 2 F 3, F 4 +F 2 F 4, 2 F 3 F 4 y F 4 F 3 F 4, y se obtuvo la matriz El determinante de A es: a. 2 b. 2 c. d. e. 5 f. 5 El determinante de la matriz adjunta de A, det(adja), es 2 7. El elemento (3,) de la matriz inversa de A = 2 es: a. b. c. d. 2 e. N.A 7. De las siguientes afirmaciones, señale DOS VERDADERAS. a) Las coordenadas de un vector de un plano en R 5, en una base del plano, es un vector de R 2. b) Las coordenadas de un vector de un plano en R 5, en una base de R 5, es un vector de R 2. c) Un conjunto de 5 vectores de un hiperplano en R 5 que pasa por el origen puede ser l.i. d) Si ν(a) = y A es una matriz 7 4, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene solución única para todo vector b.

12 e) Si ρ(a) = 5 y A es una matriz 5 9, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene infinitas soluciones para todo vector b Considere la matriz Q = π y el vector c =. La combinacion lineal Q c es igual al 2 2 vector: a. b. c. d. e. N.A 73. Al escalonar una matriz A de orden n, se aplicaron en su respectivo orden las operaciones elementales 2F F, F 3 2F 2 F 3, F 4 +F 2 F 4, F 3 F 4 y F 4 F 3 F 4, y se obtuvo una matriz U de la forma U = 2I n. El determinante de A es: a. 2 n b. 2 n c. 2 n d. 2 n e. ( 2) n f. N.A El determinante de la matriz adjunta de A es: a. (2 n ) n b. (2 n ) n c. ( 2 n ) n d. ( 2 n ) n e. N.A 74. Sea H = { a +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 P 3 : a 2a = un subespacio vectorial de P 3. La dimensión de H es: a. b. 2 c. 3 d. 4 e. N.A Considere la matriz A = Un vector del espacio nulo de la matriz A es: a. b. c. d. e. N.A 76. Regla de Cramer Dado un sistema de ecuaciones lineales Ax = b de tamaño n n, donde A es invertible. Demuestre que las componentes de la solución x T = (x,x 2,...,x n ) satisfacen x i = deta i deta donde A i es la matriz que se obtiene de A reemplazando la columna i por el vector b. 77. Resolver el sistema dado por la regla de Cramer, siempre que sea posible. x+y +z 2w = 4 2y +z +3w = 4 (a) = 2x+y z +2w = 5 x y +w = 4 2x+3y +7z = 2 (b) = 2x 4z = x+2y +4z = w w 2 w 3 {{{{{{ 78. Sea B = y B = {(,, ) T,(,3,) T,(2,,) T bases de R 3. Encuentre la matriz cambio de base de B y B y use esto para calcular [u] B donde u = 2w +w 2 2w Sea H = { p(x) = a + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 : p() = un subconjunto de P 3. Compruebe que H es un subespacio vectorial de P 3 con las operaciones de suma y producto por escalar definidas en P 3. Además, determine una base B y la dimensión para H. 8. Si V = P 2 es el espacio de todos los polinomios de grado menor o igual a 2, 2

13 { a) Es H = p(x) = a+bx+cx 2 P 2 : a = 2 un subespacio vectorial de P 2? b) Es verdad que si B es un conjunto de 3 polinomios, entonces B genera a P 2? c) Es verdad que cualquier subconjunto de V con 2 o menos polinomios es linealmente independiente? d) Es verdad que si B genera a P 2, entonces el número mínimo de elementos de B es 3? 8. De los siguientes conjuntos H, señale UNO que sea espacio vectorial (real), con las operaciones de suma y producto por escalar definidas en R n, entre polinomios y entre matrices. {( ) a a (a) H = {p(x) = a +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 : p() = (b) H = : a R 2a 5 (c) H = Hiperplano de R 5 cuya ecuación es x+y +z +w 3 = (d) H = {ax 2 +bx+c P 2 : c+b = (e) N.A 82. Al escalonar una matriz A, se aplicaron en su respectivo orden las operaciones elementales F 2 + F F 2, F 3 +F 2 F 3 y se obtuvo la matriz 2 5 U = 7. 2 Encuentre la factorización LU de la matriz A. Resuelva el sistema Ax = b, donde b = (6 9) T. a b 83. Sea A = a 2 b 2. Utilice las propiedades de los determinantes para hallar el determinante de la a 3 b 3 matriz A. 84. Considere la matriz A del punto anterior. Si A es invertible, encontrar el elemento (2,) de la matriz A. 85. Sea A una matriz tal que det U = 5. Al escalonar la matriz A, se aplicaron en su respectivo orden las operaciones elementales 3 F F, F 3 4F 2 F 3, F 4 + F 2 F 4, F 3 F 4 y F 4 3F 3 F 4. El determinante de la matriz A es: a. 5 b. 5 c. 5 3 d. 5 3 e. 5 f Sea H = { p(x) = a +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 P 3 : a = a = a 3. Muestre que H es un subespacio de P3 y calcule su dimensión. 87. Considere el hiperplano H = { (x y z w) T : x z +w = R 4. Encuentre una base ortonormal del hiperplano H. Encuentre la proyección ortogonal del vector v = ( 2) T sobre H. 88. Determine si los siguientes conjuntos, con las operaciones indicadas, son espacios vectoriales (reales). Para aquellos que no sean espacios vectoriales, enumerar los axiomas que no se cumplen. a) El conjunto de los números complejos con la suma (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i y el producto por escalar (a+bi) = (λa)+(λb)i. 3

14 b) El conjunto de los numeros reales positivos con las operaciones x y = xy y λ x = x λ c) El conjunto de vectores de R 2 con la suma y producto escalar definidos como sigue ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a2 a +a = 2 a λa λ = b b 2 b +b 2 d) En R 2 con la suma y producto por escalar definidos respectivamente por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x2 x +x = 2 + x λ+λx λ = y +y 2 + y λ+λy y y y 2 e) En R 2 con la suma y producto por escalar definidos respectivamente por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x2 x +x = 2 x λx λ = y +y 2 + y λ+λy y Determine si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales (reales). Identifique el espacio vectorial al que pertenecen. a) W = {A M n n : det(a) = b b b) El conjunto de matrices simétricas 8 8. c) El conjunto de puntos del segundo cuadrante del plano cartesiano. d) W = { A M 2 2 : A 2 = A e) W = {A M n n : tr(a) = f) El conjunto de polinomios de grado 3. g) W = { (x,y,z) T : 2x y +5z =,x,y,z R h) El conjunto de puntos de la recta que pasa por P = (, 2,3) T y Q = (5,, ) T. i) El conjunto de puntos del plano que pasa por P = (, 2,3, ) T, Q = (5,,,2) T y R = (3,4, 7,) T j) W = {x R n : Ax = =,A n m una matriz k) El conjunto de números racionales. 4

15 l) W = {p(x) P 4 : p() = m) W = { A M n n : A T = A n) El conjunto de matrices triangulares superiores 3 3 ñ) El conjunto de funciones de R en R, derivables. o) {3n : n N {x : x R,x > p) El conjunto de polinomios de grado menor o igual a 4, tales que evaluados en cero dan. 9. Demuestre que W = { a+bx+cx 2 : a b+c = es un subespacio real de P 2 (x) ( ) Determine si la matriz A = es un combinación lineal de las matrices 9 3 ( ) 4 ( ) Demuestre que el polinomio p(x) = 2x 2 +2x+6 pertenece al subespacio W = Gen{x 2 +,2x,3. Se puede concluir que el conjunto {x 2 +,2x,3, 2x 2 +2x+6 es l.d 93. Es W = { ax 3 +bx 2 +cx+d : a = b, c = b+2d un subespacio vectorial de P 3 (x)?. En caso afirmativo halle una base y la dimensión de W. 94. Para qué valores de x y y el vector (2,x,3, y) T Gen{(2,3,, 5),(,2,,3) 95. Para qué valores de a los siguientes vectores forman una base de R 3, { (a 2,,) T,(,a,2) T,(,,) T 96. Sean W = {q(x) P 4 : p() = y U = {p(x) P 4 : p() = dos subespacios de P 4. Halle U W, una base de U W y la dimensión U W x 97. Sean W = Gen 2, y U = y R 3 : x 2y +z = dos subespacios de R3. Halle U W, 2 z una base de U W y la dimensión U W Dada la matriz A = 4 3, halle una base y la dimensión del espacio fila de A, denotado por F A, 6 5 del espacio columna de A, denotado por C A y del espacio nulo de A, denotado por N A. 99. PREGUNTAS: a) Sea V un espacio vectorial y W V. Si V / W. se puede conluir que W no es un subespacio vectorial de V.? Aplique su conlusión a W = {f : [,] R : f() = f() = 4? b) El polinomio P(x) = 2x 2 3x+ pertenece al subespacio W = { c+bx+ax 2 : a+2b =?. 5

16 c) Se puede conluir de manera inmediata que los siguientes vectores son l.d.? 3 8 2, 4,, d) Cuales de los siguientes conjuntos 2,,, 2 son una base del subespacio 2 x W = y : 3x y 2z =?. z e) Es el conjunto { (,,) T,(,,) T,(,,) T una base ortogonal de R 3? f) Es el conjunto { x 2 +2x,x+,5x 2 +x linealmente independiente? g) Es 3 la dimensión de W = { 3x 2 x, 5x,x 6x 2? h) Si {v,v 2 es l.i. y si u es un elemento tal que u / Gen{v,v 2, entonces se puede concluir que {v,v 2,u es l.i?. Dé una interpretación geométrica en R 3. 2 i) Sean B =,, y B 2 =, 2, bases ordenadas de R3. Si ( 3,,) T son los coordenadas de un vector v R 3 en la base B, Se puede afirmar que (, 2, 5 2 )T son los coordenadas de v en la base B 2? A qué es igual v? j) Si W = { A M 2 2 (R) : A = A T es un subespacio vectorial de M 2 2 (R), es dimw = 2?. Encuentre el vector de coordenadas de u con respecto a la base B del espacio V, es decir, [u] B 3 5 a) Para V = R 3 B = 2, 2,, u = 3 2 b) Para V = P 2 B = { t 2 +t,t,t+, u = 3t 2 t+2 {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 c) Para V = M 2 2, B =,,, u = 4 2. Determine una base y la dimensión de los subespacios W dados: a) W = {(x,y,z) : 3x 5y +2z = b) W = { ax 2 +bx+c : c = 2a 3b { ( ) c) W = X M 2 2 : X = X ( ) 6

17 d) W = { (x 2 +x+)p(x) : p(x) P 2 2. Sea V = R 3. Cuales de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios de R 3? { a) W = (x,y,z) T : x 2 +y 2 +z 2 ) 2 = b) W = { (x,y,z) T : y c) W = { (x,y,z) T : 3x 2y = d) W = { (x,y,z) T : x+y z = 2 3. Sea V el espacio de todas las funciones de R en R y sea W V. Determine si W es un subespacio de V. a) W = {f : f(7) = f() b) W = {f : f(x) = f( x) c) W = {f : f(x) d) W = {polinomios de grado 3 con coeficientes enteros e) W = {f : f() = +f(2) 4. Determinar si los siguientes conjuntos son subespacios del espacio vectorial de las matrices 2 2, M 2 2 a) W = { A M 2 2 : A = A T {( ) a b b) W = : a = d c d c) W = {A M 2 2 : A = 5. Paraquevaloresdeλelvectorv T = (, 2,λ) T esunacombinacióndelosvectores(3,, 2) T y(2,, 5) T? 6. Halle las condiciones sobre a,b y c tales que (a,b,c) pertenezca al subespacio generado por u = (2,,),u 2 = (,,2) y u 3 = (,3, 4). u T,u T 2,u T 3 genera a R 3? Porque? 7. Sea W = { a +a x+a 2 x 2 : 4a 2 +a +a = a) Pruebe que W es un subespacio de P 2 (x). b) Halle un base y la dimensión de W. c) Verifique que f(x) = x 2 5x+ esta en W y halle las coordenadas de f respecto a la base hallada en el item (b) 8. SeaB = {v,v 2,v 3 unabasedelespaciovectorialv.siu = v +v 2 +3v 3,u 2 = 2v 2 +v 3 yu = v +v 2 +2v 3. Podemos concluir que {u,u 2,u 3 es una base de V.? 2 9. Sean W = Gen, 2 y S = Gen, dos subespacios de R3 3 2 a) Halle una base y la dimensión de S y de W, b) Halle S W y luego su base y su dimensión. Demuestre que los polinomios ( t) 3,( t) 2,( t) y generan a P 3 (t).. Cuáles de las siguientes matrices tienen el mismo espacio fila ( ) ( ) { 2. Sea V = f : f tiene derivada de todo orden. Muestre que {f,g,h V es l.i, donde a) f(t) = e 2t, g(t) = t 2, h(t) = t b) f(t) = e 2t, g(t) = sint, h(t) = t {( ) a b 3. Si W = : b = c, a = 3d, halle una base y dimw c d 4. Mostrarque{e x,e 2x,e 3x,e 4x eslinealmenteindependiente Sepuedeafirmarlomismodelconjunto{,x,xe x? 5. Demuestre que la intersección de subespacios es un subespacio, pero la unión de subespacios no. 6. W = {A M 3 2 : a = a 22, a 2 = 2a 3, a 2 = 3a 32 un subespacio de M 3 2. Encuentre una base y la dimensión de W. Extienda esta base a una base de M Sean B = {+x, x,x 2 y B bases del espacio vectorial P 2. Si la matriz de transición P B B de B a B es 7

18 P B B = , entonces B = {,, 8. Sea W = {(x,y,z,w) T : x 2y +z w = un subespacio de R 4. Encuentre una base ortonormal de W. Exprese v = (,,2,) T W como combinación lineal d ela base ortonormal hallada. ( ) ( ) ( ) Sea V el espacio vectorial de las matrices simétricas 2 2. Verifique,, es una ( ) base de V. Halle las coordenadas de la matriz B = relativas a esta base Encuentre una base ortonormal en R 4 que incluya los vectores v = ( 2, 2, 2, 2 )T y v = ( 2,,, 2 ) T { 2. Demuestre que los polinomios 2x 3 +x 2 x+, x 3 +2x 2 +5x, 4x 2 +5x 8, x 3 +2x 2 x+ son l.i. 22. Geométricamente, cuales son los subespacios de R 2? de R 3? de R 4? (En R n, para n 5, existen otros subespacios distintos a los de R 4?) 23. En cada caso, determine si el vector v es combinación lineal del conjunto de vectores S y en caso de serlo, encuentre los coeficientes de la combinación lineal, diga además si la combinación es única. Adicionalmente, halle el conjunto generado por S. Existe un conjunto de vectores con menor número de ellos que genere el mismo conjunto? a) S = Gen 4, 3, 2 v = { b) S = x+x 2,2+x 2, +2x, v = 3 2x+2x 2. c) S = { x+x 2 x 3,2+x 2,3+x+x 2 +x 3, v = 3 2x+2x 2?x 3. {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) S =,,, v = Verifique que para todo trio de vectores u, v y w de un espacio vectorial V, a) Gen{u,v,w = Gen{u,u+v,u+w. b) Si {u,v,w es l.i., entonces {u v,v w,u+w también es l.i. 25. Encuentre un conjunto generador, un conjunto l.d. y un conjunto l.i. de cada uno de los siguientes espacios vectoriales. a) C = { a+bi : a,b R,i =. b) El hiperplano H : 3x 2y +w = de R 4. { 2 7 c) N A = x R 3 : Ax =, A = d) S = Gen { 3x 2x 2, 2+x, 4+x 2x 2 e) S = { A M 3 3 : A = A T f) S = { A = (a ij ) 3 3 : a ij =,i j 26. Encuentre el subespacio más pequeño que contiene cada uno de los conjuntos de vectores dados. 2 a),,, 2, 2 3 b) {3x 2x 2,2+x,2x+2x 2,x 3, 2x 2x 2 +2x 3 {( ) ( ) ( ) ( ) c),,, Demuestre que si B = {v,v 2,...,v k es una base del espacio vectorial V y A es la matriz [v v 2...v k ], entonces las columnas de AA T forman un conjunto l.i. y por tanto la matriz AA T es invertible. 28. Determine PORQUÉ las siguientes afirmaciones son FALSAS a) Si el determinante de una matriz 5 5 es 3, la matriz tiene máximo 3 columnas l.i.. 8

19 b) Si {u,u 2,u 3,u 4 es un conjunto de vectores l.d., {u,u 2,u 3 también es un conjunto de vectores l.d. c) Si {u,u 2,u 3,u 4 es un conjunto l.i., {u,u 2,u 3,u 4,u 5 también es un conjunto l.i. d) La unión de dos subespacios vectoriales es un subespacio vectorial. e) Si Gen{u,u 2,u 3,u 4 = Gen{u,u 2,u 4, entonces {u,u 3,u 4 es l.i. f) El conjunto de puntos dentro de un circulo alrededor del origen de radio es un subespacio de R 2. g) El conjunto de matrices triangulares inferiores 5 5 con unos en la diagonal es un subespacio de M 5 5. h) El conjunto de matrices elementales es un subespacio de M. i) El conjunto de polinomios de grado menor o igual a 5, con coeficientes enteros, es un subespacio de P 5. j) El conjunto de polinomios de grado igual a 3, es un subespacio de P Determine PORQUÉ las siguientes afirmaciones son VERDADERAS a) Si {u,u 2,u 3,u 4 es un conjunto de vectores l.i., {u,u 2,u 3 también es un conjunto de vectores l.i. b) Si {u,u 2,u 3,u 4 es un conjunto l.d., {u,u 2,u 3,u 4,u 5 también es un conjunto l.d. c) Un subconjunto finito diferente de { no puede ser un subespacio vectorial. d) La intersección de dos subespacios vectoriales es un subespacio vectorial. e) Si Gen{u,u 2,u 3,u 4 = Gen{u,u 3,u 4, entonces {u,u 2,u 3,u 4 es l.d. f) El conjunto de matrices antisimétricas 3 3 (A = A T ) es un subespacio de M 3 3 g) El conjunto de matrices escalares 4 4 es un subespacio de M En cada caso, determine si el conjunto B forma una base del espacio vectorial V. 9

20 2 2 a) 3, 3 v = R b), 3, 3 v = R3 5 c) 2 2 5, 3, 3, 5 5 d) B = { +x, x,x 2, V = P 2. e) B = { +x,x 2, x 3, V = P 3. v = R3 f) B = {,+x 2, V = { a +a x+a 2 x 2 : a =. g) B = { +x,x 2, V = { a +a x+a 2 x 2 : a =. 3. Encuentre una base del espacio vectorial dado y determine su dimensión. a) H = {(x,y,z,w) T : x+y +z +w =. {( ) a b b) W = : a,b R b a { c) K = a +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 P 3 : a?2a =. d) El conjunto de matrices simétricas 3 3. e) Gen { +x,x 2, x 3. f) Gen { +x, x,+x 2, x A partir del conjunto S, construya una base del espacio vectorial H que contenga o esté contenida en S. a) S = { (,2,3,4) T,(,3,5,7) T,(,2,4,6) T H = R 4. b) S = { x 2,+x, H = P 2. c) S = { x 2,+x, x 3,+x 3,x 2 +x 3, H = P 3. d) S = { (2,3, 2, 3) T,(,2,3, 6) T, H = { (x,y,z,w) T : x+y +z +w =. 33. Sea B = {(,2,) T,(,,5) T,(,,) T una base de R 3. Observe que, despues de resolver tres sistemas de ecuaciones lineales, encontramos que = = = a) Determine la matriz de transición de la base B a la base usual de R 3. b) Determine la matriz de transición de la base usual de R 3 a la base B. c) Calcule el vector de coordenadas en la base B del vector v = (,2,3) T. Es necesaria una matriz de transición para hacer el cálculo?. Justifique la respuesta. d) Calcule el vector u sabiendo que [u] B = (,2,3) T. 34. Justifique que B y B son bases de V, calcule el vector u cuyas coordenadas en una de las dos bases se dan y calcule las coordenadas del vector u en la otra base. 2 2 a) V = R 3 B = 2,, B =,, [u] B = 5 2 {( ) ( ) ( ) ( ) B =,,, b) V = M 2 2 {( ) ( ) ( ) ( ) [u] B = 2 B =,,, c) V = P 2 B = { 2 x, x 2,+x B = { +x,2 x, x 2 3 [u] B = 2 d) V = P 3 B = {,x,x 2,x 3 B = { +x,x+x 2,x 2 +x 3, x 3 [u] B = x e) V = y : x+y +z = B =, B =, 2, [u] B = z ( )

21 35. Sean B y B dos bases de R 3, y W un conjunto de vectores de R 3 y A la matriz de transición de la base B a la base B, donde W = 2,, 2 2 A = a) Calcule la base B sabiendo que B = W b) Calcule la base B, sabiendo que B = W. 36. Calcule el rango y la nulidad para cada una de las matrices dadas. ( ) Verifique si los siguientes conjuntos son ortogonales y si son ortonormales a) S =,, c) S =,, {( ) ) 2 b) S = 2,( 2 2 d) S = 3 2 2, 38. Calcule la proyección de u en el subespacio H y la componente de u c ortogonal a H. 2 x a) u = H = Gen, c) u = 2 2 H = Gen y z : 2x y +w = w x b) u = H = Gen y : x+y +z = z 39. Demuestre que si {v,v 2,...,v k es una base ortogonal de S, entonces ( u v ) ( u v2 ) ( u vk ) Proy S u = v + v v v v 2 v 2 v k v k y si {v,v 2,...,v k es una base ortonormal de S, entonces 3 3 Proy S u = (u v )v +(u v 2 )v 2 + +(u v k )v k 4. Dadas B = {, x, x 2 y B = {2 3x, x,x 2 + dos bases de P 2, si [u] B = ( 3,, ) T, seleccione una afirmación VERDADERA. a) u = 9 5x+x 2. b) [u] B = 5+9x+x 2. c) [u] B = (, 9, 5) T. d) [u] B = (, 9, 5) T. e) [u] B = ( 5, 9, ) T. 4. Señale entre las siguientes afirmaciones, una FALSA. a) Las coordenadas de un vector de un plano en R 5, respecto a una base del plano, es un vector de R 2. b) Si [u] B R 5, entonces dim(genb) = 5. c) La dimensión del espacio de las matrices diagonales 2x2 es 4. d) Si S = {u,u 2,u 3,u 4 es un conjunto ortonormal del espacio vectorial V, entonces dimv 4 e) La dimensión de un hiperplano en R 5 es La dimensión de H = gen {, x, x 2, x 3, +2x+3x 2 +4x 3 es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A. 43. De las siguientes afirmaciones, señale UNA VERDADERA. 2 v k

22 a) Si {v,v 2,v 3,v 4 es un conjunto de vectores l.d., entonces {v,v 2,v 3 también es un conjunto de vectores l.d. b) Si Gen{v 2,v 3,v 4 = Gen{v,v 2,v 3,v 4, entonces {v 2,v 3,v 4 es un conjunto de vectores l.d. c) Si Gen{v 2,v 3,v 4 = Gen{v,v 2,v 3,v 4, entonces {v,v 2,v 3,v 4 es un conjunto de vectores l.i. d) Si {v,v 2,v 3 es un conjunto de vectores l.i., entonces {v,v 2,v 3,v 4 también es un conjunto de vectores l.i. e) N.A. 44. Sea H = { p(x) = a + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 : p() = un subconjunto de P 3. Compruebe que H es un subespacio vectorial de P 3 con las operaciones de suma y producto por escalar definidas en P 3. Además, determine una base B y la dimensión para H. 45. Determine PORQUE las siguientes afirmaciones son FALSAS a) Si el rango de una matriz A M 7 9 es 7, su nulidad es cero b) Si el rango de una matriz A M 7 9 es 9, el sistema Ax = b tiene solución única. c) La dimensión del espacio de los polinomios de grado menor o igual a 4, que evaluados en es, es 3. d) La dimensión de Gen{u,u 2,u 3,u 4 es 4. e) Las coordenadas de una matriz 3 5 en una base de M 3 5 es un vector de R 8. f) Las coordenadas de un vector de un hiperplano en R 5 en una base de R 5 es un vector de R 4. g) Un conjunto de 5 matrices 3 2 puede generar a M 3 2 h) Cualquier conjunto de 5 polinomios de grado menor o igual 3 genera a P 3. i) Un conjunto de 5 vectores de un hiperplano en R 5 que pasa por el origen puede ser l.i. j) Cualquier conjunto de 5 matrices diagonales 6 6 es l.i.. k) Si S = {p,q,r,t P 3, S puede ser un conjunto ortogonal. 22

23 l) Para calcular la proyección ortogonal de un vector en un subespacio, se requiere una base ortogonal del subespacio. m) La proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio es ortogonal al subespacio. n) Si η(a) = y A es una matriz 7 4, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene solución única para todo vector b. ñ) Si el rango de una matriz 5 8 es 5, la nulidad de su transpuesta es 3. o) Una base del espacio columna de una matriz es la conformada por las columnas pivotales de una matriz escalonada equivalente. 46. Determine PORQUÉ las siguientes afirmaciones son VERDADERAS a) Si el rango de una matriz A M 7 9 es 7, el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones. b) Si el rango de una matriz A M 8 es 7, el sistema Ax = b puede no tener solución. c) Si la nulidad de una matriz A M 7 9 es 7 su rango es 2. d) Si la nulidad de una matriz A M 9 9 es A es una matriz invertible. e) Si la nulidad de una matriz A M 27 es 2 A el sistema Ax = no tiene solución única. f) Si la nulidad de una matriz A M 8 7 es 3, el sistema Ax = b es incosistente o tiene infinitas soluciones. g) Si [u] B R 5, entonces dim(genb) = 5. h) Dadas P y Q, las matrices de transición de B a B y de B a B, respectivamente, la ecuación P[u] B = Q[u] B permite calcular las coordenadas del vector u en una base, conociendo las coordenadas del vector u en la otra base. i) La dimensión del espacio de las matrices diagonales 4 4 es 4. 23

24 j) La dimensión de un hiperplano en R 5 es 4. k) La dimensión de Gen{u,u 2,u 3,u 4, cuando {u,u 2,u 3,u 4 es l.i., es 4. l) Las coordenadas de un vector de un plano en R 5 en una base del plano es un vector de R 2. m) Si S = {A,B,C,D V es un conjunto ortonormal, entonces dimv 4. n) Es posible encontrar un conjunto ortogonal de 3 vectores de un hiperplano en R 6. ñ) La suma de la proyección ortogonal de un vector en un subespacio con la componente del vector ortogonal al subespacio es el vector. o) Una matriz A de tamaño 4 7 no puede tener una nulidad igual a cero. p) El rango de una matriz 5 8 no puede ser 6. q) Una base del espacio fila de una matriz es la conformada por las filas que tienen pivotes en una matriz escalonada equivalente. r) La dimensión del espacio fila de una matriz es igual al rango de la matriz. s) Si ρ(a) = 5 y A es una matriz 5 9, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene infinitas soluciones para todo vector b. 47. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales F 2 F F 2, F 3 +2F F 3 y F 3 +3F 2 2 F 3 y se obtuvo la matriz U = 2, determine: 3 Si A es invertible. Resolver el sistema Ax = Halle una matriz L tal que A = LU 48. Dados los vectores u = (, 2,,3) T, v = ( 2,4,, 6) T, w = ( 3,,5,) T y el subespacio H = Gen{u,v, entre las siguientes afirmaciones, seleccione una que sea VERDADERA. La proyección de u sobre H es v. La proyección de u sobre H es igual a la proyección de v sobre H. 24

25 La proyección de w sobre H es. La proyección de u sobre H es. 49. Sean B = {x, +x 2, 2 3x y B = {2 3x, x,x 2 + bases de P 2. Si [u] B = ( 2, 5, ) T, seleccione una afirmación VERDADERA. a) u = 2+5x. b) [u] B = 7 2x+5x 2. c) [u] B = (, 2, 5) T. d) [u] B = (7, 2, 5) T. e) N.A 5. Sean B = {+x, x,x 2 y B bases del espacio vectorial P 2. Si la matriz de transición P B B de B a B es 2 P B B = 2 3, entonces B = {,,. 3 { ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) 5. SeanB =,,, yb =,,, bases del espacio vectorial M 2x2 (R). La matriz de transición P BB de B a B es: P BB = 52. A partir del conjunto S = { x 2,+x, construya una base B del espacio vectorial P 2 que contenga o este contenida en S. 53. De los siguientes conjuntos H, señale UNO que sea espacio vectorial (real), con las operaciones de suma y producto por escalar definidas en R n, entre polinomios y entre matrices. {( ) a a (a) H = {p(x) = a +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 : p() = (b) H = : a R 2a 5 (c) H = Hiperplano de R 5 cuya ecuación es x+y +z +w 3 = (d) H = {ax 2 +bx+c P 2 : c+b = (e) N.A 54. Sea B = {v, v 2, v 3 una base del espacio vectorial V y B = {u, u 2, u 3 un subconjunto ortonormal de V. Entre las siguientes afirmaciones, señale una FALSA. (a) [u ] B = (,, ) T. (b) Si A = [u u 2 u 3 ], entonces A T A = I. (c) Si W es un subespacio de V, entonces dimw 3. (d) {u 2, u 3 puede ser un conjunto l.d. 55. Señale entre las siguientes afirmaciones, una FALSA. a) Las coordenadas de un vector de un plano en R 5, respecto a una base del plano, es un vector de R 2. b) Si [u] B R 5, entonces dim(genb) = 5. c) Si S = {u,u 2,u 3,u 4 es un conjunto ortonormal del espacio vectorial V, entonces dimv 4. d) El rango de una matriz 5 8 puede ser 6. e) Para calcular la proyección ortogonal de un vector en un subespacio, NO se requiere de una base ortogonal del subespacio. 56. Sean B = {, + x y B bases del espacio vectorial P. Si la matriz de transición P BB ( ) de B a B es /3 P BB =, entonces B = {,. 57. Sean B = {x, +x 2, 2 3x y B = {2 3x, x,x 2 + bases de P 2. Sea p(x) = 3 2x+2x 2. Dar las coordenadas de p(x) en la base B y B. Si [p(x)] B = ( 2, 5, ) T, encontrar el polinomio p(x). Hallar la matriz de transición de la base B a la base B. 58. Para H = x y R : x 2y +2z = z Demuestre que es un subespacio vectorial de R 3. 25

26 Halle una base B y la dimensión de H. Determine si v = ( 6 2 5) T H, en caso afirmativo escriba v como combinación lineal de los elementos de la base B. 59. Si det(a) = 3 5 y AB = O, entonces B = αx+y +z = 6. Para que valores de α el sistema tiene solución única x+αy +z = x+y +αz = 6. A 5 5 es antisimétrica entonces det(a) = a b c 4u 2a p 62. Si p q r u v w = 3 y si W = 4v 2b q entonces : det(3w ) = 4w 2c r 63. Si A y B son matrices 3 3 tal que 2a = 6 y A T (2B) = 8 entonces A 3 B T = 64. Sea A M n n (R) y suponga que det(a). Calcule Adj(Adj(A) en términos de A Encuentre una matriz A tal que adj(a) = 4 6 es A única? Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas (Justifique). {( ) ( ) a) Sean B =, y B 2 = {v,v 2 bases de R 2. Si la matriz de transición de S a T es v = ( ) y v 2 =. b) Si S = {x+,x 2 y T = {x 5,x 2 son bases de P y v P es tal que [v] B = ( ) 2 [v] B = c) Si A es 4 4 y ρ(a) = 4, entonces Ax = b tiene exactamente 4 soluciones. ( ) 2 ( ) entonces 3 ESTA ES UNA I VERSIÓN DE EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL QUE ESTOY DESARROLLANDO, ESPERO LES SIRVAN PARA PROFUNDIZAR LOS CONCEPTOS VISTO EN CLASE PD: Espero tener ejercicios más interesantes en una segunda versión, agradezco cualquier errata que encuentren. 26