TALLER I Profesor: H. Fabian Ramirez SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y VECTORES EN R n

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas TALLER I Profesor: H. Fabian Ramirez SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y VECTORES EN R n OBSERVACIÓN: N.A significa Ninguna de las Anteriores. F.I significa Falta Información.. Encuentre todos los valores de a para los cuales cada una de las siguientes ecuaciones (a 5)x = 5 (ii) x = a (iii) (a 9)x = (iv) (a )x = a+ tiene exactamente una solución. tiene infinitas soluciones. no tiene solución (es inconsistente).. Los siguientes sistemas de ecuaciones son no lineales. Encuentre sustituciones de las variables que conviertan cada uno de ellos en un sistema de ecuaciones lineales y utilice este último para resolver el sistema inicialmente dado. 3 x + x = 4 x + 3 y = a +(3 b ) = 3( a ) 4(3 b ) = x y = 3 x +y = 6 3. Si al escalonar la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales, se obtiene 3 4 π a 5 b b b Es el sistema consistente cuando a = b =? En caso de serlo, es la solución única? Es el sistema consistente cuando a = y b =? En caso de serlo, es la solución única? Es el sistema consistente cuando a = y b =? En caso de serlo, es la solución única? Si b = y a, qué puede decirse del conjunto solución? Si b = y a, qué puede decirse del conjunto solución? Si a, dé un valor de b (diferente de ), en caso de que exista, para que el sistema sea consistente. Si a, para que valores de b el sistema tiene infinitas soluciones? Si a, para que valores de b el sistema tiene solución única? Si a, para que valores de b el sistema es inconsistente? 4. Justifique PORQUE cada una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA a) Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única, su sistema de ecuaciones lineales homogéneo asociado también tiene solución única.

2 b) Un sistema de ecuaciones lineales con 4 variables y ecuaciones no tiene solución única. c) Un sistema de ecuaciones lineales con 7 variables y 3 ecuaciones puede no tener solución. d) Un sistema de ecuaciones lineales con variables y 3 ecuaciones puede tener solución única. e) Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con variables y 7 ecuaciones tiene infinitas soluciones. f) Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con 4 variables y ecuaciones no tiene solución única. g) Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con variables y 3 ecuaciones puede tener solución única. h) Un sistema de ecuaciones lineales consistente con variables y 7 ecuaciones tiene infinitas soluciones. i) Un sistema de ecuaciones lineales consistente con 4 variables y ecuaciones no tiene solución única. j) Un sistema de ecuaciones lineales consistente con variables y 3 ecuaciones puede tener solución única. 5. Justifique PORQUE cada una de las siguientes afirmaciones es FALSAS a) Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución, cualquier otro sistema de ecuaciones lineales con la misma matriz de coeficiente también tiene solución b) Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución siempre que su sistema de ecuaciones lineales homogéneo asociado tenga solución. c) El tipo de conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales y el del sistema de ecuaciones lineales homogéneo asociado siempre es el mismo d) Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con 7 variables y 3 ecuaciones puede no tener solución. e) Un sistema de ecuaciones lineales con variables y 7 ecuaciones tiene infinitas soluciones f) Un sistema de ecuaciones lineales con variables y ecuaciones tiene solución única. g) Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con variables y ecuaciones tiene solución única h) Un sistema de ecuaciones lineales consistente con variables y ecuaciones tiene solución única. 6. APLICACIONES Transportes La compañia de transportes Rodriguez se especializa en carga pesada, para lo cual dispone únicamente de tractomulas T, camiones grandes C de motor 9c.c. y los llamados dobletroques D. Los talleres Reina de Bogotá se disponen abrir una sucursal en la zona franca de Cali con una base de 3 tornos industriales y fresadoras manuales. Para el transporte de dicha maquinaria contratan a los Rodriguez quienes les informan que cada T puede transportar solo tornos, cada C un torno y una fresadora, mientras que cada D un torno y fresadoras. Determine el número de T, C y D que han de utilizar los Rodriguez para cumplirle a los talleres Reina.

3 Hacer insecticidas Para fabricar insecticidas se utilizan tres clases de compuestos. Una unidad del insecticida Magnon requiere mls de Nuvan, 3mls de Citronela B y 6mls de petróleo. Una unidad del Baygon requiere mls de Nuvan, 3mls de Citronela y 5mls de petróleo. Una unidad del insecticida Nocaut, requiere 5mls de Nuvan y 5mls de petróleo. Si se disponen de 6mls de Nuvan, mls de Citronela y 3mls de petróleo. Determine cuántas unidades de los tres insecticidas pueden producirse usando todos los componentes disponibles. Cambio de divisas Una empresaria necesita en promedio cantidades de yenes japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje de negocios. Este año viajo tres veces. La primera vez cambio 55 dolares con las siguientes tasas yenes por dólar,,6 libras por dólar y,6 marcos por dólar. La segunda vez cambio 84 dolares en total con las tasas de 5 yenes,,5 libras y, marcos por dólar. La tercera vez cambió un total de 8 a yenes,,6 libras y, marcos por dólar. Cuántos yenes, libras y marcos compró cada vez? Una aplicación a la trigonometría Demuestre la ley de los cosenos. Es decir, que para el triángulo ABC se cumple cos(α) = b +c a bc, cos(β) = a +c b, cos(γ) = a +b c ac ab Parábola Determine la ecuación de la parábola, con eje vertical y en el plano xy que pasa por los puntos (,4), (,6) y (,9). Balanceo de Reacciones Químicas El balanceo de reacciones químicas consiste en introducir coeficientes enteros frente a cada uno de los reactivos, para que la cantidad de átomos de cada elemento sea igual en ambos lados de la ecuación. Balancee la reacción ach 4 +bo cco +dh O. Es decir, calcule los coeficientes a,b,c,d que balanceen la ecuación Ayuda: Note que la cantidad de atómos de C, H, O y O deben ser iguales en ambos lados. Un problema de palancas en estática Calcule los pesos w,w,w 3 y w 4 para balancear las siguientes palancas Ayuda: Ley de la palanca Arquímedes: Dos masas en una palanca se equilibran cuando sus pesos son inversamente proporcionales a sus distancias al punto de apoyo 7. Determine si el primer vector es combinación lineal de los otros. 9 3 a) 4,, 5 a b b) a+6b,, 3, 5a b 5 3

4 3 8. Verifique que cualquier vector de R3 es combinación lineal de 3,,. Podemos afirmar que 3 R 3 es generado por estos vectores? α 9. Determine para que valores de α, gen,, α = R3 α. Dados u = v =, w = y H = {u,v}, determine cuales de las siguientes proposiciones 3 5 son verdaderas a) El vector v está en H. b) El vector w está en H. c) El vector v está en Gen{H}. d) El vector w está en Gen{H}. e) El vector u v está en Gen{H}. f) El vector u+3w está en Gen{H}.. Explique por qué, si el conjunto M contiene un vector no nulo, Gen{M} tiene infinitos vectores.. Dado un vector u de R, geométricamente, qué es Gen{u}? Gen{u,u}? 3. Dados los vectores u, v de R, geométricamente, qué es Gen{u,v}? qué es Gen{u,v,u+v}? 4. Dados los vectores u, v de R 3, geométricamente, qué es Gen{u,v}? qué es Gen{u,v,u+v}? 5. Escriba un conjunto generador de Gen{u, u}. Existe otro conjunto generador con menos elementos? 6. Escriba un conjunto generador de Gen{u, v}. Existe otro conjunto generador con menos elementos? 7. Escriba un conjunto generador de Gen{u, v, u + v}. Existe otro conjunto generador con menos elementos? 8. Verifique que Gen{u,v} = Gen{u+v,u v}. 9. Sean A una matriz de m filas y n columnas y U una matriz escalonada equivalente a A. Si para cualquier vector b de R m, el sistema de ecuaciones lineales, cuya matriz aumentada es [A b], tiene solución única, determine cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Justifique su respuesta. a) El vector b es combinación lineal de las columnas de A. b) El vector b es combinación lineal de las columnas de U. c) Cada fila de U tiene un pivote. d) Cada columna de U tiene un pivote. e) La matriz U tiene n pivotes. f) La matriz U tiene m pivotes. g) m = n. h) Las columnas de A generan a R m. Sean A una matriz de m filas y n columnas y U una matriz escalonada equivalente a A. Si para cualquier vector b de R m, el sistema de ecuaciones lineales, cuya matriz aumentada es [A b], tiene infinitas soluciones, determine cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Justifique su respuesta. a) El vector b es combinación lineal de las columnas de A. b) El vector b es combinación lineal de las columnas de U. c) Cada fila de U tiene un pivote. d) Cada columna de U tiene un pivote. e) La matriz U tiene n pivotes. f) La matriz U tiene m pivotes. g) m < n. h) Las columnas de A generan a R m. Sean A una matriz de m filas y n columnas y U una matriz escalonada equivalente a A. Si para un vector b 4

5 de R m, el sistema de ecuaciones lineales, cuya matriz aumentada es [A b], es inconsistente, determine cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y responda a las preguntas formuladas. Justifique su respuesta. a) El vector b es combinación lineal de las columnas de A. b) El vector b puede ser combinación lineal de las columnas de U. c) Cada fila de U tiene un pivote. d) El vector b puede ser. e) El vector b puede ser un múltiplo de alguna de las columnas de A? f) El vector b puede ser la suma de las columnas de A? g) Las columnas de A generan a R m. h) Qué puede decirse del número de pivotes de U? 3 5. Dados los vectores a = b = c = y la matriz A = a) Para que valor de n, el vector z = Ab pertenece a R n? b) El vector a pertenece al espacio nulo de A? Al espacio columna de A? c) El vector cero pertenece al espacio nulo de A? Al espacio columna de A? d) El vector v = Ab pertenece al espacio nulo de A? Al espacio columna de A? e) El vector c pertenece al espacio columna de A? Al espacio nulo de A? 4 f) Demuestre que Gen, = Gen 5, 5 R Cuales de los siguientes conjuntos de vectores son l.i.? u v. a) {u,v,} b) {u,v,u}. c) {u,v,u v}. d) {u,v,tales que u v = } 4. Determine cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas. a) Si u v =, entonces u = ó v =. b) Si u v = u w, entonces v = w. c) Cualquier vector de R n es l.i. d) Cualquier par de vectores diferentes de R n son l.i. e) Cualquier tres vectores diferentes de R 3 son l.i. f) Cualquier tres vectores diferentes de R generan a R. g) Cualquier par de vectores l.i. de R generan a R. h) Si el conjunto de vectores {u,v,w} es l.i., entonces el conjunto de vectores {u,u+v,u+v+w} es l.i. i) Si A es una matriz m n, cuyas columnas son vectores l.i., entonces el sistema, cuya matriz aumentada asociada es [A b], tiene solución para cualquier vector b de R m. j) Si A es una matriz n n, cuyas columnas son vectores l.i., entonces el sistema, cuya matriz aumentada asociada es [A b], tiene solución única para cualquier vector b de R n. k) Si el vector u es ortogonal a los vectores v y w, entonces u es ortogonal a cualquier combinación lineal no nula de v y w. 5. Al resolver el sistema homogéneo de ecuaciones lineales Ax = se obtuvo la siguiente forma escalonada reducida de A 5

6 Diga cuáles de los siguientes vectores de R 5 son soluciones del sistema original 3 a 3 a v = 3 v = v 3 = a v 4 = tv 3 t R 6. Si Ax = es el sistema homogéneo asociado al sistema Ax = b, (b ) Toda solución del homogéneo es solución de Ax = b.? Si el homogéneo tiene infinitas soluciones, Ax = b también tiene infinitas soluciones? En caso afirmativo como la hallaría? 3 7. Si = x +y +z 4 Cuál es el sistema de ecuaciones que le corresponde? Tiene solución única? 8. Sea S = {(x,y,z,w) T : x+y =,z = w} Cuantas variables libres hayen S? 9. Sea S = {(x,y,z) T : x =,y = z}. Escriba un sistema Ax = b, A 3 3 tal que S sea su solución 3. Dar condiciones sobre a tales que el sistema de ecuaciones lineales x+y z = x+5y z = 3 x+(a+)y +(a )z = a No tenga solución Tenga infinitas soluciones (dar la solucion general y geometricamente que es?) Tenga solución única (dar la solución) 3. Considere los sistema de ecuaciones lineales x+y 5z = a (.) x 3y +4z = b 3x y z = c (.) ax+y +z = a x+by +z = b x+y +cz = c De las condiciones sobre los parametros a,b,c para que los sistemas dados tengan Solución única Infinitas soluciones Ninguna solución 3. Sean A = [a a a 3 a 4 ] y b tales que una forma escalonada de la matriz aumentada del sistema Ax = b es 5 (U c) = 3 7 λ λ λ λ λ Si λ =, el sistema Ax = b tiene: (a) única solución (b) infinitas soluciones (c) ninguna solución Si λ =, el sistema Ax = b tiene: (a) única solución (b) infinitas soluciones (c) ninguna solución Si λ =, el sistema Ax = b tiene: (a) única solución (b) infinitas soluciones (c) ninguna solución Para λ =, es correcto decir que las columnas de A son linealmente independientes? (a) Sí (b) No (c) Depende de b 6

7 Para λ =, es correcto afirmar que las columnas de A generan a R 4? (a) Sí (b) No (c) Depende de b Para λ =, es correcto afirmar que las columnas de (A b) genera (a) un hiperplano de R 4 (b) un plano de R 4 (c) todo R 4 (d) una recta de R 4 Si λ =, el espacio nulo de A es: (a) (b) R 4 (c) (d) Gen, (e) N.A Para λ =, es correcto afirmar que las columnas de (A b) generan a R 4? (a) Sí (b) No (c) Depende de b 33. Sean A = [a a a 3 a 4 ] y b tales que una forma escalonada de la matriz aumentada del sistema Ax = b es 4 [U c] = 3 β β α α 3α Si β = y α =, el sistema Ax = b tiene: (a) única solución (b) infinitas soluciones (c) ninguna solución Si β = y α =, el sistema Ax = b tiene: (a) única solución (b) infinitas soluciones (c) ninguna solución Si β = 3 y α =, es correcto afirmar que el conjunto de vectores {a, a, a 3, a 4 } genera a R 4? (a) Sí (b) No (c) Depende mucho de b Si β = y α =, un vector del espacio columna de U es: 4 (a) 3 (b) (c) 3 Si β = y α =, un vector del espacio nulo de A es: (a) (b) (c) Si β = y α =, el conjunto de vectores {a, a, a 3, a 4 } (d) (d) (e) N.A (e) N.A (a) es l.i (b) son las columnas de U (c) es l.d (d) es el espacio C A Si β = y α =, el sistema Ax = b tiene: única solución infinitas soluciones ninguna solución Si β = y α =, el sistema Ax = b tiene: única solución infinitas soluciones ninguna solución 7

8 Si β = 3 y α =, es correcto afirmar que el conjunto de vectores {a, a, a 3, a 4 } genera a R 4? Sí No Depende del valor b Si β = y α =, un vector del espacio columna de U es: N.A Si β = y α =, un vector del espacio nulo de A es: N.A Si β = y α, podemos afirmar que el conjunto de vectores {a, a, a 3, a 4 } es l,i? Si Si, pues aquí b = No, pues aquí b No F.I. para concluir Para β = y α =, un conjunto de columnas l.d. de A es {a,a } {a,a,a 3 } {a,a 3 } {a,a 4 } Para β = y α =, el sistema homogeneo asociado a Ax = b es inconsistente tiene solución única tiene infinitas soluciones Para β = y α =, el conjunto de las columnas de A, C A genera Un plano en R 4 Un hiperplano en R 4 Una recta en R 4 Un punto Para β = y α =, el espacio nulo de A, N A genera Un plano en R 4 Un hiperplano en R 4 Una recta en R 4 Un punto 34. Dar condiciones sobre el parámetro a, para que el sistema: x+y z = x+y +z = 3 x+y +(a 5)z = a a) No tenga solución. b) Tenga infinitas soluciones (dar la solución general). c) Tenga solución única (dar la solución). 35. Sean A = [a a a 3 a 4 ] y b tales que una forma escalonada de la matriz aumentada del sistema Ax = b es 4 [U c] = 3 β + α β α α 3α Si β = y α =, de un conjunto generador de Gen{a, a, a 3, a 4 } con menos elementos. Si β = y α = 3, dar el espacio columna de la matriz A. Si β = y α =, dar el espacio nulo de la matriz (A b). Si β = y α =, las columnas de (A b) genera Un plano en R 4. R 3 R 4 Un hiperplano en R Sean u, v vectores unitarios y perpendiculares entre si. La proyección del vector v sobre el vector u, Proy u v es: 8

9 v u u N.A La norma del vector 3u+4v es: N.A 37. El triángulo con vértices en P = ( ) T, Q = ( ) T y R = (4 ) T es: Escaleno Equilátero Isósceles Rectángulo N.A 38. Un punto P pertenece a la recta que pasa por los puntos (4,,) y (,,6), si la coordenada y de P es, hallar sus otras coordenadas. 39. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (,,5) y corta en forma perpendicular a la recta dada por las ecuaciones simétricas: x 3 = y + 4 = z 3 4. Deduzca una fórmula para determinar la distancia más corta del punto P(x,y ) a la recta L cuya ecuación es ax+by +d = 4. Determine si los siguientes planos son ortogonales o paralelos al hiperplano H : x x = x 4 x = +t s y = 3s+t x = z = t+s 5 +s +t w = +t 4 x = t y = s+ z = +t+s w = t s 4. Teniendo en cuenta la siguiente propiedad x (y z) = z (x y) demuestre la identidad de Lagrange. Es decir, u v = u v (u v) 43. Sea u,v dos vectores no nulos entonces u v si y solo si u v = 44. La intersección entre los planos π : x y +z = y π : x 3y +4z = 7 es: Un punto Una recta Un plano Vacia N.A 45. Considere los vectores e = (,,),e = (,,), y u a = (,a,) en R 3. Encuentre los valores de a R para los cuales las proyecciones de e y e sobre u a coinciden. 46. Si H = {u,v,w} es l.i., determine cuál de la siguientes afirmaciones es falsa. (a)gen{u+v,v w} Gen(H) (b)h Gen(H) (c) Gen(H) (d) {u,u+v,u+v+w} es l.d (e)w H 47. Considere los vectores en R 3 dados por u = (,,),v = (,,), y w = (,,3). Muestre que span{u + v,v w} span{u,v,w}, y determine si estos conjuntos son iguales. 48. Considere los vectores en R 3 dados por u = (,,3) y v = (,,). (a) Encuentre la proyección de u sobre v: (b) determine si existe un vector w R 3 tal que proy v u = proy w v; (c) determine si el vector u v es ortogonal al vector (,, 3); 49. Considere los vectores en R 3 dados por u = (,,),v = (,4,), y w = (4,9,). (a) Encuentre el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores; (b) encuentre todos los vectores que son perpendiculares a u y a v. 9

10 5. Muestre que las rectas L : x = t, y = +t, z = t, y L : x = +s, y = s, z = 3+s no tienen puntos en común. 5. Acerca de los planos P : x y +z = 3 y P : x+y z = 7, es correcto afirmar que estos son: (a) paralelos (b) ortogonales (c) el mismo (d) N.A 5. Sean A = [a a a 3 ] y b tales que una forma escalonada de la matriz aumentada del sistema Ax = b es 4 [U c] = a+ a+a a Para a, el sistema original, Ax = b es inconsistente tiene infinitas soluciones tiene solución única Para a =, el sistema original, Ax = b es inconsistente tiene infinitas soluciones tiene solución única Para a =, el sistema original, Ax = b es inconsistente tiene infinitas soluciones tiene solución única Para a =, un vector del espacio nulo de A es N.A Un vector del espacio columna de A es 5 N.A Para a =, un conjunto de columnas l.d. de A es {a,a 3 } {a,a,a 3 } {a,a } N.A Para a, el sistema homogóeneo asociado a Ax = b es inconsistente tiene solución única tiene infinitas soluciones N.A Para a =, el conjunto de las columnas de A genera a Un plano en R 4 Un hiperplano en R 4 Una recta en R 4 N.A 53. Sean u, v vectores no nulos y paralelos tales que (v u) v =. a) El vector u en términos del vector v es: u = v u = v u = v u = 4v N.A b) Si v = 4, entonces la norma del vector 3u v es: N.A 54. Si u y v son vectores no nulos tales que u v = y w = Proy u v, entonces w = λu, λ v = λu, λ w =, N.A 55. Si u y v son vectores no nulos paralelos y w = Proy u v, entonces w = u w = v w = u w = 56. Dados los vectores no nulos u y v de R 3 y H = {u,v}, seleccione entre las siguientes afirmaciones una VERDADERA. Gen{u} Gen(H). u+v H. Gen(H) = Gen{u} Gen{v}. Gen{u} = Gen{v}

11 57. Seleccione, entre las siguientes afirrmaciones, DOS VERDADERAS. a) Cualquier tres vectores diferentes de R 3 son l.i : b) H = {u,v,w} es un conjunto l.i. si ninguno de los vectores es paralelo con alguno de los otros. c) Cualquier par de vectores de R generan a R. d) Si A es una matriz 4 5 y el sistema Ax = b tiene solución para cualquier vector b de R 4, entonces las columnas de A son l.d. e) Dada la matriz A = [a a 3a ]; con a R 5, entonces el espacio nulo de A está contenido en R 3. f) Si el vector u es paralelo a los vectores v y w, entonces u es ortogonal a cualquier combinación lineal no nula de v y w. g) Dada la matriz A = [a a 3a ]; con a R 5, entonces el espacio columna de A es una recta contenido en R Dados los vectores no nulos u y v, seleccione entre las siguientes afirmaciones, una VERDADERA {u,v,} es l.i. {u,v,λu} es l.i. {u,v tales que u v = } es l.i. {u,v,u v} es l.i. N.A 59. Dadas las siguientes ecuaciones, identifique las rectas, los planos y los hiperplanos x = 3 t a) En R 4 y = t, b) En R 5 x 3, z = +5t w = = x 5 = x 3 = x 5,x 4 =, c) En R 4, 4x 7y = x = 3t [( ) ( )]( ) d) En R 4 y = s, e) En R x 4, = z = +5t y 7 3 w = t+s 3 x 3 3 f) En R, x = x 3 6. Encuentre una ecuación de un hiperplano que contenga los puntos P = y Q = 3 y R = x (AYUDA: llame n = y z al vector normal y recuerde que n debe ser ortogonal a PQ y PR). Cuántos w hiperplanos hay con estas condiciones? 6. Encuentre dos puntos y dos vectores directores de la recta de R 4, L = x+5 3 = +z = w 3, y =. 6. Encuentre una ecuación de un hiperplano que contenga el punto P del Ejercicio anterior y sea paralelo al hiperplano H : 3x x 3 5 = x 4. Cuántos hiperplanos hay con estas condiciones? 63. Encuentre una ecuación de un hiperplano que contenga el punto P del Ejercicio anterior y sea ortogonal al hiperplano H : x x 3 3 = 4x 4 x. Cuántos hiperplanos hay con estas condiciones? 64. Determine si las siguientes rectas son ortogonales o paralelas al hiperplano H = x +x 3 5 = 4x 4 x = t y = t a) b) x = z = 5 +t c) x = y 3 = w+3, z = w = t Determine si las siguientes planos son ortogonales o paralelas al hiperplano H = x +x = x 4 x = t+s x = t+ y = 3s t a) b) x = z = +t s 5 +s +t y = s+ c) z = t s w = t 4 w = t+s

12 66. Determine si la recta L = x+5 3 = +z = w, y =. intercepta a cada uno de los siguientes planos x = t x = t s y = t 4s y = 5t 6s P = y P z = 3t+7s = z = 4t+4s w = 4t 6s w = 4 En caso afirmativo, encuentre la intersección. 67. Dadas las ecuaciones de las rectas L, L y de los planos P, P x = 3+t y = t L = y L z = t : x = y 3 = z +, w = w = x = +4t y = +t+s P = z = t+s w = 3+3t x = 6 t 3s y = +s y P = z = 6+t+s w = 3+t+s Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son VERDADERAS y cuáles FALSAS V F a) El punto P = 3 está en en la recta L b) Las rectas L y L son iguales. c) La recta L es ortogonal al plano P. d) Las rectas L y L son ortogonales. e) La recta L está contenida en el plano P 68. Sean L,L,L 3 y P, P, P 3 los siguientes rectas y planos de R 3 y P un punto de R 3. x = t x = 3 t L = y = +t y P = y = 5t 6s P = z = +3t z = 4t+4s 3 L = x+5 = z 6, y =. P : x 4y +3z 7 = x 3 x 3 6 L 3 : y +t P 3 : x = +t 3 +s z 5 a) Encuentre un punto de cada recta y cada plano. b) Encuentre un vector director de cada recta. c) Encuentre los otros dos tipos de ecuaciones de las rectas. d) Encuentre dos vectores directores de cada plano. e) Encuentre un vector normal de cada plano. f) Encuentre los otros dos tipos de ecuaciones de los planos. g) Encuentre una recta paralela a la recta L que pase por el origen. Existe otra? h) Encuentre una recta ortogonal a la recta L que corte a la recta L 3. Existe otra? i) Encuentre un plano que contenga la recta L. Existe otro? j) Encuentre un plano paralelo a la recta L que pase por el origen. Existe otro? x 3 k) Encuentre un plano ortogonal a la recta L 3 que contenga a una de las otras dos rectas. Existe otro? l) Encuentre un plano paralelo al plano P que pase por P. Existe otro? m) Encuentre un plano ortogonal al plano P que contenga a la recta L. Existe otro? n) Determine cuales rectas son ortogonales y cuales son paralelas. ñ) Determine cuales planos son ortogonales y cuales son paralelos.

13 o) Determine cual de las rectas es ortogonal al plano P. p) Determine cual de las rectas es paralela al plano P. q) Determine cual de las rectas corta al plano P 3. r) Determine cual de las rectas está contenida en el plano P. 69. Sean u,v y w R 3. Muestre que si { u,v,w } es un conjunto linealmente independiente entonces { u,u + v,u+v+w } es un conjunto linealmente independiente. 7. Determine cuales de las siguientes expresiones están bien definidas y, en caso positivo, haga los cálculos indicados. a) (u v) w. b) (u v) ( 3w). c) (u 5v) w. d) (u u) ( 3w) e) 3(v u) w f) (u v) ( 3u) 7. Sean u, v vectores no nulos y paralelos tales que (v u).v =. El vector u en términos del vector v es: u = v u = v u = v u = 4v N.A a) Si v = 4, entonces la norma del vector 3u v es: N.A 7. Sean O = ( ) T, P = ( ) T, Q = ( ) T y R = ( 3) T vectores en R 3. Un vector unitario con la misma dirección y sentido contrario de QR es: (a) ( 5 El ángulo entre PQ y QR es: 5 ) T (b) ( 5 5 ) T (c) ( 5 5 ) T (d) ( ) T 5 5 (e) N.A Agudo Obtuso Recto F.I N.A Si u = QR y v = QP, entonces P royu v es: (a) (b) (c) (d) 5 El área de un paralelogramo en que P,Q y R son tres de sus vértices es: El volumen de un paralelepipedo en que O,P,Q y R son cuatro de sus vértices es: x+ 73. Dada la recta L : = y 5 = z 7 5, a. Determine si L es paralela al plano P : x 7y +5z 5 =. 3 6 (e) b. Determine si L es perpendicular a la recta L : x = 7t, y = t, z = 5. x = t 74. Sean P = ( ) T, la recta l : y = +t z = 3t Un vector director de la recta l es: y el plano P : 3x 6y +9z =. (a) ( ) T (b) ( 3) T (c) ( 4 6) T (d) ( 3) T (e) N.A 3

14 De las afirmaciones siguientes, señale una VERDADERA. (a) P l (b) l P (c) P P (d) l P (e) N.A Una ecuación vectorial de la recta L que pasa por P y es paralela al plano P es: ( ) ( ) x = +λ 75. Sean O =, P =, Q = 4, R = El área del paralelogramo cuyos lados no paralelos son los vectores v y w es:, puntos de R 3 y u = RO, v = RP y w = RQ. (a) 3 (b) (c) 88 (d) (e) N.A El volumen del paralelepípedo cuyos lados no paralelos son los vectores u, v y w es: (a) 3 (b) 5 (c) (d) 5 (e) N.A 76. Sean u,v vectores en R n tales que u = 3, v = y el ángulo entre ellos es π, entonces (3u+v).(u v) es igual a:. ( ) 77. Sean u = y v = 4 vectores en R 3. La proyección ortogonal de u sobre v es Proy v u = ( ) y la componente ortogonal es u c =. 78. Sean L, L, P y P las rectas y planos cuyas ecuaciones son las siguientes: L : x = y = z + L : 4 P : x = t, y = s, z = t s Si Q = (,,) se puede decir que: x = t, y = 4+8t, z = 4t P : x+4y z = 8 Q L Q L Q P Q P N.A La recta L y el plano P se interceptan en: Ningún punto Un punto Infinitos puntos N.A De las rectas L y L se puede decir que: L L L L L L φ L L N.A De los planos P y P se puede decir que: P P P P P P = φ P = P N.A 79. Seleccione, entre las siguientes afirmaciones, DOS VERDADERAS. a) Cualquier tres vectores diferentes de R 3 son l.i : b) Si A es una matriz 4 5 y el sistema Ax = b tiene solución para cualquier vector b de R 4, entonces las columnas de A son l.i. c) H = {u,v,w} es un conjunto l.i. si ninguno de los vectores es paralelo con alguno de los otros. d) Si el vector u es paralelo a los vectores v y w, entonces u es ortogonal a cualquier combinación lineal no nula de v y w. e) Si A es una matriz 4 4 y el sistema Ax = b no tiene solución para un vector b, entonces el vector b si puede ser combinación lineal de las columnas de U. 4

15 f) Si u v = entonces u v g) Dada la matriz A = [a a a 3 ]; con a,a,a 3 R 5, entonces el espacio nulo de A está contenido en R 3. h) Dada la matriz A = [a a a 3 ]; con a,a ;a 3 R 5, entonces el espacio columna de A está contenido en R Suponga que se tienen tres vectores u,v, y w en R 3, donde u es no nulo. Determine la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes implicaciones. (a) Si u v = u w, entonces v = w. (b) Si u v = u w, entonces v = w. (c) Si u v = u w, y u v = u w, entonces v = w. 8. Sean u y v vectores en R 3. Muestre que (u v) (u+v) = (u v). 8. Si u y v son vectores unitarios y u es ortogonal a v, entonces ( 5u v) (u+v) es igual a: 7 7u N.A. 83. Si H = {u, v, w} es l.i., determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas. (a)gen{u+v,v w} = Gen(H) (b)gen{u,v} Gen(H) (c) H (d)gen(h) es l.i (e)w es combinación lineal de u y v 84. En R 3, si u y v son vectores ortogonales, determine cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas. {u,v,u v} es l.d. {u,v,(u v)v} es l.d. {u,v,u 3v} es l.d. {u,v,proy u v} es l.d. 85. Determine la veracida o falsedad de las siguientes afirmaciones. (a) Los vectores u = (3,,), v = (3,8, 7) y w = (4,,4) son coplanares. (b) Si u,v,w son vectores de R 3, la operación (u v) w está bien definida. (d) El ángulo entre los vectores (,, 3) y (,4,6) es π 3. (e) Para todo u,v,w R 3 se tiene u (v w) = (u v) w. x 86. Muestre que la distancia del punto P(,3,) a la recta L : y = z +t es Demuestre que 3 vectores de R n forman un conjunto l.d si y solo si existe un plano que pasa por el origen y continene a los 3 vectores. 88. Encuentre una ecuación de un hiperplano que contenga los puntos P =,Q = 3, y R = Cuantos hiperplanos hay con estas condiciones? 89. Encuentre una ecuación de un hiperplano que contenga los puntos P =,Q = 3,R =, y S = Cuantos hiperplanos hay con estas condiciones? 9. Calcule a) la distancia del punto P a la recta L (AYUDA: Calcule la norma de la componente vectorial del vector PQ ortogonal a v, siendo Q un punto de la recta y v un vector director de la recta). 5

16 b) la distancia de un punto P al plano P (AYUDA: Calcule la norma de la proyección ortogonal del vector PQ sobre n, siendo Q un punto del plano y n un vector normal del plano). c) la distancia entre las recta L y L (AYUDA: Si las rectas son paralelas, calcule la distancia de un punto cualquiera de una de las rectas a la otra [ver a)]. En caso contrario, calcule la norma de la proyección ortogonal del vector PQ sobre n, siendo P un punto de la recta L, Q un punto de la recta L y n un vector ortogonal a las dos rectas). d) la distancia de la recta L al plano P (AYUDA: Si la recta es paralela al plano, calcule la distancia de un punto cualquiera de la recta L al plano [ver b)]. En caso contrario, la distancia es cero). e) la distancia entre los planos P y P (AYUDA: Si los planos son paralelos, calcule la distancia de un punto cualquiera de uno de los planos al otro plano [ver b)]. En caso contrario, la distancia es cero). 6