, radianes? Explique.

Transcripción

1 UNIVRSIA CNTROAMRICANA JOSÉ SIMÓN CAÑAS ALGBRA VCTORIAL Y MATRICS HOJA TRABAJO UNIA: VCTORS N TRS IMNSIONS Ciclo 0 de 01 Parte I Responda las preguntas siguientes: 1) Si A es un vector diferente del vector nulo, puedo afirmar que: 3A 3 A? ) l vector nulo posee dirección y sentido arbitrarios? xplique 3) l cuadrado de un vector representa el cuadrado de la magnitud del vector? xplique 4) Si el triple producto vectorial de 3 vectores cualesquiera es igual al vector cero, entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes 5) Si A B 1 Si, no? xplique, entonces podemos afirmar que el ángulo formado entre los vectores A y B esta, radianes? xplique en el intervalo 6) l producto escalar entre dos vectores es una operación cerrada Si, no? xplique 7) Si A es paralelo a B entonces A B = 0 Si, no? xplique 8) Si A B C 0entonces podemos afirmar que A, B, y C son coplanares Si, no? xplique 9) Para que los vectores A m i 3j k y B i 6 j k sean paralelos, el valor de m debe de ser igual a -1? xplique 10) Será B 4i j k un vector perpendicular al vector A i 3j 5k? xplique 11) Si A y B son dos vectores diferentes al vector nulo, entonces l vector producto cruz se define como A x B A B sen, siendo el menor ángulo que forman los vectores A y B, colocados con origen común? xplique PART II A la par de cada proposición, indique su valor de Verdad: falso o verdadero, colocando una F una V en la línea que aparece a la derecha de cada proposición Justifique su respuesta a) l vector nulo posee dirección y sentido arbitrarios Justificación: b) l cuadrado de un vector representa el cuadrado de la magnitud del vector y se denomina Norma del vector c) Si A B, entonces podemos afirmar que el ángulo formado entre los vectores A y B esta en el intervalo, radianes radianes 1

2 d) Si A es paralelo a B entonces A x B 0 e) Si A x BC 0 entonces podemos afirmar que A, B, y C son coplanares f) os vectores A y B son paralelos si y sólo si AB A B g) Los vectores C 4i j k y R i 3j 5k son perpendiculares h) Si A y B son dos vectores diferentes al vector nulo, entonces, el vector producto cruz se define como A x B A B sen, siendo el menor ángulo que forman los vectores A y B, colocados con origen común Justificación: i) Para que los vectores A i t j k y B i 6 j k sean paralelos, el valor de t es igual a 3 j) Un vector paralelo al vector V 3 i 4j 5k, en el mismo sentido que el vector B y de Magnitud 3 es V i j k Parte III RALIC LOS SIGUINTS JRCICIOS: 1a) Con respecto a la siguiente figura: F H C xprese: a) C en términos de,, F b) F en términos de C,, J M P c) H en términos,, J, K, S d) P en términos de S, H, F, C, S K

3 1b) A partir del siguiente arreglo vectorial, podemos afirmar que: a) ABC b) ABC c) ABC d) ABC ) ncuentre el ángulo que hace A = i 3 j + k con el eje de las x 3) os lados de un triángulo son los vectores B 3i 6j k y P 4i 6j 3k l tercer lado es la suma de los vectores s decir R B P ncuentre: a) l perímetro del triángulo b) Los ángulos internos del triángulo c) La proyección vectorial del lado B sobre el lado P d) Verifique que los vectores R, B y P son coplanares e) ncuentre un vector paralelo al vector B, en el mismo sentido que el vector B y de magnitud 6 4) os lados de un triángulo son los vectores T 3i 6 j k y B 4i 6j 3k l tercer lado es la suma de los vectores s decir R T B ncuentre: a) l perímetro del triángulo b ) Los ángulos internos del triángulo c) La proyección vectorial del lado B sobre el lado d) Verifique que los vectores R, B y son coplanares 5) Halle un vector unitario perpendicular a los vectores A i j 3k y B 3i 4 j 5k 5 1 6) Probar que los puntos A(0,,), B(,0,-1), C(3,4,0), (,, ) son coplanares 7) ncontrar un vector normal al plano determinado por los puntos del literal anterior 8) Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son M 3i j k y N i 3j 4k 9) xamine si los vectores M i 3j k, R 3i 10 j k y N i 5j 7k a) Son linealmente independientes o linealmente dependientes b) Si son o no coplanares 10) ados los vectores A i j k, B i 3j k, C i j k, i j k Hallar los escalares m, n, q de tal manera que se satisfaga la igualdad A mb nc q 3) ados los puntos R ( 3,,4), S(1,5, 7), T(,, 1 ) Analice: a) Si los puntos son coplanares b) Si los puntos son coplanares, forme el triángulo RST c) ncuentre el área de dicho triángulo 11) ados los puntos A(0,,), B(,0,-1) y C(3,4,0) : a) Forme los vectores AB, BC y AC b) etermine si los puntos son o no coplanares y si los puntos forman un triangulo c) l perímetro del triangulo d) l área del triangulo e) Los ángulos internos del triangulo f) La proyección escalar de AB en BC g) La proyección vectorial de AB en BC 3

4 h) Un vector paralelo al vector AC y de magnitud 7 i) La altura del triángulo j) ncuentre los cosenos directores y los ángulos directores del vector BC 1) ados los puntos A (-1, 5, 3) y B (6, -1, 4) ncuentre: a) Los ángulos directores del vector AB b) l ángulo entre los vectores de posición A y B c) La distancia entre los puntos A y B Forman los puntos A, B y el origen un triángulo rectángulo? Justifíquelo mediante un procedimiento 13) ncuentre el volumen del paralelepípedo de aristas BA, CA y A, siendo A(1,1,1), B( 0,0,), C( 0,3,0) y (4,0,0) ) Los puntos A ( 0,, ), B(, 0, 1 ), y C(,, ) son los vértices de un triángulo ncuentre: a l área y el perímetro b Las alturas c Probar que la suma de los ángulos internos suman radianes d Hallar la proyección del lado AB en AC AB e Hallar el vector proyección del lado AC en f Hallar las coordenadas del punto de intersección de las medianas g Hallar un vector paralelo a CBy de magnitud igual a 10 unidades 15) Aplicando propiedades de los productos escalar y vectorial, deducir: 16) ados A B C = B A C A =i + 3j + 5k, B =i - 3j + 6k, C =-5i + 8j - 10k ncuentre: A 4 B 5C A B 3C 17) Sea A = - i + k; B = i + j k y C = i +j +k ncontrar los siguientes productos: 18) ncontrar un vector d) A x ( C x A ) f) A x ( B x C ) h) ( A x A ) x B B tal que A x B = C y A B = 1; siendo A =i j + k y C = 3i +4j k 19) Son coplanares los siguientes puntos? ( -1, 4, ); (, 4, 1); ( -1, 0, 1); ( -, 6, 3 ) 0) ncontrar el coseno del ángulo entre los vectores: A = i 3j + k y B = 3i j k 1) Para que valores de a son A = ai - j + k y B = ai + aj 4k, perpendiculares? ) Hallar la distancia más corta desde el punto ( -6, -4, 4) a la recta que pasa por (, 1, ) y ( 3, -1, 4) 3) Hállese la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, y la proyección del vector B sobre la dirección del vector A ; si A =, B = 1, y si el ángulo entre A y B es de 10 4) Hállese el producto escalar de los vectores A y B si A = 4, B = 6; y el ángulo entre A y B es igual a: a) 45 b) 0 c) 135 d) 90 e) 180 4

5 5) l ángulo entre dos vectores A y B es igual a 10 Sabiendo que A = 5, B = 4 calcular: a) A B b) ( A ) c) ( A B) ( A B) d) ( A ) B e) (7 A B) 6) Hállese el valor de n si se sabe que A = ni + 3j + 4k y B = 4i + nj 7k son vectores perpendiculares 7) Hállese el valor de m con el cual los vectores A = 3i j + m k y B = i + mj k son Perpendiculares entre si 8) n el plano xy hállese el vector perpendicular al vector A = 3i 4j + 5k si A = B 9) Se dan dos vectores A = 3i j + 5k y B = i + j 3k Hállese el vector C que es perpendicular al eje z y satisfaga las condiciones C A= 9 y C B= ) Hállese el vector B que es paralelo al vector A, que satisfaga la condición dada: a) A =i + j k y B A = 3 b) A = -i + j + k y B A 31) scribir como una combinación lineal de los vectores unitarios i, j, k a un vector cuyos dos de sus ángulos 0 0 directores son 65 y 135 3) ados los puntos P(-4,5,6), Q(8,,1) y R(-3,1,7) (3, 4,5) a) ibuje los puntos y forme el triángulo formado por dichos puntos b) Formemos los vectores PQ, QR y PR c) Halle el área del triangulo d) Halle el perímetro del triángulo e) Calculemos el ángulo comprendido entre los vectores PR y QR, y que pertenezca al triángulo f) Calculemos la proyección vectorial de PQ en QR g) Calculemos los ángulos directores del vectorqp h) Calculemos un vector perpendicular al plano donde se encuentra el triángulo i) Calcule los ángulos directores del vector PQ Calcule un paralelo a dicho vector y de magnitud 9 Realizar además lo siguiente: Libro: Vectores y geometría Analítica Autor: duardo scapini Peñate: jercicio 1 de la página 17) jercicios: 5,6,7,página 88 jercicios 11,1,14, 15, página 89 jercicios 4 e), 5), 6) b) y c), 7 c) página 91 8 d), 30 c), 31 a) y b), 3 b), página 9 jercicio 34, 36,41 página 93 jercicio 44, página 94 jercicios del 55 al 6) página 96 STUIAR LA PÀGINA 1 a la 15, de la página 0 a la 69, de la página 75 a la página 103 5