Práctica 2. Transformaciones lineales.

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1 Práctica 2. Transformaciones lineales. 1. Decida si las siguientes funciones son transformaciones lineales. En caso de serlo, calcule núcleo e imagen. (a) f : R 3 R 3, f((x 1, x 2, x 3 ) T ) = (x 1 x 2 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 + x 2 x 3 ) T. (b) f : R n n R, f(x) = det X. (c) f : C n C, f((z 1,..., z n ) T ) = z i (para 1 i n fijo). (d) f : R 3 3 R, f(x) = trx. Puede generalizar a matrices de n n? (e) f : P 3 P 5, f(p) = ap, siendo a(t) = t t 2. (f) f : R k R n, f(x) = Ax, donde A R n k. (g) f : C (R) C (R), f(ϕ) = ϕ, siendo C (R) el espacio vectorial de funciones infinitamente diferenciables. (h) f : C(R) C(R), f(ϕ) = ϕ+ϕ 2, siendo ϕ(x) = ϕ( x). (i) f : P 3 R, f(p) = p(0). (j) f : C C, f(z) = z. Considere el caso de C tanto como R-espacio vectorial como C-espacio vectorial. 2. Sean V, W y X tres K-espacios vectoriales, K = R o C y f : V W, g : V W y h : W X transformaciones lineales. Pruebe que: (a) Las funciones f ± g : V W definidas por (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) son transformaciones lineales. (b) Si λ K, entonces λf definida por (λf)(x) = λf(x) es una transformación lineal. (c) La composición h f : V X es una transformación lineal. (d) Si f y h son isomorfismos, entonces h f también lo es. (e) Nu(f) Nu(h f). (f) Im(h f) Im(h). (g) Sea f : K m K n, con f(x) = Ax y A K n m. Demuestre que Im(f) coincide con col(a), el espacio columna de A, y que Nu(f) coincide con Nul(A). Deduzca a partir de esto último que si A tiene rango k, entonces dim(nu(f)) = m k. 3. Sea B la base ordenada de R 3 dada por B = {(1, 0, 3) T, ( 2, 5, 1) T, ( 1, 1, 1) T }.

2 (a) Notemos c B a la transformación de coordenadas, c B : R 3 R 3. Encuentre una fórmula explícita para tal transformación. (b) Considere la base ordenada B de R 3 dada por y calcule c B c B. B = {( 4 5, 3 5, 3), ( 1 5, 2 5, 1), ( 3 5, 1 5, 1)} (c) Encuentra alguna relación entre las bases B y B? 4. Sea f : V W una transformación lineal. Determine cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas, justificando la respuesta. Es decir, en caso de ser verdadera, demuestre la proposición y en caso de que sea falsa, muestre un contraejemplo. (a) Si {v 1,..., v r } es l.d. entonces {f(v 1 ),..., f(v r )} es l.d. (b) Si {f(v 1 ),..., f(v r )} es l.d. entonces {v 1,..., v r } es l.d. (c) Si {v 1,..., v r } es l.i. entonces {f(v 1 ),..., f(v r )} es l.i. (d) Si {f(v 1 ),..., f(v r )} es l.i. entonces {v 1,..., v r } es l.i. (e) Si Nu(f) = {0}, la ecuación f(x) = y tiene a lo sumo una solución. (f) La ecuación f(x) = y siempre tiene solución si Nu(f) = {0}. (g) Im(f) = W y Nu(f) = {0} si y sólo si la ecuación f(x) = y tiene solución única para cada y W. (h) La transformación f es inversible si y sólo si Im(f) = W y Nu(f) = {0}. (i) Si dim V = dim W = n, Nu(f) = {0} si y sólo si Im(f) = W. (j) item Si dim V = dim W = n entonces f es inyectiva si y sólo si f es sobreyectiva. (k) Si dim V > dim W, f no puede ser inyectiva. (l) Si dim V < dim W, f no puede ser sobreyectiva. (m) Si V es de dimensión finita y f es biyectiva, W es de dimensión finita y dim V = dim W. 5. Sea f : V W una transformación lineal entre K-espacios vectoriales, K = R o C. Si A V y B W son subconjuntos, definimos respectivamente la imagen de A por f y la preimagen de B por f como f(a) = {f(x) x A} f 1 (B) = {x V f(x) B}.

3 (a) Pruebe que si S V es un subespacio, entonces f(s) W es también un subespacio. Qué subespacio es f(v )? (b) Pruebe que si U W es un subespacio, entonces f 1 (U) V es también un subespacio. Qué subespacio es f 1 ({0 W })? (c) Muestre que si S V es un subespacio tal que {v 1,..., v k } es una base de S, entonces {f(v 1 ),..., f(v k )} es un sistema de generadores de f(s). (d) Si U W es un subespacio tal que {y 1,..., y r } es una base de U Im(f), demuestre que f 1 (U) = gen{v 1,..., v r } Nu(f), donde f(v 1 ) = y 1,..., f(v r ) = y r (Pista: Se debe demostrar que f 1 (U) gen{v 1,..., v r } Nu(f) y que gen{v 1,..., v r } Nu(f) f 1 (U). Para la primera inclusión, supongamos que x f 1 (U). Entonces, por definición, f(x) = r i=1 α iy i, ya que f(x) U. Como f(v i ) = y i, podemos escribir la última igualdad como f(x) = r i=1 α if(v i ) = f ( r i=1 α iv i ). Llamemos x al vector r i=1 α iv i. Entonces, f(x x) = 0, es decir x x Nu(f). La otra inclusión es más simple, y sale simplemente usando las propiedades que definen a una transformación lineal.) (e) A partir de los items anteriores deduzca que dim f(s) dim S. Qué propiedades debe tener f para que valga la igualdad? 6. Calcule, en cada caso, f(s) y f 1 (U). (a) f : R 3 R 2, f((x 1, x 2, x 3 ) T ) = (2x 2 x 1, x 3 2x 2 ) T, S = {x R 3 / x 1 + x 3 = 0}, U = gen{(1, 1) T }. (b) f : P 3 R 2, f(p) = (p(0) p(1), p(0) + p( 1)) y { } S = p P 3 / 1 p(t)dt = 0, 0 U = {x R 2 / x 2 = 0}. 7. Sea f : R 3 P 2 lineal tal que para ciertos α, β R, f((1, 1, 1) T ) = p 0 f((0, 1, 1) T ) = p 1 f((0, 0, 1) T ) = p 2

4 donde p 0 (t) = 2β + αt, p 1 (t) = αt + βt 2 y p 2 (t) = β + (α 1)t. (a) Halle α y β para que f no sea inyectiva. (b) Halle bases de Nu(f) y de Im(f) en función de α y β. (c) Halle f(u), siendo U el subespacio U = {x R 3 / x 1 + x 3 = x 2 + x 3 = 0}, según los valores de α y β. 8. Sean B = {v 1, v 2, v 3 } una base ordenada de cierto R-espacio vectorial V y C = {y 1, y 2, y 3, y 4 } una base ordenada de otro R-espacio vectorial W. Considere la transformación lineal f : V W que satisface: f(v 1 ) = y 1 + y 2 + y 3 y 4, f(v 2 ) = y 1 y 2 + 2y 3 + 3y 4 y f(v 3 ) = 2y 1 + 3y 3 + 2y 4. (a) Encuentre bases para Nu(f) e Im(f). (b) Halle todos los x V tales que f(x) = 2y 2 y 3 y 4. (c) Muestre que B = {v 1, 2v 2 + v 3, v 2 + v 3 } y C = {y 1, y 2, y 3 + y 4, y 3 y 4 } son bases de V y W, respectivamente. (d) Calcule [f] B C 9. Sea f : P 2 P 2 la transformación lineal dada por donde p(t) = at 2 + bt + c. f(p)(t) = (a αb)t 2 + (b βc)t + (a b), (a) Encuentre los valores de α, β R para los cuales f es un isomorfismo. (b) Para α = β = 1, encuentre f 1. (c) Para β = 0, hallar bases del Nu(f) y la Im(f) (en función de α). 10. Sean A K n m y B K k n, K = R o C. Demuestre lo siguiente: (a) col(ba) col(b). (b) col(ba) = col(b) si rg(a) = n. (c) Nul(A) Nul(BA). (d) Nul(A) = Nul(BA) si rg(b) = n. (e) rg(ba) mín(rg(b), rg(a)). (f) Si rg(a) = n entonces rg(ba) = rg(b). (g) Si rg(b) = n entonces rg(ba) = rg(a). 11.

5 (a) Sea f : R n R k una transformación lineal. Si L R n es una recta, qué tipo de objeto puede ser f(l)? (b) Para f : R 2 R 2 dada por f((x 1, x 2 ) T ) = (x 1 2x 2, 2x 1 + x 2 ) T, describa la imagen por f del cuadrado de vértices ( 1, 3) T, (3, 3) T, (3, 1) T, ( 1, 1) T. (c) Idem anterior para f((x 1, x 2 ) T ) = (x 1 + 3x 2, 3x 1 + 9x 2 ) T. 12. (a) Si f : R n R k es una transformación lineal, muestre que entonces existe una matriz A R k n tal que f(x) = Ax. (b) Demuestre que f es inversible si y solo si A lo es. En tal caso, cuál es la inversa de f? (c) En base a los items anteriores, describa explícitamente las transformaciones lineales f : R R. Cuáles de ellas son isomorfismos? 13. (a) Defina una transformación lineal f : R 4 R 4 que verifique todas las condiciones siguientes: dim(nu(f)) = 1. Nu(f f) = gen{(1, 1, 0, 1) T, (1, 1, 1, 1) T }. Im(f) S = {x R 4 / 3x 1 + x 2 = 2x 3 x 4 = 0}, siendo S = gen{(1, 1, 1, 3) T, (1, 3, 1, 2) T, ( 1, 3, 1, 2) T }. Para la transformación encontrada, halle su expresión y calcule [f] E, siendo E la base canónica de R 4. (b) Defina una transformación lineal g : R 2 2 R 2 2 que verifique todas las condiciones siguientes: Nu(g) = gen{i 2 }, siendo I 2 R 2 2 la matrix identidad. g g = g. Una vez determinada g, encuentre su expresión y, de ser posible, una base B de R 2 2 para la cual se verifique [g] B = Sea R + = (0, + ). En el R-espacio vectorial C(R + ) = {g : R + R/ g es continua } consideremos las funciones ϕ 0 (t) = 1, ϕ 1 (t) = e t y ϕ 2 (t) = log t, donde log indica logaritmo en base

6 e. Sea V = gen{ϕ 0, ϕ 1, ϕ 2 }. Se puede demostrar que este conjunto que genera V es linealmente independiente. (a) Demuestre que B = {ϕ 0, ϕ 0 + ϕ 1, ϕ 0 + ϕ 2 } es una base de V. (b) Si f : V V es la transformación lineal dada por [f] B = 3 8 4, calcule Nu(f) y, si existen, todas las funciones ϕ V tales que f(ϕ) = ϕ 0 + ϕ 1 + ϕ Sean f : P 3 P 3, g : P 3 R 2 2 las transformaciones lineales definidas por f(p 0 ) = p 0 p 1 g(p 0 ) = ( ) f(p 1 ) = p 1 p 2 g(p 1 ) = ( ) f(p 2 ) = p 3 p 2 g(p 2 ) = ( ) f(p 3 ) = p 3 + p 2 g(p 3 ) = ( ) donde p 0 (t) = 2, p 1 (t) = 1 t, p 2 (t) = 2 3t + t 2 y p 3 (t) = 1 t + t 3. (a) Calcule el núcleo y la imagen de f f f f. (b) Halle una transformación lineal h : P 3 R 2 2 tal que h f = g. Es h única? 16. Sean S R 4 el subespacio dado por g : R 4 R 4 un isomorfismo que verifica S = {x R 4 / x 1 x 2 = x 1 x 3 + x 4 = 0}, g((1, 0, 1, 0) T ) = (2, 2, 1, 1) T g((1, 0, 1, 0) T ) = (1, 1, 1, 2) T y h : R 4 R 4 la transformación lineal dada por la matriz [h] E = ,

7 siendo E la base canónica de R 4. Si f : R 4 R 4 es otra transformacón lineal que verifica calcule el Nu(f). 17. (a) Sea f : R 3 R 2 la transformación lineal Encuentre bases B de R 3 y C de R 2 tales que g f g 1 = h, f((x 1, x 2, x 3 ) T ) = (x 1 + x 2, 2x 2 3x 3 ) T. [f] BC = ( ) (b) Para g : R 2 R 3 dada por g((x 1, x 2 ) T ) = (x 1 x 2, 0, x 2 x 1 ) T encuentre, de ser posible, bases B de R 2 y C de R 3 tales que 1 0 [h] BC = (c) En general, suponga que h : R n R k es una transformación lineal tal que dim(im(h)) = r. Entonces existen bases B de R n y C de R k tales que ( ) Ir 0 [h] BC =, 0 0 donde I r (r k) indica la matriz identidad de r r (los ceros que aparecen en la matriz anterior son matrices nulas de tamaños correspondientes). 18. Para la transformación lineal f : R 3 R 3 dada por f((x 1, x 2, x 3 ) T ) = (x 1 + x 3, x 1 2x 2 x 3, x 2 + x 3 ) T halle los valores de α R para los cuales existen bases B y C tales que α 1 0 [f] BC = 2 1 α

8 Para los valores de α hallados, calcule las bases B y C. 19. Sean f : P 1 R 2 2 la transformación lineal dada por ( p( 1) 2p(0) + 2αp f(p) = ) (1) 3p(0) + 3αp (1) p( 1) y g : R 2 2 R 2 2 un isomorfismo. (a) Halle todos los valores de α R para los cuales g f resulte inyectiva. (b) En el item anterior, considere α = 1. Halle, si es posible, un subespacio S R 2 2 tal que. Im(f) S = {X R 2 2 / tr(x) = 0} 20. Sea V = {f : R R/f(x) = acos(x) + bsen(x), a, b R} C (R). Sea T : V V la transformación lineal definida por T (f) = f 2f 3f. (a) Determine la matriz de T en base B = {cos(x), sen(x)}. Es T un isomorfismo? (b) Cuántas soluciones en V tiene la ecuación diferencial f (x) 2f (x) 3f(x) = cos(x)? 21. (a) Sea V = gen{e x, e x } y T : V V definida por T (f) = f. Halle [T ] B para B = {cosh(x), senh(x)}. (b) Sea T : P 2 P 2 dada por T (p(t)) = p(2t 1). Halle [T ] E y [T ] B para E = {1, t, t 2 } y B = {1, t 1, (t 1) 2 }.